高二数学备课课件：3.1.3《空间向量的数量积运算》（新人教A版选修2-1）

1、3.1.3 空间向量的数量积运算一、空间向量的夹角1.定义：(1)条件：a,b是空间的两个_向量.(2)作法：在空间任取一点，作 (3)结论：_叫做向量a,b的夹角，记作_非零AOBa,b2.范围：a,b_，其中，(1)当a,b=0时，a与b的方向_.(2)当a,b=时，a与b的方向_.(3)当 时，a与b互相_，记作_0,相同相反垂直ab思考：若a,b是空间的两个非零向量，则-a,b=a,-b=a,b，对吗？提示：不对-a与a，-b与b分别是互为相反向量，-a,b=a,-b=-a,b二、空间向量的数量积1.定义：(1)条件：a,b是两个非零向量.(2)结论：把_叫做a,b的数量积.(3)记法

2、：ab，即ab=_2.运算律：空间向量a,b满足(1)数乘向量与向量数量积的结合律:(a)b=_.(2)交换律:ab=_.(3)分配律:a(b+c)=_.|a|b|cosa,b|a|b|cosa,b(ab)baab+ac判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量.( )(2)零向量与任意向量的数量积等于零.( )(3)若ab=k，则 ( )提示：(1)正确.由数量积的定义式ab=a|b|cos知其为数量而不是向量，故正确.(2)正确.由数量积的定义式知此说法正确.(3)错误.向量的运算与乘法运算不同.答案：(1) (2) (3)【知识点拨】1.对空间向量夹角的

3、理解(1)任意两个非零向量的夹角是唯一确定的,即a,b=b,a.(2)向量的夹角与直线的夹角有联系但也有区别.例如,直线AB与CD的方向向量分别是a,b,若a,b不是大于90的角，则直线AB与CD所成的角就是a,b;若a,b大于90，则直线 AB与CD所成的角是-a,b.特别地，若a,b=0或a,b=,则ABCD；若 则ABCD.2.空间向量数量积的性质及几何意义(1)空间向量的数量积ab可以为正，可以为负，也可以为零.(2)若向量a,b是非零向量，则(3)特例与变形：若a是单位向量，则ab=|b|cosa,b;aa=|a|2.(4)几何意义：a与b的数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向

4、上的投影|b|cosa,b的乘积.3.空间向量数量积运算与运算律向量的数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，不满足：消去律：即由ab=bc不能推出a=c，即向量不能约分；乘法结合律：即(ab)c=a(bc)不一定成立，这是因为(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，但c与a不一定共线类型 一 空间向量数量积的运算 【典型例题】1.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E,F分别是BC，AD的中点，则2.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算：【解题探究】1.题1

5、中已知四边形各边的长及对角线长，若求 需要如何转化?2.进行空间向量数量积的运算，关键是确定什么要素？探究提示：1.题1需要把 转化为利用空间四边形的边长或对角线长表示.2.关键是根据已知条件确定有关向量的模及其夹角【解析】1.由题意知，答案：2.设 则|a|=|c|=2,|b|=4,ab=bc=ca=0,如图所示.(1)(2)(3)【拓展提升】空间向量的数量积的运算方法(1)紧扣定义:进行空间向量的数量积的运算时,应紧扣数量积的定义，即利用ab=|a|b|cosa,b，并正确运用数量积的运算律(2)利用性质:在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知向量表示后再

6、进行运算.在解题过程中注意适当地选择向量，以简化步骤.类型 二 利用向量的数量积处理垂直问题 【典型例题】1.如图，已知ABC在平面内，A=90，DA平面, 则直线CA与DB的位置关系是_.2.已知空间四边形OABC中，AOB=BOC=AOC,且OA=OB=OC.M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点.求证:OGBC.【解题探究】1.用向量法判定两直线垂直的依据是什么？2.题2中若用向量法证明OGBC,能直接证明 吗？需要做如何转化？探究提示：1.用向量法判定两直线垂直的依据是此两直线所在的向量的数量积为0.2.不能直接证明 应把 利用 表示后再证明.【解析】CADB.答案：垂直2.如图

7、，设AOB=BOC=AOC=,又设 则|a|=|b|=|c|.又【拓展提升】用向量法证明垂直问题的一般思路用向量证明立体几何中的垂直问题，最主要的是将几何问题转化为向量问题直线与直线垂直可转化为向量垂直；线面垂直可直接转化为线线垂直，进而转化为向量垂直其解答步骤一般为：【变式训练】如图，已知正方体ABCD-ABCD，CD和DC相交于点O，连接AO，求证：(1)AOCD.(2)AC平面BCD【证明】(1)(2)可知,同理可证,ACBD.又 平面BCD,BCBD=B,AC平面BCD. 类型 三 利用数量积求异面直线的夹角 【典型例题】1(2012桂林高二检测)直三棱柱ABC-A1B1C1中，若 则

8、异面直线A1B与C1A所成的角等于( )2(2012绍兴高二检测)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E，F分别是线段AB，BC上的点，且EB=BF=1，求直线EC1与FD1所成的角的余弦值【解题探究】1.利用向量法求两条异面直线所成角的依据是什么？2.题2中若求EC1与FD1所成的角，需要求出哪些量的值?探究提示：1.利用向量法求两条异面直线所成角的依据是2.题2中若求EC1与FD1所成的角，需要求出与 的值.【解析】1选C如图，设AB=AC=AA1=1，故A1B与C1A所成的角等于2设则|a|=4,|b|=3,|c|=2，同理可求得，直线EC1与

9、FD1所成的角的余弦值为【拓展提升】利用数量积求异面直线的夹角(或余弦值)的步骤提醒：两异面直线所成角的范围为 两个向量的夹角范围为0,，利用数量积求异面直线所成的角时，要注意角度的转化【变式训练】已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求向量 与向量 所成角的余弦值.【解析】如图所示,设 且|a|=|b|=|c|=1,易知则因为所以设 所成的角为,向量 与向量 所成角的余弦值为类型 四 利用向量的数量积求距离(即线段长度) 【典型例题】1如图，已知二面角-l-，A，B,AAl于A，BBl于B,AA=4，AB=5，BB=3，若二面角-l-的大小为60，则AB=

10、_2如图所示，在空间四边形OABC中，OA,OB,OC两两成60角，且OA=OB=OC=2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离【解题探究】1对于题1，二面角-l-的大小与向量 的夹角有何关系？2对于题2，求E，F间的距离实际上可转化为求向量的模，应如何转化？探究提示：1根据二面角的平面角的定义，二面角-l-的大小就等于2可根据向量的线性运算，转化为 的关系求解【解析】1.即由题意知，=43cos 120=-6，答案：2 间的距离为【互动探究】题1中“若二面角-l-的大小为60”改为：“若二面角-l-为直二面角”，其他条件不变，结果如何？【解析】由题1解答知，二面角-l-为直二面

11、角，AAl，BBl，【拓展提升】求线段的长度(或两点间的距离)的方法 利用空间向量的数量积求线段的长度或空间两点间的距离的基本思路是转化为求向量的模，根据是：需把握的问题为：(1)明确所需向量的模及其夹角.(2)能熟练运用空间向量的线性运算法则，把所需向量转化为已知向量和、差的形式.(3)注意使用数量积的运算公式及常用公式，即ab=|a|b|cosa,b；(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca).【变式训练】如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，已知AB=2，AD=1，AA=3，BAA=BAD=DAA=60，求AC的长【解题指南】解答本题可考虑求向量 的模，将 用 线性表示

12、，利用(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)进行计算即可【解析】即【规范解答】利用数量积求线段的长度【典例】【条件分析】段【规范解答】 ，2分即 6分异面直线a,b所成的角为60，AB的长为 或6 12分【失分警示】【防范措施】1.求空间中的距离(线段的长度)的关键准确把握向量的线性运算，掌握数量积的性质 是解答该类问题的关键，如本例欲求AB的长，可考虑求 ，于是可用 并正确运用数量积公式运算即可2.注意空间向量的夹角的辨别空间向量通过平移，可转化为平面中的向量问题，注意两向量的夹角的辨别方式是共起点，并注意向量的方向，如本例异面直线a,b所成的角为60，则根据 的方向辨别

13、，则 就有可能等于60或120【类题试解】(2013邢台高二检测)如图，已知平面，A，B,AB与两平面，所成的角分别为 过A,B分别作两平面交线的垂线，垂足为A，B,若AB=12，则求AB的值.【解析】由题意知，又由题意知，1已知i,j,k是两两垂直的单位向量，a=2i-j+k,b=i+j-3k，则ab=( )【解析】选Aab=(2i-j+k)(i+j-3k)=2i2+2ij-6ik-ij-j2+3jk+ik+jk-3k2=2|i|2-|j|2-3|k|2+ij-5ik+4jk,i,j,k两两垂直，ij=0，ik=0，jk=0,又|i|=|j|=|k|=1，ab=2|i|2-|j|2-3|k|2=2-1-3=-22.已知空间向量a,b,c两两夹角为60，其模都为1，则|a-b+2c|=( )A. B.5 C.6 D. 【解析】选A因为|a|=|b|=|c|=1，a,b=b,c=c,a=60,所以a2=b2=c2=1,所以 3.如图所示，棱长皆相等的四面体SABC中，D为SC的中点，则BD与SA所