《3.1.3 空间向量的数量积运算》教学案4

1、3.1.3空间向量的数量积运算教学案4【学情分析】本小节首先把平面向量数量积运算推广到空间向量数量积运算学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，要让学生在空间上一步步地验证向量的数量积运算这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量,另一方面可加深学生的空间观念【教学目标】（1）知识与技能：掌握掌握空间向量的夹角的概念，空间向量数量积的定义和运算律（2）过程与方法：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习和使用，掌握立体几何中的三垂线定理及其逆定理的证明（3）情感态度与

2、价值观：进一步学习向量法在证明立体几何中的应用，培养学生的开拓创新能力和举一反三的能力。【教学重点】空间向量的数量积运算【教学难点】空间向量的数量积运算在解决立体几何中的应用【课前准备】课件【教学过程设计】教学环节教学活动设计意图1、平面向量的数量积1-1-（1）设a,b是空间两个非零向量，我们把数量IfI-*-r-%mi1aIIbIcos叫作向量a,b的数量积，记作a-b，即a-b=IaIIbIcos复习旧知识，为新知一.温故识做铺垫，让学生可以非知新一7a-b(2)夹角：cos-.常容易的接收空间向量的IaIIbI数量积概念。(3)运算律1-卡ff千a-b=b-a；(九a)-b=X(b-a

3、)；ffI-1-fc-a-(b+c)=a-b+a-c二.新课讲授1、夹角fr定义：a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点0,作*k1-OA=a，OB=b，则ZAOB叫做向量a与向量b的夹角，记作规定：0-F-F特别地，如果=0，那么a与b同向；如果1-fc-fI-=，那么a与b反向；如果=900,那么a+*与b垂直，记作a丄b。2、数量积设a,b是空间两个非零向量，我们把数量F-fTfc-fc-1aIIbIcos叫作向量a,b的数量积，记作a-b，即ffffa-a-b=IaIIbIcos*F一子ab夹角：C0S-.IaIIbI运算律a-b=b-a；(九a)-b=九(b-a)；H*-F-H-*

4、十a-(b+c)=a-b+a-c思考：1、若a-b=a-c，是否有b=c成立？2、若a-b=k，是否有a=?，或b上成立？baa*千aa3、向量数量积是否有结合律(a-b)c=a(b-c)成立？注意夹角的表示方法和意义，垂直的表示。注意向量运算和代数运算的差别。三.典例讲练例1.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。已知：PO,PA分别是平面a的垂线，斜线，AO是PA在平面a内的射影，1Ua且1丄OA，求证：1丄PAF-F-证明：取直线1的方向向量a，同时取向量PO，PA。因为1丄OA，所以a-OA=0。注重向量在垂直、共面中的使用的意识的培养。因为P

5、0丄a,且1ua，所以1丄P0!因此a-PO=0。又因为a-PA=a-（P0+0A）=a-P0+a-0A=0,所以1丄0A这个命题叫做三垂线定理，思考其逆定理如何证明三垂线定理的逆定理：在平面内德一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。例2.m,n是平面a内的两条相交直线，如果1丄m,1丄n，求证：1丄a证明：在内作任一直线g个，分别在1，m，n，g，上取非零向量1，m，n，g。TOC o 1-5 h zIfb-因为m与n相交，所以向量m，n不平行，由向量共面的充要条件知，存在惟一的有序实数对（x，y），-I-I使g=xm+yn将上式两边与向量作数量积，*

6、F-*亠*得1-g=x1-m+y1-n+卜+卜因为1-m=0，1-n=0， HYPERLINK l bookmark28 o Current Document +k所以1-g=0所以1丄g，即1丄g这就证明了直线垂直于平面a内的任意一条直线，所以1丄幺四.练习巩固1如图，在正三棱柱ABC-ABC11若AB=2bb，则AB与一1中,1CB所成角的大小为（）1(A)600(B)900（C）105。（D）75。2、如图，在平行六面体ABCD-ABCDAD=3,AA=5,ZBAD=900,1C中,AB=4,JB2注意1aia的使用=1练习与测试:（基础题）1.已知空间四边形OABC中，ZAOB二ZBOC二ZAOC,且OA=OB=OC,M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点。求证0G丄BC分析：要证0G丄BC,只需证明0G-BC=0。把OG、BC用基向量OA、OB、OC表示略解：0G=Z(OM+ON)=110A+-(OB+OC)=1(OA+OB+OC)22224BC=OCOB（中等题）2.已知平行六面体ABCD-ABCD的底面是菱形，且ZCCB=ZCCD=ZBCD=60111111证明CC丄BD当CD的值为多少时，能使AC丄平面CBD?并证明CC111分析：取CD,CB,CC为运算的基向量，则BD=CD-CB。1注意向量间的方向对夹角的影响一D1BD略证(2)设二九