高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)指数与指数函数

1、eq avs4al(第六节指数与指数函数) 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解指数函数模型的实际背景2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4.知道指数函数是一类重要的函数模型.1.主要以选择题或填空题的形式考查指数函数的值域以及指数函数的单调性、图象三个方面的问题，如2012年上海T7. 2.常与其他问题相结合进行综合考查，如与对数的运算、数值的大小比较等相结合.归纳知识整合1根式(1)根式的概念：根式的概念符号表示备注如果xna，那么x叫做a的n次方根n1且nN*当n是奇数时，正数的n次方

2、根是一个正数，负数的n次方根是一个负数eq r(n,a)零的n次方根是零当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数eq r(n,a)(a0)负数没有偶次方根(2)两个重要公式：eq r(n,an)eq blcrc (avs4alco1(a，n为奇数，,|a|blcrc (avs4alco1(aa0，,aa0，)n为偶数；)(eq r(n,a)na(注意a必须使eq r(n,a)有意义)探究1.eq r(n,an)a成立的条件是什么？提示：当n为奇数时，aR；当n为偶数时，a0.2有理数指数幂(1)幂的有关概念：正分数指数幂：aeq r(n,am)(a0，m，nN*，且n1)；负分数

3、指数幂：aeq f(1,a)eq f(1,r(n,am)(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的性质：arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象与性质yaxa10a1图象定义域R值域(0，)性质(1)过定点(0,1)(2)当x0时，y1；x0时，0y1(2)当x0时，0y1；x0时，y1(3)在R上是增函数(3)在R上是减函数探究2如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系如何？你能得到什

4、么规律？提示：图中直线x1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1，所以，cd1ab，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大3函数yax，ya|x|，y|ax|(a0，a1)，yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)x之间有何关系？提示：yax与y|ax|是同一个函数的不同表现形式；函数ya|x|与yax不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x0时两函数图象相同；yax与yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)x的图象关于y轴对称自测牛刀小试1(教材习题改编)化简(2)6(1)0的结果为()A9B10C9D7解析：选D(

5、2)6(1)0(26)1817.2化简eq f(r(a3b2r(3,ab2),ab4r(3,f(b,a)(a0，b0)的结果是()A.eq f(b,a) BabCa2b D.eq f(a,b)解析：选D原式eq f(r(a3b2ab),ab2blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)ab1eq f(a,b).3函数f(x)2|x1|的图象是()解析：选Bf(x)eq blcrc (avs4alco1(2x1，x1，,blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x1，x0，a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a_.解析：当a1时，f(x)ax1在0,2上为增函数，则a212，aeq

6、r(3).又a1，aeq r(3).当0a1时，f(x)ax1在0,2上为减函数又f(0)02，0ab)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)axb的图象是()(2)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_自主解答(1)由已知并结合图象可知0a1，b1.对于函数g(x)axb，它一定是单调递减的且当x0时g(0)a0b1b0，a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,a).2与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.3一些指数方程、不等式问题的求解，往往利

7、用相应的指数型函数图象数形结合求解.2(2012四川高考)函数yaxa(a0，且a1)的图象可能是()解析：选C当x1时，ya1a0，函数yaxa的图象过定点(1,0)，结合图象可知选C.3(2013盐城模拟)已知过点O的直线与函数y3x的图象交于A，B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数y9x的图象于C点，当BC平行于x轴时，点A的横坐标是_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得，C(x1，y2)，所以有eq blcrc (avs4alco1(y13x1，,y23x2，,y29x1.)又A，O，B三点共线，所以kAOkBO，即eq f(y1,x1)eq f(y2,

8、x2)，代入可得，eq f(3x1,3x2)eq f(x1,x2)eq f(1,2)，即eq f(3x1,32x1)eq f(1,2)，所以x1log32.答案：log32指数函数的性质及应用例3已知函数f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)ax24x3(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值自主解答(1)当a1时，f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x24x3，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yeq blc(rc)(av

9、s4alco1(f(1,3)t在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令h(x)ax24x3，f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，因此必有eq blcrc (avs4alco1(a0，,f(3a4,a)1，)解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)h(x)的值域为(0，)应使h(x)ax24x3的值域为R，因此只能a

10、0(因为若a0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R)故a的值为0.利用指数函数的性质解决问题的方法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决4设a0且a1，函数ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，求a的值解：令tax(a0且a1)，则原函数化为y(t1)22(t0)当0a0，所以aeq f(1,3).当a1时，x1,1，taxeq blcrc(avs4alco1(f(1,a)，a)，此时f(t)在eq

11、blcrc(avs4alco1(f(1,a)，a)上是增函数所以f(t)maxf(a)(a1)2214，解得a3(a5舍去)综上得aeq f(1,3)或a3.1个关系分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算2个应用指数函数单调性的应用(1)比较指数式的大小若两个指数式的底数相同、指数不同，则根据底数与1的大小，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系判断相应函数值的大小；若两个指数式的底数不同、指数也不同，则常借助1,0等中间量进行比较(2)解指数不等式形如axab的不等式，借助于函数yax的单调性求解，如果a的取值

12、不确定，需分a1与0ab的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式3个注意指数式的化简及指数函数的应用需注意的问题(1)在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数(2)指数函数yax(a0，a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a1与0a0，b0，2a2a2b3b2b2b.令f(x)2x2x(x0)，则函数f(x)为单调增函数ab.答案Aeq avs4al(名师点评)1本题有以下创新点(1)命题方式的创新：本题没有直接给出指数函数模型，而是通过观察题目特点构造相应的函数关系式(2)考查内容的创新：本题将指数函

13、数、一次函数的单调性与放缩法、导数法的应用巧妙结合，考查了考生观察分析问题的能力及转化与化归的数学思想2解决本题的关键有以下两点(1)通过放缩，将等式问题转化为不等式问题(2)构造函数，并利用其单调性解决问题eq avs4al(变式训练)1若函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(f(1,x)，x0，,blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x，x0，)则不等式eq f(1,3)f(x)eq f(1,3)的解集为()A1,2)3，)B(，31，)C.eq blcrc)(avs4alco1(f(3,2)，) D(1，eq r(3) 3，)解析：选B函数f(x)eq blcrc

14、 (avs4alco1(f(1,x)，x0，,blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x，x0)和函数g(x)eq f(1,3)的图象如图所示，从图象上可以看出不等式的解集是两个无限区间当xK.)取函数f(x)a|x|(a1)当Keq f(1,a)时，函数fK(x)在下列区间上单调递减的是()A(，0)B(a，)C(，1) D(1，)解析：选D函数f(x)a|x|(a1)的图象为右图中实线部分，yKeq f(1,a)的图象为右图中虚线部分，由图象知fK(x)在(1，)上为减函数.1化简eq f(r(x3),x)的结果是()Aeq r(x)B.eq r(x)Ceq r(x) D.eq r

15、(x)解析：选A依题意知x0，eq f(r(x3),x)eq r(f(x3,x2)eq r(x).2(2012天津高考)已知a212，beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)0.5，c2log52，则a，b，c的大小关系为()Acba BcabCbac Dbca解析：选Aa212，beq r(2)，clog54，1b2,0cbc.3函数yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x2 的值域是()A(0，) B(0,1)C(0,1 D1，)解析：选Cx20，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x21，即值域是(0,14(2013广州模拟)定义运算a

16、beq blcrc (avs4alco1(aab,bab)，则f(x)2x2x的图象是()解析：选Cx0时，2x12x0；x0时，02x12x.f(x)2x2xeq blcrc (avs4alco1(2x，x0，,2x，x0.)5设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x1对称，且当x1时，f(x)3x1，则有()Afeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)Bfeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)feq blc(rc)(avs4alco1(f(3

17、,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)Cfeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)Dfeq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)解析：选B由题设知，当x1时，f(x)3x1单调递增，因其图象关于直线x1对称，当x1时，f(x)单调递减feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)feq blc(rc)(avs4al

18、co1(2f(3,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2).feq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，即feq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)0)的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是()A(eq r(3)，4) B(eq r(2)，)C(eq r(2)，5) D(eq r(3)，2eq r(2)解析：选B作出函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(2

19、blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x，x0，,f(1,2)x21，x0)的图象，如图所示直线ymx的图象是绕坐标原点旋转的动直线当斜率m0时，直线ymx与函数f(x)的图象只有一个公共点；当m0时，直线ymx始终与函数y2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x(x0)的图象有一个公共点，故要使直线ymx与函数f(x)的图象有三个公共点，必须使直线ymx与函数yeq f(1,2)x21(x0)的图象有两个公共点，即方程mxeq f(1,2)x21在x0时有两个不相等的实数根，即方程x22mx20的判别式4m2420，解得meq r(2).故所求实数m的取值范围是(

20、eq r(2)，)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7已知函数f(x)4ax1的图象恒过定点P，则点P的坐标是_解析：令x10，即x1，则f(1)5.图象恒过定点P(1,5)答案：(1,5)8函数yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)x3x在区间1,1上的最大值等于_解析：由yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)x是减函数，y3x是增函数，可知yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)x3x是减函数，故当x1时函数有最大值eq f(14,3).答案：eq f(14,3)9对于函数f(x)，如果存在函数g(x)axb(a，b为常数

21、)，使得对于区间D上的一切实数x都有f(x)g(x)成立，则称函数g(x)为函数f(x)在区间D上的一个“覆盖函数”，设f(x)2x，g(x)2x，若函数g(x)为函数f(x)在区间m，n上的一个“覆盖函数”，则|mn|的最大值为_解析：因为函数f(x)2x与g(x)2x的图象相交于点A(1,2)，B(2,4)，由图可知，m，n1,2，故|mn|max211.答案：1三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10已知f(x)exex，g(x)exex(e2.718 28)(1)求f(x)2g(x)2的值；(2)若f(x)f(y)4，g(x)g(y)8，求eq f(gxy,gxy)的值

22、解：(1)f(x)2g(x)2(exex)2(exex)2(e2x2e2x)(e2x2e2x)4.(2)f(x)f(y)(exex)(eyey)exyexyexyexyexye(xy)exye(xy)g(xy)g(xy)，g(xy)g(xy)4.同理，由g(x)g(y)8，可得g(xy)g(xy)8.由解得g(xy)6，g(xy)2，eq f(gxy,gxy)3.11若函数ylg(34xx2)的定义域为M.当xM时，求f(x)2x234x的最值及相应的x的值解：ylg (34xx2)，34xx20，解得x3.Mx|x3f(x)2x234x42x3(2x)2.令2xt，x3，t8或0t8或0t2

23、)由二次函数性质可知：当0t8时，f(t)(，160)，当2xteq f(2,3)，即xlog2eq f(2,3)时，f(x)maxeq f(4,3).综上可知，当xlog2eq f(2,3)时，f(x)取到最大值为eq f(4,3)，无最小值12已知函数f(x)3xeq f(1,3|x|).(1)若f(x)2，求x的值；(2)判断x0时，f(x)的单调性；(3)若3tf(2t)mf(t)0对于teq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，1)恒成立，求m的取值范围解：(1)当x0时，f(x)3x3x0，f(x)2无解当x0时，f(x)3xeq f(1,3x)，令3xeq f(1,3x)2.(3x)223x10，解得3x1eq r(2).3x0，3x1eq r(2).xlog3(1eq r(2)(2)y3x在(0，)上单调递增，yeq f(1,3x)在(0，)上单调递减，f(x)3xeq f(1,3x)在(0，)上单调递增(3)teq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，1)，f(t)3teq f(1,3t)0.3tf(2t)mf(t)0化为3teq blc(rc)(avs4alco1(32tf(1,32t)meq blc(rc)(avs4alco1(3tf(1,3t)0，即3teq blc(rc)(avs4alco1(3tf(1,3t)m0，即