新华师大版九年级上册初中数学图形的相似与位似含解析

1、精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档图形的相似与位似一.选择题1. （2019浙江杭州3分）如图，在ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DEBC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）ABCD【分析】先证明ADNABM得到，再证明ANEAMC得到，则，从而可对各选项进行判断【解答】解：DNBM， ADNABM，NEMC，ANEAMC，故选：C【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：三在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性

2、质表示线段之间的关系2. （2019广西贺州3分）如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DEBC，若AD2，AB3，DE4，则BC等于（）A5B6C7D8【分析】由平行线得出ADEABC，得出对应边成比例，即可得出结果【解答】解：DEBC，ADEABC，即，解得：BC6，故选：B【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键3. （2019甘肃省庆阳市3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A平移变换B相似变换C旋转变换D对称变换【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，

3、属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换故选：B【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出二.填空题1. （2019江苏无锡2分）如图，在ABC中，AC：BC：AB5：12：13，O在ABC内自由移动，若O的半径为1，且圆心O在ABC内所能到达的区域的面积为，则ABC的周长为25【分析】如图，由题意点O所能到达的区域是EFG，连接AE，延长AE交BC于H，作HMAB于M，EKAC于K，作FJAC于J利用相似三角形的性质以及三角形的面积公式求出EF，再证明HACHAM（AAS），推出AMAC5m，CHHM，BM8m，设CHHMx，在RtBHM中，则有x2+（

4、8m）2（12mx）2，推出xm，由EKCH，推出，推出，可得AK，求出AC即可解决问题【解答】解：如图，由题意点O所能到达的区域是EFG，连接AE，延长AE交BC于H，作HMAB于M，EKAC于K，作FJAC于JEGAB，EFAC，FGBC，EGFABC，FEGCAB，EFGACB，EF：FG：EGAC：BC：AB5：12：13，设EF5k，FG12k，5k12k，k或（舍弃），EF，四边形EKJF是矩形，KJEF，设AC5m，BC12m，AB13m，ACHAMH90，HACHAM，AHAH，HACHAM（AAS），AMAC5m，CHHM，BM8m，设CHHMx，在RtBHM中，则有x2+（

5、8m）2（12mx）2，xm，EKCH，AK，ACAK+KJ+CJ+1，BC1210，AB13，ABC的周长AC+BC+AB+10+25，故答案为25【点评】本题考查动点问题，轨迹，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题2. （2019江苏无锡2分）如图，在ABC中，ABAC5，BC4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则BDE面积的最大值为8【分析】过点C作CGBA于点G，作EHAB于点H，作AMBC于点M由ABAC5，BC4，得到BM

6、CM2，易证AMBCGB，求得GB8，设BDx，则DG8x，易证EDHDCG，EHDG8x，所以SBDE，当x4时，BDE面积的最大值为8【解答】解：过点C作CGBA于点G，作EHAB于点H，作AMBC于点MABAC5，BC4，BMCM2，易证AMBCGB，即GB8，设BDx，则DG8x，易证EDHDCG（AAS），EHDG8x，SBDE，当x4时，BDE面积的最大值为8故答案为8【点评】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键3. （2019江苏扬州3分）如图，在ABC中，AB=5，AC=4，若进行一下操作，在边BC上从左到右一次取

7、点D1、D2、D3、D4；过点D1作AB、AC的平行线分别交于AC、AB与点E1、F1；过点D2作AB、AC的平行线分别交于AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交于AC、AB于点E3、F3，则4（D1E1+D2E2+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+D2019F2019）= 40380 【考点】：相似三角形，比例性质【解析】：D1E1AB D1F1AC AB=5 AC=4 4D1E+5D1F=20 有2019组，即201920=40380【答案】：403804. （2019江西3分）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0）， （4，4），（0

8、，4），点P在x 轴上，点D在直线AB上，DA=1， CP DP于点P，则点P的坐标为 P(2，0）， P(，0）， P(，0） .解析：设P(m,0） 如图1，CPD=90，OCPPAD 即： m=2 P(2，0） 如图2，CPD=90，OCPAPD 即： m= P(，0） P(，0） 综上分析可知：P(2，0）， P(，0）， P(，0） 5. （2019浙江杭州4分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A点，D点的对称点为D点，若FPG90，AEP的面积为4，DPH的面积为1，则矩形ABC

9、D的面积等于2（5+3）【分析】设ABCDx，由翻折可知：PAABx，PDCDx，因为AEP的面积为4，DPH的面积为1，推出AE4DH，设DHa，则AE4a，由AEPDPH，推出，推出，可得x2a，再利用三角形的面积公式求出a即可解决问题【解答】解：四边形ABC是矩形，ABCD，ADBC，设ABCDx，由翻折可知：PAABx，PDCDx，AEP的面积为4，DPH的面积为1，AE4DH，设DHa，则AE4a，AEPDPH，x24a2，x2a或2a（舍弃），PAPD2a，a2a1，a1，x2，ABCD2，PE2，PH，AD4+2+15+3，矩形ABCD的面积2（5+3）故答案为2（5+3）【点评

10、】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题6.（2019四川自贡4分）如图，在RtABC中，ACB90，AB10，BC6，CDAB，ABC的平分线BD交AC于点E，DE【分析】由CDAB，DABE，DCBE，所以CDBC6，再证明AEBCED，根据相似比求出DE的长【解答】解：ACB90，AB10，BC6，AC8，BD平分ABC，ABECDE，CDAB，DABE，DCBE，CDBC6，AEBCED，CEAC83，BE，DEBE，故答案为【点评】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理

11、是解题的关键7.（2019天津3分）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为 .【答案】【解析】因为四边形ABCD是正方形，易得AFBDEA，AF=DE=5，则BF=13.又易知AFHBFA，所以，即AH=，AH=2AH=，由勾股定理得AE=13，GE=AE-AG=8.（2019河南3分）如图，在矩形ABCD中，AB1，BCa，点E在边BC上，且BEa连接AE，将ABE沿AE折叠，若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上，则a的值为或【分析】分两种情况：点B落在AD

12、边上，根据矩形与折叠的性质易得ABBE，即可求出a的值；点B落在CD边上，证明ADBBCE，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值【解答】解：分两种情况：当点B落在AD边上时，如图1四边形ABCD是矩形，BADB90，将ABE沿AE折叠，点B的对应点B落在AD边上，BAEBAEBAD45，ABBE，a1，a；当点B落在CD边上时，如图2四边形ABCD是矩形，BADBCD90，ADBCa将ABE沿AE折叠，点B的对应点B落在CD边上，BABE90，ABAB1，EBEBa，DB，ECBCBEaaa在ADB与BCE中，ADBBCE，即，解得a1，a20（舍去）综上，所求a的值为或故答案为或【点评】

13、本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质进行分类讨论与数形结合是解题的关键三.解答题1. （2019江苏宿迁12分）如图，在钝角ABC中，ABC30，AC4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将BDE绕点B逆时针方向旋转度（0180）（1）如图，当0180时，连接AD、CE求证：BDABEC；（2）如图，直线CE、AD交于点G在旋转过程中，AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将BDE从图位置绕点B逆时针方向旋转180，求点G

14、的运动路程【分析】（1）如图利用三角形的中位线定理，推出DEAC，可得，在图中，利用两边成比例夹角相等证明三角形细相似即可（2）利用相似三角形的性质证明即可（3）点G的运动路程，是图1中的的长的两倍，求出圆心角，半径，利用弧长公式计算即可【解答】解：（1）如图中，由图，点D为边AB中点，点E为边BC中点，DEAC，DBEABC，DBAEBC，DBAEBC（2）AGC的大小不发生变化，AGC30理由：如图中，设AB交CG于点ODBAEBC，DABECB，DAB+AOG+G180，ECB+COB+ABC180，AOGCOB，GABC30（3）如图1中设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向右作等边

15、ACO，连接OG，OB以O为圆心，OA为半径作O，AGC30，AOC60，AGCAOC，点G在O上运动，以B为圆心，BD为半径作B，当直线与B相切时，BDAD，ADB90，BKAK，DKBKAK，BDBK，BDDKBK，BDK是等边三角形，DBK60，DAB30，DOG2DAB60，的长，观察图象可知，点G的运动路程是的长的两倍【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，弧长公式，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会正确寻找点的运动轨迹，属于中考压轴题2. （2019江西9分）数学活动课上，张老师引导同学进行如下研究：如图1，将

16、长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图活动一如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时铅笔AB的中点C与点O重合。数学思考;设CD=xcm,点B到OF的距离GB=ycm ;用含x的代数式表示：AD的长是 cm ，BD的是 cm活动二列表，根据（1）的所求函数关系式讲算并补全表格x(cm)6543.532.5210.50y(cm)00.551.21.582.4734.295.08描点：根据表格中数值，继续描出中剩余的两点（x,y)连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象数学思考请你结合函

17、数的图象，写出该函数的两条性质【考点】此题主要考察相似三角形的判定及性质，难度不大需要注意的是自变量的取值范围，要考虑端点值。最后一问开放题，说明函数图像的性质，可以从图象位置，增减性，最值等几个角度入手，考察同学们的发散思维能力【解析】（1）AB=12且C为AB中点 AC=BC=6 CD=x AD=AC+CD=6+x BD=BC-CD=6-x（2）：x(cm)6543.532.5210.50y(cm)00.551.21.5822.4734.295.086如图所示。（3，2）和（0，6）如图所示。（3）性质可从三个角度入手，从图象位置，增减性，最值三个角度入手 从位置角度：当06时，图象在象限

18、内的图象在第一象限 当06时，图象与坐标轴有两个交点 从增减性角度：当06时，y随x增大而减小 从最值角度理解：当x=6时，y取到最小值为03. （2019河南10分）在ABC中，CACB，ACB点P是平面内不与点A，C重合的任意一点连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP，连接AD，BD，CP（1）观察猜想如图1，当60时，的值是1，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60（2）类比探究如图2，当90时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由（3）解决问题当90时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同

19、一直线上时的值【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O证明CAPBAD（SAS），即可解决问题（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E证明DABPAC，即可解决问题（3）分两种情形：如图31中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H证明ADDC即可解决问题如图32中，当点P在线段CD上时，同法可证：DADC解决问题【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点OPADCAB60，CAPBAD，CABA，PADA，CAPBAD（SAS），PCBD，ACPABD，AOCBOE，BEOCAO60，1，线BD与直线CP相交所

20、成的较小角的度数是60，故答案为1，60（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点EPADCAB45，PACDAB，DABPAC，PCADBA，EOCAOB，CEOOABB45，直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45（3）如图31中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于HCEEA，CFFB，EFAB，EFCABC45，PAO45，PAOOFH，POAFOH，HAPO，APC90，EAEC，PEEAEC，EPAEAPBAH，HBAH，BHBA，ADPBDC45，ADB90，BDAH，DBADBC22.5，ADBACB90，A，D，C，B四点共圆，DACDBC22.5，DCAABD22.5，DACDCA22.5，DADC，设ADa，则DCADa，PDa，2如图32中，当点P在线段CD上时，同法可证：DADC，设ADa，则CDADa，PDa，PCaa，2+【点评】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题9. （2019广东省广州市14分）如图，等边ABC中，AB6，点D在BC上，BD4，点E为边AC上一动点（不与点C重合