2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学案1-公开课-优质课(人教A版必修四精品)

1、2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教学案一、教学分析前面已经知道，向量的线性运算有非常明确的几何意义，因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算，一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢？如果能，运算结果应该是什么呢？另外，距离和角是刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，物理学家很早就知道，如果一个物体在力F的作用下产生位移s（如图1）,那么力F所做的功W=|F|s|cosO功W是一个数量，其中既涉及“长度”也涉及“角

2、”而且只与向量F,s有关熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算，从而引进向量的数量积的定义ab=|a|b|cosO.这是一个好定义，它不仅满足人们熟悉的运算律（如交换律、分配律等），而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量.二、教学目标1、知识与技能：掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。2、过程与方法：通过物理中

3、“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。3、情感态度与价值观：通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积，培养学生的抽象概括能力。三、重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.四、教学设想（一）导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰，并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的

4、思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功W可由下式计算：W=|F|s|cose其中e是F与s的夹角.我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量（数量）.故从力所做的功出发，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过，任意的两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除（除数不为零）运算，就自然地会想到，任意的两个向量

5、是否可以进行乘法运算呢？如果能，其运算结果是什么呢？（二）推进新课、新知探究、提出问题a的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么？由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律？我们知道，对任意a,bWR,恒有（a+b）2二a2+2ab+b2,（a+b）（a-b）=a2-b2.对任意向量a、，是否也有下面类似的结论？（1）（a+）2=a2+2ab+b2；（2）（a+b）（a-b）=a2-b2.活动：已知两个非零向量a与b,我们把数量lallblcose叫做a与b的数量积（或内积），记作ab,即ab=|a|b|cose（OWeW兀）.其

6、中e是a与b的夹角，|a|cose（|b|cose）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.如图2为两向量数量积的关系，并且可以知道向量夹角的范围是0WOW18O.两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；零向量与任一向量的数量积为0,即a0=0；符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“X”代替；兀兀当0W0时cos00,从而a0；当0W兀时，cos00,从而a0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a,b，c和实数儿则向量的数量积满足下列运算律：ab=ba(交换律)；(加)b=A(ab)=a(Ab)(数乘结合律)；(a+b)，c

7、=ac+bc(分配律).特别是：当aMO时，由ab=0不能推出b定是零向量.这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有ab=0.(2)(a+b)(a-b)=aa-ab+ba-bb=a2-b2.提出问题如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念，可以结合“探究”，让学生用平面向量的数量积的定义，从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结，提出注意点“投影”的概念，如图4./8104d0aA伽：aA图4定义：|b|cos0叫做向量b在a方向上的投影.并引导学生思考：1投影也是一个数量，不是向量；2当0为

8、锐角时投影为正值；当0为钝角时投影为负值；当0为直角时投影为0当0=0时投影为|b|；当0=180时投影为-|b|.教师结合学生对“投影”的理解，让学生总结出向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos0的乘积.让学生思考：这个投影值可正、可负，也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1ea=ae=|a|cos0.2a丄boab=0.3当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=-|a|b|.特别地aa=|a|2或|a|=faa.ab4cos0=|a|

9、b|5|ab|W|a|b|.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证，教师给予必要的补充和提示在推导过程中理解并记忆这些性质.讨论结果:略(见活动).向量的数量积的几何意义为数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos0的乘积.应用示例思路1,Hh-bf卜h例1已知平面上三点A、B、C满足|AB1=2，|BC1=1，|CA|*3，求ABBC+BCCA+CAAB的值.活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解，先分析题设然后找到所需条件因为已知AB、BC、CA的长度，要求得两两之间的数量积，必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到ABC是直角三角形，然后可利用

10、数形结合来求解结果.解：由已知，|BC|2+|CA|2=|AB12,所以ABC是直角三角形而且ZACB=90。,；31从而论ABC：#，论BAC=2.AZABC=60，ZBAC=30.AB与BC的夹角为120,BC与CA的夹角为90，CA与AB的夹角为150.故ABBC+BCCA+CAAB=2X1Xcos120+1Xv3cos90+q3X2cos150=-4.点评：确定两个向量的夹角，应先平移向量，使它们的起点相同，再考察其角的大frh小，而不是简单地看成两条线段的夹角，如例题中AB与BC的夹角是120，而不是60.变式训练已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60，求(a+2b)(a-3

11、b).解:(a+2b)(a-3b)=aaab-6bb=|a|2-ab6|b|2=|a|2|a|b|cos06|b|2=626X4Xcos606X42=72.例2已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线，当k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直?解:a+kb与a-kb互相垂直的条件是(a+kb)(akb)=0,即a2k2b2=0.*.*a2=32=9,b2=42=16,916k2=0.3k=43也就是说，当k=4时，a+kb与a-kb互相垂直.点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.变式训练已知向量a、b满足:a2=9,ab=-12，求|b|的取值范围.解：V|a|2=a2=9

12、,.|a|=3.又.ab=-12,.|ab|=12.：Tab|W|a|b|,12W3|b|,|b|24.故|b|的取值范围是4,+-).思路2例1已知在四边形ABCD中，ab=a,BC=b,CD=c,DA=d,且a9b=c9d=b*c=d*a,试问四边形ABCD的形状如何？解：AB+BC+CD+DA=0，即a+b+c+d=0,.a+b=-(c+d).由上可得(a+b)2=(c+d)2,即a2+2ab+b2=c2+2cd+d2.又:ab=cd,故a2+b2=c2+d2.同理可得a2+d2=b2+c2.由上两式可得a2=c2,且b2=d2,即|a|=|c|,且|b|=|d|,也即AB=CD,且BC

13、=DA,ABCD是平行四边形.故AB=CD，即a=c.又ab=bc=ab,即ab=O,.a丄b,即AB丄bC.综上所述，ABCD是矩形.点评：本题考查的是向量数量积的性质应用，利用向量的数量积解决有关垂直问题，然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2已知a,是两个非零向量，且|a|-|b|=|a+b|,求向量b与a-b的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则，画出以a,b为邻边的口ABCD,若AB=a，CB=b，则CA=a+b，DB=a-b由|a|-|b|=|a+b|，可知ZABC=60,b与DB所成角是150.我们还可以利用数量积的运算，得出向量b与a-b的夹角，为了巩固

14、数量积的有关知识，我们采用另外一种角度来思考问题，教师给予必要的点拨和指导，即由cosb,ab(a-b)-b=作为切入点，进行求解.|b|a-b|解:V|b|=|a+b|,|b|=|a|,.b2=(a+b)2.b12=|a12+2ab+|b|2.1.ab=-|b|2.13而b(a-b)=ba-b2=一|b12-|b12=一|b|2,22由(a-b)2=a2-2ab+b2=|b12-2x(-_)|b12+|b12=3|b|2,2而|a-b|2=(a-b)2=3|b|2.|a-b|=3|b|.b(a-b)代入，得cosba-b=-3又Vb,a-bw0,n，.b，a-b=点评:本题考查的是利用平面向

15、量的数量积解决有关夹角问题，解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.变式训练设向量c=ma+nb(m,nR),已知|。|=2丫：2,|c|=4,a丄c,bc=-4,且b与c的夹角为120，求m,n的值.解：Ta丄c,.ac=0.又c二ma+nb,.cc=(ma+nb)c,即Ic12二mac+nbc.|c12=nbc.由已知|c|2=16,bc=-4,.16=-4n.n=-4.从而c二ma_4b.*.*bc=|b|c|cos120=-4,1：|b|4（2）=-4.|b|=2.=ma-4b,得c=ma2-4ab,8m-4ab=0,即ab=2m.再由c=ma-4b,得bc=mab-4b2.:,mabT6=4,即mab=12.联立得2m2=12，即m2=6.:.m二：6.故血=,n=4.（四）课堂小结先由学生回顾本节学习的数学知识，数量积的定义、几何意义，数量积的重要性质数量积的运算律.教师与学生总结本节学习的数学方法，归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性地思考问题，并鼓励学生进行一题多解.（五）作业(2)已知实数a、b、c(bM0),贝Jab=bc=a=c.但对向量的数量积，该推理不正确，即ab=bc不能推a=c.由图3很容