《复变函数》课程教学大纲

1、复变函数一、课程概况所属专业:数学与应用数学开课单位：数学计算机科学学院课程类型:专业方向课程课程代码:07493050开课学期:5学分：2学时：34核心课程:否拟使用教材： 钟玉泉, 复变函数论（第四版）, 高等教育出版社, 2013.国内(外)现有教材：1 余家荣, 复变函数（第五版）, 高等教育出版社, 2014.2 Elias M.Stein and Rami Shakarchi, Complex Analysis, Princeton University Press, 2011.3 Theodore W. Gamelin, Complex Analysis, 世界图书出版公司北京公

2、司, 2008.4 . ., . .著, HYPERLINK /view/1794055.htm t _blank 施祥林, 夏定中, 吕乃刚译, 复变函数论方法, 高等教育出版社, 2006.5方企勤, 复变函数教程, 北京大学出版社, 1996.6 L. V. Ahlfors著,张立译, 复分析, 上海科技出版社, 1979.学习参考资料：1 孙清华, 孙昊, 复变函数内容, 方法与技巧, 华中科技大学出版社, 2003.2 钟玉泉, 复变函数学习指导书, 高等教育出版社, 1996.二、课程描述复变函数是数学与应用数学专业方向课，它的理论和方法被广泛应用于数学其它分支以及物理学、工程技术

3、等学科。本门课程主要培养学生掌握复变函数的基本理论和方法，引领学生能够使用其理论和方法分析和解决有关的理论及实际问题。课程的主要内容包括复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的幂级数表示法、解析函数的罗朗展式与孤立奇点、留数、共性映射等。三、课程目标 掌握复变函数的基本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法；进一步巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础；培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力；具有分析并运用数学知识解决实际问题的能力，使学生初步掌握复变函数的基本理论和基本运算技能。四、教学要求授

4、课教师将按照学校本科教学工作有关要求做好课程教学各项工作，严格按照课表规定的时间、地点上课，不迟到、不早退，将根据本大纲要求，认真备课完成教案与讲稿编写等各项课前准备工作；授课过程力求内容充实、概念准确、思路清晰、详略得当、逻辑性强、重难点突出，力戒平铺直叙、照本宣科，同时重视对学生的学习方法指导和课堂教学效果信息的反馈，实现教与学的双向互动；同时将结合课程目标要求，做好考核内容设计，并严格按照本大纲要求做好出勤率统计、作业评价等各项工作。学习是大学生自己的责任和义务，学生应根据课程大纲要求制定本门课程学习计划，加强学业管理，严格自我要求，提升自主学习能力，主动适应课程学习要求。参与课堂教学活

5、动不迟到、不早退，无正当理由不请假，上课认真听讲，不做任何与课堂教学无关事宜，不使用手机，积极与授课教师进行教学互动，同时利用课余时间做好预习、复习、课外书籍阅读等工作，主动与同学开展合作学习，认真完成任课教师布置的课程作业。五、考核方式及要求为实现课程教学目标，本门课程考核方式及要求为：课堂考勤（10%）拟随机考勤4次，全到者10分，两次到的5分，一次到的2.5分，一次没有到的0分。平时作业（10%）基本每次课后都布置作业，选取其中10次，进行考核：次数（次）9次以上8次7次6次5次4次3次3次以下分数（分）108765432 期中测试（20%）以闭卷形式进行随堂测试。期末考核（60%）闭卷

6、形式进行期末考试。六、课程内容第一章：复数与复变函数（授课时间：第五学期第一周）教学目标：熟悉复数概念及各种几何表示；掌握复数的四则运算、乘幂方根共轭等运算并能简单应用；了解复平面上区域、曲线的概念，掌握用复数表示它们的方法；了解复变函数与实二元函数的关系及复变函数的极限与连续性，熟悉复变函数极限与连续性的运算法则及性质，熟悉复变函数与实变函数的极限与连续性之间的联系与区别；了解复球面及无穷远点的概念。教学重点：复数的运算及各种几何表示法，复变函数及映射概念。教学难点：用复数方法表示平面区域、曲线。学 时：课堂教学3学时，课外自主学习时间不少于1学时。教学方法：讲授法、ppt演示法等。主要内容

7、：1. 复数的概念、运算及几何表示。2. 复平面上区域、曲线的概念及它们的复数表示。3. 复变函数、映射的概念及其复变函数的极限与连续性。 4 . 复球面与无穷远点。学习方法：归纳总结、预习复习、小组讨论等。课后作业：要求有基本概念题，加强训练题，具体由任课老师自行灵活布置。第二章：解析函数（授课时间：第五学期第二、三周）教学目标：理解复变函数的导数及解析函数的概念，掌握复变函数连续、可导、解析之间的关系及求导法则；熟练掌握复变函数可导与解析的判别法；掌握并灵活运用柯西-黎曼条件，能利用柯西-黎曼条件判定复变函数的解析性及证明解析函数的一些基本性质；熟悉基本初等函数指数函数及三角函数的定义，了

8、解它们的性质及与其它基本初等函数的关系；熟悉根式函数、对数函数、一般幂函数的定义，并了解它们的映射性质及反三角函数与反双曲函数的定义。教学重点：解析函数的概念及函数解析性的判别。教学难点：解析函数的概念及初等多值函数及其单值解析分支的概念。学 时：课堂教学8学时，课外自主学习时间不少于6学时。教学方法：讲授法、ppt演示法等主要内容：1. 复变函数的导数及解析函数的概念。2. 复变函数可导与解析的充要条件，柯西-黎曼条件及解析函数性质。3. 初等函数。学习方法：归纳总结、预习复习、小组讨论等。课后作业：要求有基本概念题，加强训练题，具体由任课老师自行灵活布置。第三章：复变函数的积分（授课时间：

9、第五学期第四、五、六周）教学目标：熟悉复积分的概念及基本性质，理解复积分的曲线积分法，掌握并熟练运用复积分计算的参数方程法和积分估值公式；理解柯西积分定理及推广复合闭路定理，了解复变函数的原函数存在定理及牛顿-莱布尼兹公式；熟练掌握柯西积分公式及高阶导数公式，了解解析函数的平均值定理、无穷可微性等性质，掌握并能灵活运用柯西积分理论计算沿闭曲线的复积分；理解调和函数概念，掌握解析函数与调和函数的关系及由已知调和函数求以其为实部或虚部的解析函数的方法。教学重点：柯西积分定理及推广，柯西积分公式及高阶导数公式。教学难点：复合闭路定理与复积分的计算。学 时：课堂教学9学时，课外自主学习时间不少于7学时

10、。教学方法：讲授法、ppt演示法等。主要内容：1. 复积分的概念、性质与计算方法。2. 柯西积分定理及推广。3. 柯西积分公式及推论。4. 解析函数与调和函数的关系。学习方法：归纳总结、预习复习、小组讨论等。课后作业：要求有基本概念题，加强训练题，具体由任课老师自行灵活布置。第四章：解析函数的幂级数表示法（授课时间：第五学期第六、七、八周）教学目标：了解复数列极限、复级数收敛、发散概念，与复函数项级数和解析函数项级数的概念；熟悉幂级数概念，理解Abel定理，掌握幂级数收敛半径求法、幂级数的运算及性质。理解泰勒定理，熟练掌握,等函数的泰勒展式，掌握函数展开成幂级数（泰勒级数）的直接展开法和间接展

11、开法，能比较熟练地将一些解析函数在指定点展开成幂级数（泰勒级数），并会确定收敛半径；熟悉解析函数零点的求法，掌握解析函数零点的孤立性及唯一性定理，了解最大模原理。教学重点：将函数展开成泰勒级数及幂级数的收敛半径求法。教学难点：零点的唯一性定理。学 时：课堂教学8学时，课外自主学习时间不少于6学时教学方法：讲授法、ppt演示法等。主要内容：1. 复函数项级数。2. 幂级数及其收敛半径求法。3. 解析函数的泰勒展式。4. 解析函数零点的孤立性及唯一性定理。学习方法：归纳总结、预习复习、小组讨论等。课后作业：要求有基本概念题，加强训练题，具体由任课老师自行灵活布置。第五章：解析函数的罗朗（Laure

12、nt）展式与孤立奇点（授课时间：第五学期第八、九、十、十一周）教学目标：熟悉双边幂级数概念和性质，理解罗朗定理，掌握函数展开成洛朗级数的间接展开法，能比较熟练地将一些解析函数在不同圆环内展开成罗朗级数；了解孤立奇点的定义、分类及特征，熟悉零点与极点的关系；了解解析函数在无穷远点的性质；了解整函数与亚纯函数的概念。教学重点：将函数展开成双边幂级数，解析函数孤立奇点的判断。教学难点：解析函数孤立奇点的性质。学 时：课堂教学8学时，课外自主学习时间不少于6学时。教学方法：讲授法、ppt演示法等主要内容： 1. 解析函数的罗朗展式。2. 解析函数的孤立奇点的类型及判断。3. 解析函数在无穷远点的性质4

13、. 整函数与亚纯函数的概念。学习方法：归纳总结、预习复习、小组讨论等。课后作业：要求有基本概念题，加强训练题，具体由任课老师自行灵活布置。第六章：留数理论及应用（授课时间：第五学期第十二、十三、十四、十五周）教学目标：理解留数概念，掌握计算留数的一般方法，熟练掌握极点处留数的求法；掌握利用留数定理计算闭路复积分的方法，能熟练利用留数计算下面三种类型实积分：型，型，型。教学重点：留数的计算、留数定理及应用。教学难点：留数在计算实积分的应用。学 时：课堂教学8学时，课外自主学习时间不少于6学时。教学方法：讲授法、ppt演示法等主要内容： 1. 留数的概念及留数的求法。2. 用留数定理计算几种类型的

14、实积分。学习方法：归纳总结、预习复习、小组讨论等。课后作业：要求有基本概念题，加强训练题，具体由任课老师自行灵活布置。第七章：共性映射（授课时间：第五学期第十五、十六、十七周）教学目标：理解解析函数导数的几何意义，了解共性映射的概念及其重要性质；理解分式线性变换的概念，掌握分式线性变换的保形性、保圆性、保对称点性与保交比性等重要性质，了解唯一确定分式线性变换的条件；熟悉并掌握几个基本初等函数构成的保形变换特点，了解幂函数能实现角形域到角形域之间、指数函数与对数函数能实现带形域到角形域之间的保形变换，熟练掌握上半平面到上半平面、上半平面到单位圆、单位圆到单位圆的分式线性变换，掌握并能运用初等函数以及分式线性变换构成的映射特点处理一些边界由圆弧、直线、直线所围成区域的共性映射问题。教学重点：分式线性变换及其性质。教学难点：分式线性变换与初等函数相结合，求一些简单区域之间的共性映射。学 时：课堂教学7学时，课外自主学习时间不少于5学时。教学方法：讲授法、ppt演示法等。主要内容： 1. 解析函数导数的辐角和模的几何意义。2. 共性映射的概念。3. 分式线性变换及其性质。