《常微分方程》课程教学大纲

1、常微分方程一、课程概况所属专业:统计学开课单位：数学计算机科学学院课程类型:专业方向课程课程代码:07493040开课学期:4学分：2学时：34核心课程:否拟使用教材： 王高雄 、周之铭等. 常微分方程(第四版). 北京：高等教育出版社，2006.国内(外)现有教材：韩茂安，周盛凡，邢业鹏，丁伟. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2009.庞特里亚金. 常微分方程. 林五种，倪明康译. 北京：高等教育出版社，2006.东北师范大学微分方程教研室. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2006.丁同仁, 李承治. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2006.蔡遂林. 常微分方程. 武汉：武

2、汉大学出版社, 2003.学习参考资料1. 专著教材类1 周尚仁, 权宏顺. 常微分方程习题集（第二版）, 北京：人民教育出版社，1982. 2 菲利波夫(苏联). 常微分方程习题集. 上海：上海科学技术出版社，1981.二、课程描述常微分方程是高等师范院校数学专业和综合性大学数学专业、系统科学与工程专业、控制理论与应用等专业的一门重要基础课程。它是数学分析，高等代数和解析几何的应用和发展，又是后继课程偏微分方程、生物数学概论的理论基础，在人才培养方案课程体系中为专业方向课程（核心）。本课程教学的主要内容包括：微分方程的基本概念、一阶微分方程的初等解法、微分方程解的存在、唯一性定理、线性微分方

3、程解的理论、线性微分方程的求解方法、稳定性理论初步等方面知识。通过本课程的学习不仅使学生了解到微分方程和其它数学分支的联系及其在其它自然科学学科中的应用，使学生进一步了解到数学的重要性和广泛的应用背景，提高应用能力，而且为后继的数学和应用数学各课程准备解决问题的方法和工具，更是通向物理，力学，经济等学科和工程技术的桥梁。三、课程目标1. 正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和基本方法，获得比较熟练的基本运算技能;2. 掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，培养学生分析问题和解决问题的能力;3. 为学生学习数学的其它课程，如生物数学概论、偏微分方程，以及物理学等有关课程打下基础;4. 达

4、到硕士生入学考试对常微分课程的要求, 有助于学生胜任中学数学教学，为实施素质教育提供建模思想方面的训练和准备。四、教学要求掌握微分方程的概念以及一阶微分方程的初等解法。 对微分方程解的存在性和唯一性定理证明的思想有较深刻的认识。熟练掌握线性微分方程和线性微分系统的理论和各种解法，特别是非齐次线性方程的解法，掌握常数变易法与其它方法的区别。理解李雅普诺夫意义下稳定性的定义和判定定理，能够应用判定定理研究具体系统解的稳定性。系统掌握微分方程的基本概念：微分方程的初值问题的解、函数线性相关和线性无关、Wronsky行列式、常数变易法、基解矩阵等。掌握微分方程有关解的存在性的证明方法；获得较熟练的计算

5、技能和初步的应用能力。本课程理论课时为51。五、考核方式及要求（一）、过程性考核（含评分依据40%）1、课堂考勤（15%）较高的出勤率是学生学好专业核心课程常微分方程的一个重要保证。拟随机考勤3次，全到者15分，两次到的12分，一次到的5分，一次没有到的0分。2、平时作业（10%）几乎每次课后都会布置作业，选取其中8次，进行考核！次数7次以上6次5次4次3次2次1次分数109876503、期中测试（10%）以闭卷形式进行随堂测试。4、学习表现（5%）结合平时课内提问，讨论等形式以及课下整体表现给出学习表现分。(二）、期末考核 (60%)闭卷形式进行期末考试。六、课程内容第一章：基 本 概 念（

6、授课时间：第四学期第一周）教学目标：认识常微分方程数学模型，为以后理论学习提供实例。理解微分方程及其解的定义，掌握微分方程的一些基本概念。通过本章例题的学习，初步了解本门学科的某些实际背景。教学重点：微分方程基本概念，如微分方程的阶数、线性与非线性，通解与特解，初始条件与初值问题等。教学难点：通解定义的理解。学 时：课堂教学3学时，课外自主学习时间不少于2学时。教学方法：“预习指导型”教学法、“问题研究型”教学法主要内容：1. 常微分方程模型，包括物理学中的LC电路模型、数学摆模型、生物学中的Malthus人口模型、SIS传染病模型等。2. 微分方程的解、通解与特解、初始条件与初值问题、方向场

7、与积分曲线、微分方程的实际问题举例理解微分方程及其解的定义。3. 微分方程及其解的几何解释。从理论上说，它把作为解析对象的微分方程及其解与作为几何对象的方向场及积分曲线沟通起来，从而在微分方程这门学科中建立了数与形之间的联系；从实用上说，我们可以通过做出方向场来画出积分曲线的大概图形。学习方法：课前预习、主动参与课堂教学、课后复习小结课后作业：完成教材第26-28页练习题1-8。 第二章：一阶微分方程的初等解法（授课时间：第四学期第二，三，四，五周）教学目标：掌握几类一阶常微分方程通解的求法，包括变量可分离方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程、恰当方程与积分因子、一阶隐方程、Riccati

8、方程及其解法等。了解变量代换在常微分方程求解中的地位与意义。教学重点：基本初等积分方法变量分离方程解法、常数变易法、全微分方程解法、参数法等。教学难点：判断方程类型采用正确解法，积分因子的求法，方程求解过程中变量代换的灵活应用。学 时：课堂教学12学时，课外自主学习时间不少于8学时教学方法：“问题研究型”教学法、“预习指导型”教学法、“启发设疑式”教学法主要内容：（1）可分离变量方程 的通解求法；（2）可化为变量分离方程的解法：齐次方程 的变量变换及其解法；形如方程 和 的变量变换及其解法；（3）线性方程的解法，即常数变易法，线性方程的通解公式。（4）Cauchy问题特解的求法和特解表达式及其

9、应用。（5）利用变量变换将Bernoulli方程 化为线性方程的方法，及求其通解。（6）恰当方程的判别方法和恰当方程的通解求法。分项组合的方法求恰当方程的通解。积分因子的概念和非恰当方程的积分因子解法。存在仅与x和y有关的积分因子的条件及求法。其它积分因子的求法。（7）一阶隐方程的参数表示及通解的求法；（8）了解求解Riccati方程通解的历史，从而知道微分方程初等解法的局限性。学习方法：课前预习、主动参与课堂教学、课后复习小结课后作业：完成教材第42-44页练习题2.1. 1、 (1) (3) (5) (7) (9)， 2、 (2) (4) (6)，3. 完成教材第48-50页练习题2.2.

10、 1、 (1) (3) (5) (7) (9) (11) (13)， 5、 7. 完成教材第69页练习题2.4. 1. 完成教材第72-74页练习题2.5. 1、3、5.第三章：一阶微分方程解的存在性定理（授课时间：第四学期第六，七，八周）教学目标：理解皮卡逐步逼近法和一阶微分方程解的存在唯一性定理。掌握一阶微分方程解的延拓定理的证明方法，熟记饱和解的概念，对特定的区域G了解在其上定义的一阶微分方程饱和解存在区间的可能情况。了解一阶微分方程解对初值的连续性和可微性。教学重点：一阶微分方程解的存在唯一性定理，解的延拓定理。教学难点：解的存在唯一性定理的证明。学 时：课堂教学9学时，课外自主学习时

11、间不少于6学时。教学方法：“预习指导型”教学法、“问题研究型”教学法、 “启发设疑式”教学法主要内容：（1）一阶微分方程解的存在唯一性定理的条件和结论；（2）皮卡逐步逼近法和一阶微分方程解的存在唯一性定理的证明。（3）Lipschitz条件和局部Lipschitz条件的概念。（4）一阶微分方程解的延拓定理的证明方法，饱和解的概念，对特定的区域G了解在其上定义的一阶微分方程饱和解存在区间的可能情况。（5）一阶微分方程解对初值的连续性和可微性。一阶微分方程解对初值的可微公式：，。学习方法：课前预习、主动参与课堂教学、课后复习小结课后作业：完成教材第88-89页练习题3.1 2、4、6、9、10.

12、完成教材第102-103页练习题3.3 2、3、4. 第四章：高阶微分方程（授课时间：第四学期第九，十，十一，十二周）教学目标：掌握函数线性相关、线性无关；Wronsky行列式等概念；掌握齐次和非齐次线性微分方程通解结构定理；掌握常系数齐次线性微分方程解法；能够利用比较系数法和Laplace变换法求非齐次常系数线性微分方程的通解；掌握欧拉方程及其通解的求法，以及二阶线性方程的幂级数解法。教学重点：n阶线性微分方程通解结构定理，常系数齐次线性微分方程解法。教学难点：线性非齐次微分方程特解的求法。学 时：课堂教学12学时，课外自主学习时间不少于8学时。教学方法：“预习指导型”教学法、“问题研究型”

13、教学法、 “启发设疑式”教学法、“实际尝试型”教学法主要内容：（1）函数线性相关、线性无关；Wronsky行列式和基本解组等概念。（2）齐次线性微分方程通解结构定理。（3）非齐次线性微分方程通解结构定理，利用常数变易法求其通解。（4）常系数齐次线性微分方程和欧拉方程的解法。（5）利用比较系数法和Laplce变换法求常系数非齐次线性方程的通解。（6）利用未知函数变换的方法求解可降阶的一些方程。（7）二阶变系数线性微分方程的幂级数解法。（8）第二宇宙速度的计算和质点振动理论及其应用。学习方法：课前预习、小组讨论、主动参与课堂教学、课后复习小结课后作业：完成教材第131-132页练习题4.1 3、5

14、、6、7. 完成教材第164-166页练习题4.2 2、(1) (3) (6) (9) (12), 3、(2) (4), 5、7. 完成教材第182-183页练习题4.3 1、3、5.第五章：线性微分方程组（授课时间：第四学期第十三，十四，十五周）教学目标：掌握矩阵函数连续、导数和积分等概念；了解线性微分方程组的初值问题解的存在唯一性定理；掌握线性微分方程组通解结构定理；掌握常系数线性微分方程组的解法，以及基解矩阵的计算。教学重点：线性微分方程组解的结构，常系数线性微分方程组解法。教学难点：常系数线性微分方程组出现重特征值的情形。学 时：课堂教学9学时，课外自主学习时间不少于6学时教学方法：“

15、预习指导型”教学法、“问题研究型”教学法、 “启发设疑式”教学法、“实际尝试型”教学法主要内容：（1）矩阵函数连续、导数和积分等概念；（2）线性微分方程组初值问题解存在唯一性定理及其证明；（3）求解非齐次线性微分方程的常数变易法；（4）常系数线性微分方程组的解法；（5）基解矩阵的计算与应用；（6）利用Laplace变换法求解非齐次常系数线性微分方程组。学习方法：课前预习、小组讨论、主动参与课堂教学、课后复习小结课后作业：完成教材第201-202页练习题5.1 2、3. 完成教材第216-219页练习题5.2 2、3、4、6、8、11、13. 完成教材第244-246页练习题5.3 2、4、5、

16、6、8.第六章：非线性微分方程稳定性初步（授课时间：第四学期第十六，十七周）教学目标：理解常微分方程解的稳定和渐进稳定性的定义；掌握按线性近似决定稳定性定理；理解定正、定负、常正、常负函数的定义；了解简单的李雅普诺夫函数构造方法，及解的稳定性判定定理。教学重点：按线性近似决定稳定性定理；李雅普诺夫第二方法：解的稳定性判定定理。教学难点：稳定性有关定理的证明。学 时：课堂教学6学时，课外自主学习时间不少于4学时教学方法：“预习指导型”教学法、“问题研究型”教学法、 “启发设疑式”教学法、“实际尝试型”教学法主要内容：（1）微分方程解的稳定性定义，按线性近似决定微分方程零解稳定性定理； （2）李雅普诺夫函数定