建大考研材料力学课件第09章

1、第九章 应力状态沈阳建筑大学 侯祥林 刘杰民 第九章 应力状态91 应力状态的概念 92 平面应力状态分析的解析法93 平面应力状态分析的图解法94 梁的主应力及主应力迹线95 空间应力状态简介 96 广义虎克定律97 复杂应力状态下的体积应变、比能98 平面应力状态下的应变分析 PPmmnnPnnkmmPk一、一点的应力状态91 应力状态的概念 过构件一点各个截面应力的总体情况称为该点的应力状态。二、单元体xyzxyxzxyzyxyzzxzy 围绕构件内一点截取一无限小正六面体称为单元体。 单元体相对两面上的应力大小相等，方向相反。 若所取单元体各面上只有正应力，而无剪应力，此单元体称为主单

2、元体。三、主平面和主应力123 只有正应力，而无剪应力的截面称为主平面。 主平面上的正应力称为主应力。 一点的应力状态有三个主应力，按其代数值排列：PP 若三个主应力中，有两个等于零，一个不等于零，称为单向应力状态，如杆件轴向拉伸或压缩。 若三个主应力中，有一个等于零，两个不等于零，称为二向应力状态，或平面应力状态，如梁的弯曲。ABPxxxxxx 若三个主应力都不等于零，称为三向应力状态，三向应力状态是最复杂的应力状态。92 平面应力状态分析的解析法一、斜截面上的应力xxxyyntxxyyyyxxy同理，由 得：任意斜截面的正应力和剪应力为二、主平面的方位 设主平面的方位角为0，有三、主应力

3、将主平面的方位角为0代入斜截面正应力公式，得四、最大剪应力解题注意事项： 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已知条件。x、y 以拉为正，以压为负；x 沿单元体顺时针转为正，逆时针转为负； 为斜截面的外法线与x 轴正向间夹角，逆时针转为正，顺时针转为负。 求得主应力、与0排序，确定1、2、3的值。 0为主应力所在截面的外法线与x 轴正向间夹角，逆时针转为正，顺时针转为负。 在主值区间，20有两个解，与此对应的0也有两个解，其中落在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。例91求图示单元体ab 斜截面上的正应力和剪应力。ab解：已知xnn练习1求图示单元体ab 斜截面上的正应

4、力和剪应力。解：已知例92求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知此解在第一象限，为本题解；此解在第二象限，不是本题解，舍掉。11330=11.98练习2求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知此解在第二、四象限，为本题解。此解在第一象限，不是本题解，舍掉；33110=67.5练习3求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知此解在第一象限，为本题解；此解在第二象限，不是本题解，舍掉。11330=18.4393 平面应力状态分析的图解法 由解析法知，任意斜截面的应力为 将第一式移项后两边平方与第二式两边

5、平方相加得： 取横轴为斜截面的正应力，纵轴为斜截面的剪应力，则上式为一圆方程。xxxyyntyr圆心坐标为半径为xxxyynty 圆上各点与单元体各斜截面一一对应，各点的横坐标与纵坐标与各斜截面的正应力与剪应力一一对应。因此，该圆称为应力圆。 圆上D1点代表x 截面； D1xxy-xD2D2点代表y 截面； EE点代表方位为 角的斜截面； A1、 A2 点代表两个主平面。 12A1A2xxxyyyD1xxy-xD2B1B2应力圆的画法步骤: 作横轴为 轴，纵轴为 轴； 在横轴上取OB1= x ，过B1引垂线B1D1=x ； 在横轴上取OB2= y，过B2引垂线B2D2=-x ； 连接D1D2交

6、横轴于C ， 以C为圆心，CD1为半径作圆，此圆即为应力圆。xxxyyyD1xxy-xD2B1B2证明:例93试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知50303030取: 连接D1D2交横轴于C ，以C为圆心，CD1为半径作圆。5030303011330=18.43例94试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知取: 连接D1D2交横轴于C ，以C为圆心，CD1为半径作圆。202020200=45201133练习4试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知取: 连接D1D2

7、交横轴于C ，以C为圆心，CD1为半径作圆。COB1D1D2B21005050COB1D1D2B21005050A1A22011330=22.5例95已知一点处两个斜截面上的应力如图所示，试用图解法求 角、该点的主应力、主平面，并在图上画出主应力和主平面的方位。95MPa45MPa2oaabbC954595MPa45MPa2oaabbC9545A1A2122a2bab94 梁的主应力及主应力迹线124512345mm15311113333234 梁的各点皆处于平面应力状态，各点的主应力为拉主应力1和压主应力3。各点的拉主应力和压主应力的走向形成两组互相正交的曲线族，此两组互相正交的曲线称为梁的

8、主应力迹线。过一点沿两组主应力迹线的切线则表示该点两个主应力的方向。x11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd主应力迹线的画法：拉力压力1313 图示为悬臂梁的主应力迹线实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。q1331 图示混凝土梁自重下的主应力迹线。 混凝土属脆性材料，抗压不抗拉。沿拉主应力迹线方向铺设钢筋，可增强混凝土梁的抗拉强度。95 空间应力状态简介 s1s2xyzs31、空间应力状态2、三向应力圆123123123123maxmin3、最大剪应力123 最大剪应力所在的截面与2平行，与第一、第三主平面成45角。96 广义虎克定律PP=+1221一、平面应力状态的

9、广义虎克定律 正应变只跟正应力有关，与剪应力无关；剪应变只跟剪应力有关，与正应力无关；二、三向应力状态的广义虎克定律123xyzxyxzxyzyxyzzxzy例96边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为E 、泊桑比为 ，顶面受铅直压力P 作用，求钢块的应力x 、y 、z 和应变x 、y 、z 。Pxyzxyz解：由已知可直接求得：Pxyzxyz例97已知E=10GPa、=0.2，求图示梁nn 截面上 k 点沿30方向的线应变 30。nnk1m1m2mAB2001507575k30nnk1m1m2mAB2001507575k30nnk1m1m2mAB2001507575k303

10、0-6030-60nnk1m1m2mAB2001507575k3030-6030-60例98薄壁筒内压容器(t/D1/20)，筒的平均直径为D ，壁厚为t ，材料的E、 已知。已测得筒壁上 k 点沿45方向的线应变 45，求筒内压强p。 kptDxxyy解：筒壁一点的轴向应力：筒壁一点的环向应力： kptDxxyy45-4545-45练习5受扭圆轴如图所示，已知m 、 d 、 E、 ，求圆轴外表面沿ab 方向的应变 ab 。ABm m dab45解：ABm m dab4545-4597 复杂应力状态下的体积应变、比能一、体积应变dxdydzdx+dxdy+dydz+dz略去高阶微量，得单元体的

11、体积应变代入式得：纯剪应力状态： 可见剪应力并不引起体积应变，对于非主应力单元体，其体积应变可改写为 体积应变只与三个主应力（正应力）之和有关，而与其比例无关。令m称为平均正应力，K 称为体积弹性模量。二、比能 单位体积的变形能称为变形能密度，简称比能。 单向拉压比能dxdzdyd(l)dxdzdy 纯剪切比能dxdydz 复杂应力状态的比能 体积改变比能与形状改变比能123mm1-mm2-m3-m=+u=uV+uf 状态1受平均正应力m作用，因各向均匀受力，故只有体积改变，而无形状改变，相应的比能称为体积改变比能uV。 状态2的体积应变： 状态2无体积改变，只有形状改变，相应的比能称为形状改变比能uf。 123mm1-mm2-m3-m=+u=uV+uf例99边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为E 、泊桑比为 ，顶面受铅直压力P 作用，求钢块的体积应变V 和形状改变比能uf 。Pxyzxyz解：由已知可直接求得：