任意截面抗弯强度计算方法

1、编号：2010-01中铁二院科技研究开发计划项目分报告截面抗弯强度验算原理设计者：岳强复核者：报告单位：中铁二院工程集团有限责任公司二OO年一月目录TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark4 第1章砼截面抗弯计算3 HYPERLINK l bookmark6 1、砼截面抗弯公式3 HYPERLINK l bookmark8 截面受力图示3 HYPERLINK l bookmark10 公式推导3 HYPERLINK l bookmark14 1.2.1简化公式(1)31.2.2简化公式(2)41.2.3合并公式(3-2)、(4-2)41.2.4分析公式(5-1)5

2、HYPERLINK l bookmark30 特别情况7 HYPERLINK l bookmark34 纯弯7 HYPERLINK l bookmark36 大小偏心界线时71.3.3大小偏心界线时检查式(5)7 HYPERLINK l bookmark38 2、极限弯矩计算(砼应力最大时)8 HYPERLINK l bookmark40 2.1荷载图示8 HYPERLINK l bookmark42 极限应力时中性轴位置8 HYPERLINK l bookmark56 3、极限弯矩计算(钢筋应力最大时)9 HYPERLINK l bookmark66 4、弯矩增加系数10抗弯计算公式-1/3

3、0/2019第1章砼截面抗弯计算1、砼截面抗弯公式截面受力图示截面作用单向荷载时，截面轴力N,弯矩为M,暂假定中性轴与弯矩方向平行,截面受力图示见图1-1，图中C为全截面质心（含钢筋）。图1-1截面受力图示公式推导计算中性轴的位置，在局部坐标系（x,y,z）中推导。轴力的方向以Z坐标轴正方向为正，弯矩M方向以绕x轴正向为负。，工F二0,N+JgdA+工bdAdA二0zzzggggiy+工dA-|y=0，gg工Mx=0,N*y一MdA-|y+工dA-czgg式中：N为轴力，M为弯矩；Ag为钢筋面积，Az为砼面积；Yc为重心轴到到z轴（截面底）距离，y为截面砼或钢筋积分点到z轴距离。简化公式（1）

4、由式Q=E-8，代入式（1）中，可得，N+JE-8dA+工E-8dA+工E-8dA=0，合并截面中受拉、受压钢zzzgggggg筋，简化可得，N+JE-8dA+工E-8dA=0。zggg第3页共10页抗弯计算公式-1/30/2019第 页共10页按应力、应变的平截面假定，即e=kJy-H+y),e=ky-H+y)，中心轴以上为正，k为常数，由上式可得N+EJk-(y-H+y)dA+E工k-(y-H+y)dA=0，加入积分范围得sgsgN+E-kJ(y-H+y)dA+E-k工(y-H+y)dA=0(zszgsg0设S为截面的面积矩，砼对中性轴面积矩S(中性轴以下为负)，钢筋对中性轴面积矩Sg(中

5、性轴以下为负，中性轴以上为正)，截面或换算截面对中性轴的惯性矩I。则上式可得，N-E-k-(H-y)-A+E-k-S-E-k-(H-y)-A+E-k-S=0(3-1)zszgsggg式中S为受压区砼对中性轴的面积矩，S为钢筋对中性轴的面积矩。简化得zgN-E(H-y)-A+E-S-E(H-y)-A+E-S=0，即得ksgsggg3-2)N=E-(H-y)-A-E-S+E-(H-y)-A-E-Skzszzgsggg简化公式(2)dA|y|+dA|y|=0，再得,gggg由(2)式得N*(-e+y)+dA-|y+cz0N*(-e+y)+JE-edA-y+工E-edAy+工E-edA-y=0,czg

6、ggggg0N*(-e+y)+JEdA-y+工EdA-y=0czggg0N*(-e+y)+JE-k-(y一H+y)dA-y+工E-k-(y一H+y)dA-y=0，可得,csgsgN*(-e+y)+E-k(y一H+y)-ydA+E-k工(y一H+y)-ydA=0csgsg0上式得N*(-e+y)-E-k-(H-y)-S+E-k-1-E-k-(H-y)-S+E-k-1=0csgsggg可得，-(-e+y)-E-(H-y)-S+E-1-E-(H-y)-S+E-1=0,(4-2)kcsgsggg合并公式(3-2)、(4-2)由(3-2)式：=E-(H-y)-A-E-S+E-(H-y)-A-E-S，ks

7、gsgggE-(H-y)-A-E-S+E(H-y)-A-ES(-e+y)TOC o 1-5 h z代入(4-2)式可得，sgsggg-E(H-y)S+EI-E(H-y)S+EI=0sgsgggE(H-y)A-S+n(H-y)A-nS(-e+y)E-(H-y)S+1-n(H-y)S+nI=0zszsggy为截面中性轴到截面上缘距离，y为截面中性轴到截面下缘距离，y=H-y，分离出y得，PPss(H-y)(A(-e+y)+nA(-e+y)-S-nS)-S(-e+y)-nS(-e+y)+1+nI=0scgcgcgcgS-(-e+y)+n-S-(-e+y)-1-n-1工“八口Hy=zcgczg，再间化

8、可得sA-(-e+y)+n-A(一e+y)-S-n-Szcgczg(S+nS)(-e+y)-1-nIH-y=gc，即s(A+nA)(-e+y)-S-nSgcgI+n-1(S+n-S)-(-e+y)Hy=zgzgc，(5)sS+nS-(A+n-A)(-e+y)zgzgcH-y二10-S0,(yce),(5-1),I为换算截面对z轴的惯性矩，S为换算截S-A-(y-e)0000c面对z轴面积矩，A为换算截面面积。0分析公式(5-1)由式E=M/n，代入式(5-1)：H-yI-S-(y-M/N)=00cS-A-(y-M/N)00c5-2)，一N-1-S-(N-y-M)Hy=00N-S-A-(N-y-

9、M)00c(5-3)中性轴位置y”NI-S(Ny-M)=H00LNS-A(Ny-M)00c考虑程序计算把式(5-3)简化nI-S(Ny-M)+nS-A(Ny-M)(y-H)=0(5-4)，即00c00cF(N,M)=N*I-S*y+(S-A*y)*(y-H)+M*S+A*(y-H)=000c00cs00sF(N,M)=N*I+S*(y-H-y)+A*y*(H-y)+M*S+A*(y-H)=000sc0cs00s再得：F(N,M)=N*I-S*(H-y+y)+A*y*(H-y)+M*S-A*(H-y)=000sc0cs00s抗弯计算公式-1/30/2019共10页可得:F(N,M)=N*I-0S

10、*(y+y)+A0pc0*y*y-M*A*y-S=0cp0p0(6)F(y)=N*I-S*(y+p0程序采用式(7)迭代可得到中性轴位置y1.2.5牛顿切线迭代法0py)+A*y*y-c0cpM*A*y-S0p0(7)d(F(y)dN*I-S*(y+y)+A*y*y-M*Ap100pc0cp0d(F(y)N*dI-S*(y+y)+A*y*y-M*dp00pc0cpd(F(y)N*dI-dS*(y+y)-S*d(y+y)+dA*pM00p*dA*y+A*cdy0-dSpc0p00pyc*y0p*y+p0p*y-Sp0S0A*d(y*y)0cp假定：I=蝌2dA,S0yp=?ypydA,A=?1d

11、A。p0-A0S=doA0ydypp+A0dy*p,A20轾dyc=犏A20dy*y+S0pA20*Np*pppd(F(y)=p-M-y1dy*(y+y)-p*dy-y1dyppppp*y+Ap0S*d(y0)+1dyp*yc*yp*d(y*y)cpd(F(y)=NMp+py2dy-pA0p*dyy*y1dy-Spp0-y1dypp*dy-p*dycy*ycp*dyp+A*d(y*y)0d(F(y)=p*pd(F(y)=N*p-M*F(yp)=睚S0-ypy2dy-pp-ydpp*y1dy-pS*dy-0*dyc*yp*dyp*ydypc+A0*ydycp*y1-S-Sp0*MdypA*0*y

12、pA20+S+*yp0*ypA20+S+A*y*Ndy0cpSyopA0S2f+y2A2p*MpSy0p+A0*y*N化简得：F(y)=p轾犏犏犏-S臌犏0S2T+A20*yc迭代计算式：yn+1pynpF(y)TF(y)p8)1.2.6直接迭代由式F(y)=Npyp=(Ix-Ax*yc)*I-0S*(y+y)+A0pc0*fN+Ax*fM)/第6页*y*y-cp(Ax-AM*A*y-S=0，可得0p0*yc)*Fn+A*fM)抗弯计算公式-1/30/2019第 页共10页1.3特别情况作用荷载在截面重心轴时轴力N弯矩M，e二-；式中S二A-yS=A-ygg纯弯S若N=0时，即纯弯，F（N,M

13、）=0,得a*y-s=0,中性轴y=匕。0p0pA0大小偏心界线时若y=0时即大小偏心界线时，由（5-2）式得y=y-W七y=y-（1-W）sscesce式中w*为核心矩，w*为偏心矩。1.3.3大小偏心界线时检查式（5）检查式（5）取临界大偏心时，即截面上缘刚受拉时，即Ys=0NNeyI求下缘受拉时的核心矩e上,=上，得核心矩e=-（1.3-1），式中Ic上AI上AyccI+Ay2Ayc为换算截面惯性矩，可得。（yc=|），I，S为坐标系Z中的截面特性值。2、极限弯矩计算（砼应力最大时）2.1荷载图示9走吐.极限应力时中性轴位置N+-AsM*y2-1），Is,As为在新重心轴s下的值。TOC

14、 o 1-5 h zs=c根据截面应力计算式IsM*yNT=IsAs由上式得s=N*/yAs(F+1)yt再得sN*（y）,截面Sx,Ax为在x坐标下特性Asyt值，y=y_y可得stpcNAs*(ypyp)，-yc由式，yc=却可得s=N*(X)，可得AsSxy_人pAxs*As*(y-)=N*y,可得F(y)=pAxpp*_N*y=0Axps*As*y_s*AspF(y)=s*Ax*y_s*Sx_N*y=0(2-2)ppp由式(2-2)可求得中性轴位置。极限弯矩由式（2-1）可得弯矩值，可得M=*Iss*y+yctIx=Is+A*yc2,可得M=s*(I-A*y2)xxcy+ycty=y+

15、y简化得M=s*(【x_d*叩，式中,ypctycSxAx抗弯计算公式-1/30/2019第9页共10页3、极限弯矩计算（钢筋应力最大时）M*y*nngg+IA3-1），M*yNt=-IA，（3-2）SSAygg=yg-A由上两式得Sg=A*（-二+i),(3-3),yt式中：y=y-y=ytpcpNn*yTOC o 1-5 h z再得，s=*(1-E,s*A=N*(1-gASgy-y-pApAn*ySSs*A=N-N*矿,s*A*(y-)=N*(y-)-N*n*ygSgpApAggy-pASs*(A*y-S)=N*(y-)-N*n*ygppAggF2(y)=s*(A*y-S)-N*(y-S)+N*n*y，pgppAggF2(y)=s*(A2*y-A*S)-N*(A*y-S)+N*A*(y-S/A)*npgppgTOC o 1-5 h zF2(y)=s*(A2*y-A*S)-N*(A*y-S)+N*A*y*n-N*S*npgppgF2(y)=s*(A2*y-A*S)-N*(A*y-S-A*y*n+S*n)(3-8)pgppgF2(y)=-N*(A*y-A*y*n+(n-1)*S)-s*A*(S-A*y)ppggpF2(y)=N*(A*(y*n-y)-(n-1)*