关于高等数学-大一-上学期知识要点

1、高数总复习 上 一、求极限的方法：1、利用运算法就与基本初等函数的极限；、定理如 limf x A ,limg x B , 就nn A n为正 加减运算 limf x g x AB 乘法运算 limf x g g x AB 除法运算 如B0,limf x Ag x B推论 1: limf x A ,limf x nlimf x 整数 推论 2: limcf x c limf x x 0D ,结论 1:lim xa xma xm1Lam1xama 0,当mnb 00,当mnb xnb xn1Lb1xb nn,当mn结论 2: f x 是基本初等函数,其定义区间为D,如就 2、利用等价无穷小代换及

2、无穷小的性质；定义 1: 如limx xf x 0或（lim xf x 0）:. 就称f x 是当xx 或 x 时的无穷小 .定义 2: ,是自变量在同一变化过程中的无穷小: 如lim1, 就称与是等价 无穷小 , 记为性质 1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质 2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. , 定理 2 等价无穷小替换定理 设,且 lim存在 , 就. limlimlimlim 因式替换原就 常用等价无穷小 : 3、利用夹逼准就和单调有界收敛准就；准就 I 夹逼准就 如数列xn,y n,z n=

3、1,2, 满意以下条 n件: 1y nxnz nn1 2 3 L; . a. 2 lim nynlim nz na, 就数列x的极限存在 , 且lim nxn准就 II: 单调有界数列必有极限4、利用两个重要极限；5、利用洛必达法就；未定式为0 , 0,0,0类型 . F x 0; 0 0型: 设定理 xa 时的1lim x af x lim x aF x 0; 2 在某o U a , 内, f x 及F x 都存在且二、求导数和微分：1. 定义导数 ：函数yf x 在xx 处的导数：xf x0.fx0lim x x 0f x f x 0lim x 0f x 0 xxx 0函数yf x 在区间

4、 I 上的导函数：0,函数的微分 ：dyf x dx .2. 导数运算法就（须记住P140导数公式 ） 函数和差积商求导法就：函数u x 、 v x 可导,就：反函数求导法就：如x y 的导数存在且 就反函数yf x 的导数也存在且为复合函数求导法就 链式法就 ：u x 可导,yf u 可导,就yf 可导,且隐函数求导法就 : 参数方程求导法就: 0就dy . 如 dx 3. 微分运算法就 三、求积分：1. 概念 ：原函数、不定积分；定积分是一个数,是一个和的极限形b n式；a f x dx lim f i x ii 1a a b性质 1：a f x dx 0, b f x dx a f x

5、dxb b b性质 2：a f x g x dx a f x dx a g x dxb b性质 3：a kf x dx k a f x dx , k是常数 .b c b性质 4：a f x dx a f x dx c f x dx 去绝对值, 分段函数积 分 b 性质 5：adx b a2. 运算公式：P186基本积分表； P203 常用积分公式；第一换元法 凑微分 ：f x dxf x d u f u duu 其次换元法：分部积分法：分部化简 ; 有理函数积分：循环解出 ; 递推公式混合法 赋值法 +特别值法 确定系数 牛顿莱布尼茨公式：定积分换元法：5.b af x dxf t dta b

6、=（换元换限,配元 凑微 不换 限）定积分分部积分法：6.bu x v x dxu x v x bbu x v x dxaaa结论 偶倍奇零 ： 如函数 f x 为偶函数,就a a af x dx 2 0 f x dx ；a如函数 f x 为奇函数,就 af x dx 0留意 : 1. 利用 “ 偶倍奇零”简化定积分的运算；2. 定积分 几何意义 求一些特别的积分 如aa22 x dxa2 04 变限积分求导四、微分和积分的应用1. 判定函数的单调性、凹凸性、求其极值、拐点、 判定单调性：描画函数图形第一步：找使f 0的点和不行导点；其次步：以 驻点和不行导 点划分单调区间,在每个区间上争论f

7、 x 的正负,f 0,函数递增,f 0,函数递减； 判定凹凸性：f 0的点和不行导点；第一步：找使其次步：以这些点划分定义区间,在每个区间上讨论f x 的正负,f 0,是凹区间, x 的f 0,是凸区间；（ 拐点 ：左右两边f符号相反） 判定函数极值：第一步：找使 f 0 的点和不行导点；其次步：判定这些点两边 f x 的正负,如 左正 右负 极大值点左负右正 微小值点；2.1 定积分的几何应用 y=f 上 xy=f 下 x- 求面积,体积和弧长O a Sb x f下 x dx所求图形的面积为 ：bf上ay d x左 x右 c O Sx 左 y dy所求图形的面积为：d右 c旋转体 ：由连续曲

8、线y f x 、直线x a 、x b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体；y a yf x b V b afx2dxbfx2dx；O xax 旋转体：由连续曲线x 、直线 y c 、y d 及 y 轴所围曲边梯 形绕 y 轴旋转一周而成的立体 2.3 定积分的物理应用变力沿直线做功；水 侧 压力；引力思路 : 建立坐标系,选取积分变量 如 x ,在 x, x+ dx上给出 微元第六空间解析几何a r a i ra j ra k r在坐标轴上的投影分别为：r r ry , a ；在坐标轴上的重量分别为：a i a j a k；1. 向量ax,a|a|ax2ay2az2,az,

9、e a r|r a r a|cos ,cos,cos 2. 利用坐标作向量的线性运算 r r a baxbx,ayby,azb z,arax,ay数量积 数: 向量积 向量 r r r ra b a, ar br br r,且 a b,a r,r b构成右手系,|r ar b| |r ra br r |sin , 几何意义 : 平行四边形的面积 3向量之间的关系 4平面图形及其方程 平面的法向量：和平面垂直的非零向量；点法式方程：M0 x 0,y 0,z 0法向量r n , A B C 其中设平面过点A B C 不全为 0, 就平面的方程为 一般方程： 当 D = 0 时, A x + B y

10、 + C z = 0 表示 通过 原点的平面 ; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 表示平行于 x 轴 的平面 ; Ax+Cz+D = 0 表示平行于 y 轴的平面 ; Ax+By+D = 0 表示平行于z 轴的平面0的距Cz + D = 0 表示平行于xoy 面 的平面 ; Ax + D =0 表示平行于yoz面 的平面；By + D =0 表示平行于 ur设平面 1的法向量为 n 1uur平面 2的法向量为 n 2 zox面 的平面 A B C 1,A 2,B 2,C2,就两平面夹角的余弦为 ：cosn 1n 2；n 1n 2平面外一点P x 0,y 0,z 0到平面Ax