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1、1量子力学2目 录 第一章 绪 论第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 量子力学中的力学量第四章 态和力学量的表象第五章 微扰理论第六章 散射（碰撞）第七章 自旋与全同粒子 第八章 量子力学若干进展 RETURN3一 、量子物理学的范围及其与经典物理学的关系第一章 绪 论 二 、量子物理学产生的历史背景 三 、量子力学的应用简介 RETURN4一 、量子物理学的范围及其与经典物理学的关系第一章 绪 论 经典物理： 描述宏观物理现象，只涉及体系行为的某些总的特征。 量子物理： 描述微观物理现象。主要研究微观粒子的行为，如原子、中子、电子等的运动规律。 经典物理学定律是量子物理学定律的极限形式。量子

2、物理学规律是自然界中最普遍的定律之一。RETURN5二 、量子物理学产生的历史背景 （一）几个主要的经典物理学问题 （二）经典物理学的困难与量子物理学的诞生 1. 黑体辐射问题 2. 光电效应问题 3. 康普顿（Compton）效应4. 原子结构及其光谱问题RETURN6二 、量子物理学产生的历史背景 （一）几个主要的经典物理学问题 19世纪末、20世纪初经典物理学理论发展到相当完善的地步，一般的物理现象都可归结于经典物理学理论。1. 行星运动牛顿力学 2. 热运动热力学与玻耳兹曼统计等理论 3. 电磁运动麦克斯韦方程组 RETURN7（二）经典物理学的困难与量子物理学的诞生 1. 黑体辐射问

3、题 一个能全部吸收投射在其上面的辐射而无反射的物体称为绝对黑体，简称黑体。 能量密度 /10-4 cm0510热平衡时，只与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和材料无关。8（1）维恩（Wien）经验公式 高频部分与实验相符。 （2）瑞利-金斯 (Rayleigh-Jeans) 公式 低频部分与实验相符；紫外发散困难： 时，实验瑞利-金斯维恩理论值T=1646T理论与实验发生巨大矛盾？9（3）普朗克（Planck）公式 普朗克 假说（1900年）： 黑体分子（原子）可视为线性谐振子，以 h（能量子）为能量单位不连续地发射和吸收辐射能量（h称为普朗克常量）普朗克Max Planck (1858

4、 - 1947)因发现能量子荣获1918年诺贝尔物理学奖 普朗克公式：10低频极限： 高频极限： 意义：解决了物理学中的紫外实验困难问题 统一了维恩和瑞利 - 金斯公式 提出能量量子化的概念,奠定了量子理论基础 RETURN112. 光电效应问题 光电效应：光照射到金属表面上时，有电子从金 属表面上逸出的现象。 光的频率大于某一定值（遏止频率）时，才有光电子逸出，与光强无关。 光电子能量仅与光的频率有关，且成线性关系，与光强无关。光强只影响光电子数目。 当光的频率大于遏止频率时，不管光多么微弱，光电子在光照的瞬间（10-9s）就会逸出。 经典理论的困难：光的能量决定于光的强度即波幅,与频率无关

5、。12爱因斯坦理论： 单色光的能量是成包的，每包大小为h，当光照射金属表面时，这能量全部传给金属中的电子。电子用此能量来克服金属表面对它的束缚做功，剩余部分便是电子离开金属表面后的动能。 因发现光电效应和对理论物理学的贡献荣获1921年诺贝尔物理学奖 爱因斯坦Albert Einstein (1879 -1955)13光电方程 vm - 电子脱离金属表面后的速度me - 电子质量, W0- 金属脱出功其中： RETURN143. 康普顿（Compton）效应康普顿效应：高频X射线经物质散射后，散射光 波长随散射角增加而增大的现象。石墨体X射线谱仪经典理论困难：光被散射后波长不变。 15康普顿假

6、设： 波长随散射角增加而增大是X射线的光子与电子碰撞的结果。 qjchnmvx-chn 康普顿 A. H.Compton (1892 -1962）因发现康普顿效应 荣获1927年诺贝尔物理学奖16根据能量守恒： 根据动量守恒： （ ）解之： 注意到： 17则： 电子康普顿散射波长结论： 或其中：光是由光子组成，能量是量子化的; 微观碰撞事件中能量、动量守恒 。意义：RETURN184. 原子结构及其光谱问题实验：（1）原子是稳定的； （2）氢原子光谱是分立谱线：1911年卢瑟 福 粒子散射实验，原子是有核结构。 经验公式： （巴耳末公式） m-1 氢的里德伯常量 700nm400nm500nm

7、600nm656.3nm486.1nm434nm19莱曼系（紫外光）-=22111nRHn巴耳末系(可见光区)-=22121nRHn布拉开系（红外区）-=22141nRHn普丰德系（红外区）-=22151nRHn帕邢系（红外区）-=22131nRHn20玻尔理论（1913年）： 原子具有能量不连续的定态，角动量是量子化的； 原子可由能量为Em的定态跃迁到能量为En的定态。辐射谱线的频率 量子化条件： 玻 尔 Niels Bohr (1885 1962)因研究原子结构和原子辐射所作出的贡献荣获1922年诺贝尔物理学奖21巴耳末公式的推导： 解 之22所 以 100973731.18173204-

8、=mchmeRe理实验值10096776.117-=mR实理论值23n=4n=3n=2n=1r =a1r =4a1r =9a1r =16a1莱曼系巴耳末系帕邢系24=n12354氢原子能级图13.583.391.510.850.540En(eV)莱曼系巴耳末系帕邢系布拉开系25玻尔理论是经典物理与量子物理的“混合物”，它保留了经典的确定性轨道，另一方面又假定量子化条件来限制电子的运动。它不能解释稍微复杂的问题，正是这些困难，迎来了物理学的大革命。注：玻尔理论存在的缺陷：理论推导不自洽（该理论是以牛顿力学经典理 论为基础的，但定态不产生辐射又与经典理论 自相矛盾）。量子化条件带有人为性质，没有指

9、出量子化结 果的本质原因是什么；26 为克服经典物理所遇到的困难，人们在经典物理的基础上加上了一些能量量子化的假设，由此虽然解决了许多问题，但并没有从根本上解决能量不连续的本质问题。这一切都推动着理论的发展。量子力学 （1923 - 1929）就是在克服这些困难中建立起来的。20世纪20年代量子物理学的两种等价理论同时提出：波动力学和矩阵力学 。27RETURN 量子力学发展简史 A 旧量子论的形成（冲破经典量子假说） 1900年 普朗克（Planck） 振子能量量子化 1905年 爱因斯坦（Einstein）电磁辐射能量量子化 1913年 玻尔（N.Bohr） 原子能量量子化 B 量子力学的

10、建立（崭新概念） 1923年 德布罗意（de Broglie）电子具有波动性 1926 1927年 戴维孙（Davisson）电子衍射实验 1925年 海森伯（Heisenberg） 矩阵力学 1926年 薛定谔（Schredinger） 波动方程 1928年 狄拉克（Dirac） 相对论波动方程28三 量子力学的应用简介 1.量子力学是现代物理学和其他自然学科的基础2.量子力学是现代高新技术的基础量子光学、量子电动力学、量子统计物理学、量子化学、量子生物学、量子信息学等。计算机技术、激光技术、电子及光通信技术、材料技术等RETURN29量子力学30第二章 波函数和薛定谔方程2.1 波函数及其

11、统计解释 2.2 态叠加原理 2.3 含时薛定谔方程 2.4 定态薛定谔方程 2.5 薛定谔方程的简单应用2.6 势垒贯穿 2.7 例 题RETURN312.1 波函数及其统计解释 一、波粒二象性 二、波函数 三、波函数的统计解释 RETURN32第二章 波函数和薛定谔方程2.1 波函数及其统计解释 一、波粒二象性 1. 光的波粒二象性 光子的能量和动量 ( 其中 ， )332.微观粒子的波粒二象性 德布罗意假说（1924年）： 一切实物微粒也具有波动性。 德布罗意 de Broglie (18921987)因发现电子的波动性 荣获1929年 诺贝尔物理学奖 34 与能量为E及动量为p 的粒子

12、相联系的波（物质波）的频率及波长为 例： 自由粒子 则波长 电子在电场中 则波长35定态 驻波 例题 粒子在无限深势阱中运动。 n =0，a，为节点 驻波条件： 所以 能量不连续 解：oa36驻波条件：轨道圆周长= n倍周长 mvhph=l所以，角动量为角动量是量子化的德布罗意关系：驻波2=nrlp)2,1(=n例题 氢原子的角动量。 解：问题 物质粒子既然具有波动性，为什么 过去长期把它们看成经典粒子？ 37例题 质量m、带电荷q的粒子，在与均匀磁场B 垂直 的平面内运动，利用玻尔量子化条件，求粒子 能量的可能值。解该带电粒子的机械动量 与正则动量 的关系为 设磁场方向垂直穿出纸面，粒子在纸

13、面内做圆周运动，半径为r。由玻尔条件于是，38又因洛伦兹力 ，使粒子做圆周运动.与玻尔量子化条件联立,得所以,粒子能量可能值为39V(x)V(x)（1）德布罗意革末（DavisonGermer） 电子衍射实验： （德布罗意假说验证，1927年） 3.德布罗意假设的实验验证电子枪探测器qqd40单晶表面等效的一个反射光栅 qsin225.12dkU=（2）汤姆孙电子衍射实验电子束金箔屏电子枪代入41 电子通过金属多晶薄膜的衍射实验 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验（汤姆孙1927年）（约恩逊1961年)42PQ DdBs1s2 S电子源电子的双缝衍射实验 以E1和E2分别表示穿过狭缝S1和S

14、2到达P点的电子波振幅上图中光程差S2 Q=d sin ,在P 点电子波振幅为43实验证明：电子、质子、原子、分子等都具有波 动性；波动性是物质粒子普遍具有的。 戴维孙、汤姆孙因电子衍射实验获1937年诺贝尔物理学奖Clinton Davisson 18811958P 点电子流的强度当 时,电子强度为极大,此结果为实验所证实.RETURN44二、 波函数 量子力学基本假说之一 ： 一切微观粒子的状态可用相应的波函数来描写.自由粒子： 是常量 是常量 平面波自由粒子平面波函数用一个函数描写粒子的波,称这个函数为波函数。 RETURN45三、 波函数的统计解释 1.粒子和波关系两种错误观点： 电子

15、波是电子的某种实际结构，即电子是三维空间连续分布的某种物质的波包。 波是由其所描写的粒子分布于空间而形成的疏密波。 电子所呈现出来的粒子性只是经典粒子概念中的“颗粒性”，电子呈现的波动性也只是波动性中最本质的东西波的“叠加性”。电子是具有波粒二象性的物质客体。 462. 概率波 德布罗意：“物质波”不是经典波所代表的某种物理量的波动，而是所描写粒子空间分布的概率波，把粒子的“原子性”与波的“叠加性”统一了起来。 电子衍射实验： 电子束金箔屏电子枪47 x处电子数又因为强度 波幅平方所以，电子在t 时刻，x处的概率电子波函数的模方因为x处的强度 x处感光点子数 电子出现 x 处的几率玻恩（M.B

16、orn)：在某一时刻, 空间 x 处粒子出现的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间出现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。48设波函数 ()tzyx, t 时刻处于 xx+dx，yy+dy，zz+dz内的概率 概率密度： 3.波函数的性质(1) 是单值、有界、连续的； ()tzyx,(2) 与 描写同一状态。 ()tzyx,()tzyxC,49(3)波函数的归一性 即粒子在全空间出现的概率和等于1 是平方不可积的,则可归一为d 函数()tzyx, 是平方可积的,则可归一化，如：平面波函数50()2121hp=A取 所以 箱归一化加上周期性边界条件限制 L 周期 4.存在不确定的相因子 （

17、其既不影响空间各 点粒子的概率，也不影响到归一性） die51设归一化因子为C，则归一化的波函数为取 0，则归一化的波函数为解：例题 将波函数 归一化()()2exp22xxfa-=计算积分得 ,所以，由RETURN522.2 态叠加原理 一、量子态二、态叠加原理量子力学假设之二 RETURN532.2 态叠加原理 一、量子态：二、态叠加原理量子力学假设之二 量子力学叠加原理： 如果 和 是体系的可能态，则它们的线性叠加 也是体系的可能态。 设 态中测力学量A值为 ， 态中测力学量A值为 ,则 态中测A 结果既可能是 ，也可能是 。或：体系处于态时，体系既处在态 ,又处在态 。 1a11a22

18、a2 = +12c1c2a1波函数描写体系的量子状态。 54 一般来说，任何一个波函数都可以看作是各种不同动量的平面波的叠加 其中其中推广55注：动量表象 坐标表象与 是互为付氏变换式。 的归一性： （2）同一量子态可用不同形式的波函数表示。（1）态叠加原理指的是波函数（概率幅）的线 性叠加，而不是概率的叠加。RETURN562.3 含时薛定谔方程 一、 方程的建立 二、 方程的讨论RETURN572.3 含时薛定谔方程 一、方程的建立 量子力学基本假设之三： 量子态随时间的变化规律满足薛定谔方程.1.含时薛定谔方程建立（1） 单粒子体系的薛定谔方程 设粒子在势场 中运动，则粒子能量( ) x

19、Ur58作代换 能量算符动量算符薛定谔方程 由特例：自由粒子的含时薛定谔方程592. 多粒子体系的非相对论薛定谔方程 体系的能量作代换薛定谔方程：其中：一般方法：根据非相对论能量动量关系式（体系的哈密顿式），用能量算符和动量算符代替能量和动量分别作用于波函数上，便可得到量子体系所满足的薛定谔方程。 60注：（2）方程为什么不是时间t 的二阶导数？ （1）方程不是由更基本的假定从数学上严格推 导出来的。它是量子力学的一个基本假定。薛定谔方程是非相对论微观粒子的基本方程，地位同经典物理的牛顿定律。 薛定谔 Schrdinger Erwin 奥地利人 （1887 1961）因发现原子理论新的有效形式

20、与狄拉克 荣获1933年 诺贝尔物理学奖RETURN61二. 方程的讨论设t时刻，x点周围单位体积内粒子出现的概率 1. 概率流密度和守恒定律概率随时间的变化规律因为62其中：则J 概率流密度矢量 注：几率流密度矢量的物理意义 单位时间体积V 内增加的概率等于从体积V 外部穿过界面S 流入V 内的概率。 63电荷守恒方程 粒子电荷为e, 电流密度： 电荷守恒方程： 电荷密度为ewwe=单位时间体积 V内电荷增量等于单位时间由V表面流入V内的电量 642.波函数的归一不变性 若波函数是归一化的，即 则将保持归一性不变。 当V 时所 以RETURN652.4 定态薛定谔方程 设势场U(x)与t无关

21、,令特解 代入薛定谔方程 定态波函数 ()xEvy满足： 得： ，则有66定态薛定谔方程 若记哈密顿算符则定态薛定谔方程注：定态的特点 （1）概率密度、概率流密度与时间t无关 （2）力学量取各种可能值的概率分布与t 无关 （3）力学量平均值与t无关 RETURN672.5 薛定谔方程的简单应用一、 一维无限深方势阱 二、 线性谐振子 RETURN682.5 薛定谔方程的简单应用一、 一维无限深方势阱 根据定态薛定谔方程： 因U0，根据波函数的连续性和有限性条件，得U(x)xoaa阱外69解得阱内由波函数连续性条件由此得到A与B不能同时为零，因此得两组解70由此可得对于第一组解, n为奇数两组解

22、可合并为对于第二组解, n为偶数71体系的能量 归一化： 所以, 波函数72E正比于n平方,能级越高, 能级间隔越大。基态:n =1，能量最低状态. 波函数无结点。第k个激发 态,n=k+1,有k个结点,节点 的存在是量子效应.束缚态:无限远处为零的波函数描写的状态。当n时能量可认为是连续的。注：(x)xoa1yE13yE32yE24yE4-aRETURN73二、 线性谐振子 2222121)(xmkxxUw=粒子势能为根据定态薛定谔方程： 令其中:k或是常数的体系称为线性谐振子。74考察的 渐近形式,设 且当时，H()有限 利用级数解法，为使当时有限，应取奇数 故：线性谐振子的能级 75能量

23、本征波函数由归一化条件： 利用厄米多项式的正交条件得归一化常数76注：（1）能量量子化 基 态： 零点能：能量不等于零的最低的基态 能量称为零点能。 （2）n的奇偶性决定了谐振子波函数的奇偶性 n 偶数 具有偶宇称 n 奇数 具有奇宇称 77（4）常用递推公式 2(x)x（3）本征函数和概率密度分布 2(x)RETURN782.6 势垒贯穿 一、 势垒贯穿二、 应用RETURN792.6 势垒贯穿 势垒贯穿效应： 当粒子能量低于势垒时仍有一定概率贯穿势垒，称为势垒贯穿效应，又称隧道效应。一、 势垒贯穿势垒贯穿效应（隧道效应）是一纯量子效应。80设根据定态薛定谔方程： 隧道效应E120aU0 x

24、区区区381讨论： （1）当 时，令 0UE 利用波函数连续条件： 解得82联立解得83入射波的概率流密度 透射波的概率流密度 反射波的概率流密度 D = 透射波概率流密度入射波概率流密度透射系数 D 84反射系数 R R = 反射波概率流密度入射波概率流密度容易证明： （2）当 时，令 0 UE 8532ikk用 代换透射系数 D反射系数 R86如果粒子能量很小，使得 1，3akakake 。e13-透射系数 D 随势垒的加高、加宽而减少。 如果势垒的形状是任意的，整个势垒看做是许多方形势垒组成的。贯穿整个势垒的透射系数应等于贯穿所有这些方形势垒的透射系数之积。设每个方形势垒宽为dx，高为U

25、(x) ,则 则有87讨论： （1）全反射：D随势垒宽度a和高度U0增大而衰减. 若设a或U0,则D 0,即无透射波，粒子在势垒边界全反射。反射系数： 势垒为无限大时，。反射波与入射波位相差为（反射波落后入射波）即存在所谓半波损失。即有 k3a ，88则 D=1 ， R=0 即粒子全部通过势场，称为共振散射。 （2）当 时，若 即粒子能量为RETURN89二、应用（2）扫描隧穿显微镜（STM） 隧道电流I与样品和针尖间距离d 的关系（1）衰变，金属冷电子发射隧道电流IUd探针样品k为常量 为样品表面平均势 垒高度（eV）图像处理系统9048个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。 S

26、TM 用于观察表面的微观结构（不接触、不破坏样品） 宾尼 罗尔 G.Binning Rohrer 因设计出STM荣获1986年 诺贝尔物理学奖91 隧道效应经典量子RETURN922.7 例 题例题 设一维无限深方势阱宽为a,求处于基态的粒 子的动量分布。 U(x)xoa根据定态薛定谔方程： 解得ax0) 能量为E的粒子从左方入射，求透射系数。根据定态薛定谔方程： 即98将此波函数代入一阶导数在 x = a 处不连续条件,有波函数可写为其中波矢量可见波函数一阶导数在 x = a 处不连续，但是这个问题的粒子几率连续，故波函数连续。由波函数(a)连续99消去R得透射系数RETURN100量子力学

27、101第三章 量子力学中的力学量3.1 表示力学量的算符3.2 动量算符和角动量算符 3.3 厄米算符本征函数的正交性和完备性 3.4 算符间的对易关系 不确定关系 3.5 力学量平均值随时间的变化 守恒定律 3.6 中心力场问题 氢原子3.7 例题RETURN1023.1 表示力学量的算符一、力学量的算符表示 二、算符的基本性质 三、表示力学量的算符应是线性、厄米算符 RETURN1033.1 表示力学量的算符引量子力学量特点：任何状态下，一般具有一系列可能值，每个可能值以一定的概率出现。 经典力学量特点：任何状态下，都有确定解。 力学量如何表示一、力学量的算符表示1041.力学量的期望值与

28、算符的关系 (1)坐标的期望值同 理： 粒子处于处的概率密度 所以 量子态的平均值（力学量F在态中的平均值）称为期望值。105(2)势能期望值 (3)动量的期望值 粒子动量概率密度 粒子动量期望值 x分量：（以一维情况为例） 其中 106所以107同 理： 推广至三维情况 由此得到计算期望值的一个新的数学工具 算符 一般地，粒子的任何一个力学量A的期望值： 108结论：量子力学中力学量的期望值A与相 应的算符对应 1092.力学量的可能值与算符的关系 一维无限深势阱中运动粒子能量的可能值即为相应算符的本征值。 能量可能值110结论：力学量F的可能值与相应算符的本征值对应 量子力学中力学量与力学

29、量算符的这种对应关系称之为：力学量算符表示力学量。基本假定： 如果力学量F的相应算为 ，则力学量F的可能值即为 的本征值,当系统处于 的本征态时,力学量F 有确定值，亦即在态中 的本征值。 1113.量子力学中力学量算符的构成规则 例角动量 角动量算符 如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符 由经典表示式F(r,p)中将r,p换成相应的算符而构成。 RETURN112二、 算符的基本性质 2基本性质 其中为任意函数,则称两算符相等,即1定义 算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号 （1）算符相等（2）单位算符如果两算符 满足作用到任意函数上,不变1

30、13（3）算符之和满足： 加法交换律 加法结合律 （4）算符乘积一般 ,则称二者不对易。 则称两算符对易。 若 , 为任意函数,即两算符与之和定义为两算符与之积定义为114则称两算符反对易。 若 ,为任意函数,即（5）逆算符或 如果两算符满足 则称两者互为逆算符.记 且有设 能唯一的解出,则定义 的逆算符为115（6）算符的转置、复共轭及厄米共轭 量子系统任意两波函数的标积： 性质:算符的转置算符 或116证明:117 例题 求动量的转置算符。 所以 算符的复共轭算符 把算符中的所有复量换成共轭复量。 如：动量的复共轭算符解118厄米共轭算符或 因,为任意函数,于是 （7）幺正算符： 若 或

31、,则称为么正算符。 119（8）算符的函数其中（9）线性算符满足运算规则的算符 称为线性算符，c1，c2是任意常数。 120（10）厄米算符 可以证明: 若 ,即 ,则称为厄米算符 例 动量算符 是线性算符 注：期望值为实数的算符必为厄米算符。 厄米算符的期望值都是实数。所以 是实数。 121注：厄米算符的本征值必为实数。 设 因为 所以 则有 3算符的本征值方程 则称为 的本征值，为属于的本征函数，上述方程称为算符 的本征值方程。 如果算符 作用于一个函数，结果等于乘上一个常数乘上这个函数，即122 例题 证明动量算符是厄米算符。 解因为所以 或 例题 证明解所以 因为RETURN123三、

32、表示力学量的算符应是线性、厄米算符 1线性：态叠加原理的要求。 2厄米性：因力学量的可能值为相应算符的 本征值，且应为实数，而厄米算 符的本征值定为实数。 结论：量子力学中表示力学量的 算符应该为线性厄米算符。 RETURN1243.2 动量算符和角动量算符 一、动量算符 二、角动量算符 RETURN1253.2 动量算符和角动量算符 一、动量算符 本征值方程： 三个分量方程： 解之得126归一化常数的确定： 动量的本征函数所以 RETURN127二、角动量算符 直角分量： 角动量平方算符： 128在球坐标系中： 129因为130所以131132角动量平方算符的本征函数和本征值 分离变量 代入

33、上式，再乘以 ，得 由 133由周期性条件所以得由归一化条： 得134令 ， 则化为连带勒让德方程 x=1是正则奇点，其余点均为常点,利用级数解法， 时，当得物理上允许的解：135所以,角动量动量平方算符的本征函数球谐函数由归一化条件： 角动量平方算符的本征值： 角动量z分量算符的本征函数和本征值： 136注： 角动量平方、角动量z分量算符的本征值对应于 的一个本征值：2L2)1(h，+ll有2l+1个不同的本征函数，称为2l+1度简并的， l称角量子数，m称磁量子数。 封闭性： RETURN1373.3 厄米算符本征函数的正交性和完备性 一、正交性 二、完备性 三、力学量的可能测值 RETU

34、RN1383.3 厄米算符本征函数的正交性和完备性 一、正交性 1.定义：如果两函数满足 则称两函数相互正交。 2.定理：厄米算符的属于不同本征值的两个 本征函数相互正交。 证明：设厄米算符的本征函数为 相应的本征值为 139对于不同本征值的本征函数，如 所以，两函数正交。注：对于属于 的简并的波函数， ，一般相互间不一定正交，但可采用施密特正交化方法使其正交归一化。1403.正交归一系 满足条件： 函数系 构成正交归一系。 ljj或k例：（1）线性谐振子能量本征函数构成正交归一系 )(2221xHeNnxnnaya-=或141（2）角动量z分量算符的本征函数构成正交归一系 （3）角动量平方算

35、符的本征函数构成正交归一系 （4）一维无限深方势阱（宽为a）的能量本征函数 构成正交归一系 RETURN142二、完备性 1. 定理 厄米算符F的本征函数 构成一完备的正交函数系，由该函数系为基矢所张开的空间称为希尔伯特空间（函数空间）。体系的任何一个状态 可以 为基展开为级数，即 （F具有分立谱） （F具有连续谱） 或 其中其中1432. 本征函数完备性条件封闭性关系 分立谱： 上式中 其中144连续谱： 封闭性关系： 既有分立谱又有连续谱： 封闭性关系： 其中145（1） 归一化条件 （2）任一力学量平均值 注：物理意义： 表示任意 态中,系统处于 （本征值为 ）的概率。 2nCnjnl的

36、物理意义 RETURN146三、力学量的可能测值 态下,多次测量力学量的平均值趋于一个确定值，而每次测量的结果，围绕平均值有一个涨落, 若体系处于一种特殊状态，使得测量力学量所得的结果是完全确定的，即涨落为零 对于特殊状态显然有 为常数。 147记基本假定：测量力学量时，所有可能出现的值 都是相应的线性厄米算符的本征值。 148解根据 把 按动量本征函数展开 其中因为，例题 已知氢原子处于基态，求其电子动量的概率分布。 149所以，动量几率分布密度： RETURN1503.4 算符间的对易关系 不确定关系 一、算符间的对易关系 二、对易关系的物理意义 三、非对易关系的物理意义不确定关系 RET

37、URN1513.4 算符间的对易关系 不确定关系 一、算符间的对易关系 1. 基本对易式 因为所以152同理： 2. 角动量算符的对易式 同理： 153角动量算符定义： Levi-Civita符号 同理可证： 即其中154例题 证明因 是任意的函数，所以解 取任意函数 ，由于155解例题 证明 。 ，因为所以又因同理同理RETURN156二、对易关系的物理意义 证明：设 ，定理：如果两个算符 和 有一组共同的本征 函数，而且组成完备系，则算符 和 对易。 FnfGFG因为即有一般情况：设任意波函数态为，因 组成完备 系，所以nf157即有 设 ，则 因为所以证明：（1）非简并 2. 定理：如果

38、两个算符 、 对易，则这两个算符 有共同的本征函数，这些本征函数组成 完备系。F G即 也是本征值为 的本征函数 158又因 是无简并的，所以：nfny 与 描写同一个状态，二者只差一个常数。 nGynnngGyy=则 故： 也是 的本征函数 Gny是 和 的共同本征函数 nyFG（2）简并时ns设 的本征值 有简并，简并度为 Fnf也是 属于 的本征函数 nG Fnf因为所以159因有简并 nG 故 与 所描写量子态不一定相同。 n G即： 的本征函数 不一定是 的本征函数。 Fn 令 F设： ， 共同的本征函数为 Gnynf显然， 是F的本征函数,本征值为 。nyGny为使 也是的 本征函

39、数，令g 是 的本征值。G其中 160 （线性齐次方程组） 由 同乘 ，积分*jnj分别将 代入前式可得对应于每个 的一组解 jgjg若无重根：可解出 个jgnsija161所以相应的波函数 满足 所以:jgG可按 的 个本征值 来分类ns一组 确定的本征函数 ， 度简并解除。 ),(jngfjnnsF即: 是 、 的共同本征函数,本征值分别为 。 nyG162与 、 对易的力学量，才能确定体系的状态。FG若 有重根：则还需再找出0)det(=-jijigGd对易关系的物理意义： 若两算符对易，则两算符存在共同的本征函数。在其共同本征函数所描写的态中，两算符表示的力学量同时有确定的值。 因为

40、的本征函数 构成完全系，所以 、 的共同本征函数也组成完全系。 FGnyF163如：动量 满足 ，有共同的本征函数。 相应的本征值为： 氢原子的 满足： 164共同本征函数 3.力学量完全集 要完全确定系统所处的状态，需要一组相互对易的力学量（通常通过它们的本征值），这一组完全确定体系状态的力学量称之为力学量的完全集。 其中 在 态下，能量、角动量平方、角动量z分量同时具有确定值。 nlmy165如： 本征值有简并： 2L)，,(jqlmY)1(2ll+h确定的 ，有 2l +1 个 要完全确定状态 ，需确定m ,当l、m),(jqlmY同时确定时，状态才能唯一确定。而m 与力学 量 相对应。

41、即需另找一个与 对易的力学量，才能完全确定状态。 zL2L),( 2zLLr 构成一组力学量完全集。 一般情况，力学量完全集所包含的力学量个数等于体系的自由度。例: 三维空间中自由粒子的自由度是3, 完全确 定它的状态需 三个力学量。 氢原子中电子自由度是3,完全确定它的状 态需 3个相互对易的力学量. RETURN166三、非对易关系的物理意义不确定关系 下面讨论一般情况： 设任意两力学量，相应的算符且满足 相应的涨落 考虑积分： 问题：若系统处于F的本征态，测力学量F时，F有确定值，亦即涨落 ，如同时测量另一力学量G，则 167由不等式成立条件： 因为又所以168不确定关系： 故有或如：

42、坐标与动量的测不准关系： 能量与时间的测不准关系： 169注： 不确定关系是物质粒子波粒二像性矛盾的反映，标志着经典粒子及力学量的概念对于微观粒子的适用程度。由于普朗克常量非常小，在一般的宏观现象中，不妨引用轨道的概念，但在处理微观世界中的现象时，必须用不确定关系。 170例题用不确定关系计算线性谐振子的基态零点能量。 解 由于谐振子平均能量为 由于故由于171令有 所以故因此172例题利用不确定关系估计氢原子的基态能量。 解 由氢原子的能量公式平均能量因173所以令有故：当 时，22sermh=D氢原子的最小（基态）能量RETURN1743.5 力学量期望值随时间的变化 守恒定律 一、力学量

43、的期望值随时间的变化 二、守恒量与对称性的关系 RETURN1753.5 力学量期望值随时间的变化 守恒定律 一、力学量的期望值随时间的变化 量子力学中，处于一定状态下的体系，在每一时刻，不是所有的力学量都具有确定的值，而只是具有确定的期望值及概率分布。 力学量F的期望值力学量F的期望值随时间的变化率 176注意到则有即177力学量期望值随时间的变化率守恒量的特点： 力学量期望值不随时间变化， 。 0=dtFd力学量的可能测量值的概率分布不随时间变化。 注：若 不显含t,且 ,则 称为体系 的守恒量。 0,=HFFF178如：（i）自由粒子动量动量守恒 （ii）粒子在中心力场中运动的角动量 同

44、理由于故由于故179所以 角动量守恒定律 （iii）哈密顿不显含时间的体系的能量 能量守恒 由于RETURN180二、守恒量与对称性的关系 设线性变换Q （存在逆变换 ，不依赖于时间） 1-Q若 与 满足同样形式的运动方程，即 yy称体系具有Q变换不变性。 设体系状态为 , 满足 y181左乘 1-Q则 即 或 考虑到概率守恒 变换Q应为幺正变换。 即体系在Q变换下具有不变性,则要求 。 0,=HQ因为182对于有限变换，可通过无穷小的变换来实现。 令 （ ，e 是描述无穷小变换的参量），因为+0e为厄米算符，称为变换Q的无穷小变换算符。 F则有 就是体系的一个守恒量，是与变换Q相联系的可观测

45、量。 F1831.空间平移不变性 设体系具有平移不变性， 其中平移变换： 显然即具有空间平移不变性的体系动量守恒。 故1842.空间旋转不变性 设体系具有空间旋转不变性 其中转动变换：具有空间旋转不变性的体系角动量守恒。 显然RETURN1853.6 中心力场问题氢原子一、中心力场中的薛定谔方程二、氢原子（类氢离子） RETURN1863.6 中心力场问题氢原子一、中心力场中的薛定谔方程设粒子质量为m,中心力场 定态薛定谔方程： 在球坐标系中 令 187代入薛定谔方程，两端除以 ,得 222rm-hR(r)Y(q,j)即由 解得188径向方程： 令 ,则径向方程为 径向函数满足：零点条件 给定

46、中心力场U(r)的具体形式 ，则可求得径向函数及波函数和中心力场问题的能级E。 RETURN189二、氢原子（类氢离子） 氢原子（类氢离子）中电子处于库仑势场中运动，库仑势场为中心力场。 电子运动满足的径向方程 设E=|k,即 末态 ，即 当 这种跃迁称禁戒跃迁。 当 时， 跃迁的选择定则。 346即计算矩阵元： 通过计算可知，只有当 r的矩阵元才不全为零。此时才有可能发生跃迁。 电偶极辐射的选择定则： 计算x、 y、 z的矩阵元： RETURN347量子力学348第六章 散射（碰撞） 6.1 碰撞过程 散射截面 6.2 分波法 6.3 格林函数法与玻恩近似 RETURN6.4 质心坐标系与实

47、验室坐标系 3496.1 碰撞过程 散射截面 RETURN一、碰撞过程 二、（微分）散射截面 350第六章 散射（碰撞） 6.1 碰撞过程 散射截面 一、碰撞过程 1.两体问题：一个粒子在一力场中运动 2.碰撞过程：由于空间小区域中相互作用导致粒子从一个自由态到另一个自由态的跃迁 3513.弹性碰撞和非弹性碰撞：碰撞中两粒子间只有动能的交换,粒子间的内部状态并无改变,则称弹性碰撞，否则称非弹性碰撞。 RETURN352二、（微分）散射截面 1.定义: 因单位时间内散射到（，）方向上立体角d中的粒子数dn 单位时间内粒子被散射到（，）方向上单位立体角内的概率。 Sd353（2）q(,)的物理意义

48、： 反映了单位时间内散射到d中的粒子数dn占入射粒子数的百分比。 （3）中心力场散射q(,)与无关,即q(,)=q()（4）总散射截面Q ：粒子被散射的概率 粒子被散射到空间各方向上的几率和。 散射（微分）截面（1） q( , )的量纲： 3542.微分散射截面与散射振幅的关系 设入射粒子： 质量m， 动量 波函数波函数其中f(,)为散射振幅. r处的波函数： 出射粒子：质量m ， 动量 355单位时间内穿过半径为R球面上dS的粒子数 其中 由定义式： 故有因为所以356注：散射理论的重要内容之一 把角分布等观测量与相互作用U（r）及内部结构等联系起来,研究粒子间的相互作用。下面介绍两种计算微

49、分散射截面的重要方法. RETURN3576.2 分波法 中心力场： 薛定谔方程： 令 边界条件： 利用分离变量法：设试探解 若取入射方向为z轴方向，波函数、散射振幅均与无关 358R(r)满足径向方程： 考虑r时的渐近解： 每一项称为一个分波， 是第l个分波, 分别称为s、p、d、g分波。令 得 因为故有 359另一方面 根据球贝塞耳函数在无穷远处的渐进行为比较两结果中的同类项，得 360 对上面(2)式两边同乘 再对 积分,利用 有 把Al 代入（1）式，得微分散射截面 361总散射截面 讨论： 1.相移及其正负号的意义： 若U（r）0（斥力）， 若U（r）势场U，U可视为微扰 在一级近似

50、下 r处的渐近行为： 因为 368由边界条件 所以，散射振幅 设入射波波矢为 ，沿z方向，散射波波矢为 369令 ,则散射引起的动量变化为 ，其中 对于中心力场 散射截面 故 370例题高速带电粒子（带电 ）被一中性原子散射的散射截面，屏蔽库仑场 解 因为 又因 371若 ， ,则 散射截面RETURN所以，散射振幅 故 3726.4 质心坐标系与实验室坐标系一、散射角间的关系二、散射截面间的关系RETURN3736.4 质心坐标系与实验室坐标系 前面所讨论的散射截面等的计算都是在质心坐标系中进行的，为与实验测量结果进行比较，必须将其转化到实验室（固定）坐标系中。一、散射角间的关系碰撞前碰撞后

51、质心系实验系374两式相除因为则同理设碰撞前粒子由动量守恒375RETURN因为弹性碰撞，所以动量守恒和能量守恒，有 （碰撞前后粒子速度大小相等质心系） 376二、散射截面间的关系因两坐标系中 应相同，故 因为则由377RETURN两边求微分得：当 时，（靶质量远大于粒子质量）质心可认为在 上，这时两坐标系重合 378量子力学379第七章 自旋与全同粒子 7.1 电子自旋与简单塞曼效应 7.2 角动量与光谱的精细结构7.4 全同粒子 7.5 氦原子 RETURN7.3 光谱的精细结构3807.1 电子自旋 一、电子自旋假设 二、电子波函数与自旋函数 三、电子的自旋算符和泡利算符 四、简单应用简

52、单塞曼效应 RETURN381第七章 自旋与全同粒子 7.1 电子自旋 实验 施特恩-格拉赫（Stern-Gerlach实验） （1921年）结果 时屏上一束射线处在屏幕中间 时屏上二束射线对称分布 分析 为什么加上磁场B后一束射线变为两条NS准直屏原子炉磁 铁一、电子自旋假设 3821.每个电子具有自旋角动量，它在空间任何方 向上的投影只能取两个值 2.每个电子具有自旋磁矩,满足 乌伦贝克（G.E.Uhlenbeck）、哥德斯密脱（S. Goudsmit）假设：（1925年）或383玻尔磁子 施特恩-格拉赫实验解释 电子自旋是一新的力学量。该力学量与时空坐标无关，是表征电子内部状态的物理量，

53、是电子本身的固有属性。可以证明它是一种相对论效应。 (SI制) (CGS制) 注 的取值 ： 在空间任意方向的投影只能取 RETURN384二、电子波函数与自旋函数 1.电子波函数 电子状态 所以，电子波函数 记 旋量波函数 时空状态 自旋状态 385自旋为 的电子波函数 自旋向上（ ）的电子在t时刻r处 的概率密度 自旋向上（ ）的电子在t时刻r处 的概率密度 归一化条件: 同时对自旋求和对空间积分 3862.自旋波函数 若哈密顿量不含自旋量或可表成时空部分与自旋部分之和则电子波函数可分离变量 描述自旋状态的波函数称自旋波函数 自旋算符的本征函数 m自旋磁量子数 387说明： （1）一般的自

54、旋波函数 归一化条件： （2） 构成电子自旋态的一组正交完备基矢,任一组电子自旋态可按其展开388电子波函数 RETURN389三、电子的自旋算符和泡利算符 1.自旋算符和泡利算符 (1)自旋算符 即 可以证明 390因为自旋在空间任何方向上投影只能取 ， 所以 的本征值分别为 。 的本征值： 自旋量子数 （2）泡利算符 泡利算符 电子自旋量子数： 令因为故391则： 即注：同理（1）因为故392（2）可以证明： 另可证明：因为故同理由于故同理3932.自旋算符和泡利算符的矩阵表示 取 表象，则 在自身表象中是对角矩阵 设 因为 所以 为实数，且 故394显然 故RETURN395四、简单应用

55、简单塞曼效应 简单塞曼效应：氢原子或类氢原子在强外磁场中 一条谱线分裂为三条的现象（不 考虑自旋运动与轨道运动的耦合）。 体系的薛定谔方程： 设磁场 沿z轴，则 引起的附加能量 396因不考虑轨道与自旋运动的耦合。在无外磁场时， 所以，取波函数为 代入薛定谔方程 注意到： 其中：对氢原子： 对类氢原子： 故又因397因电子自旋磁量子数 故 讨论： （1）原子处于s态，l=m=0，原来一条能级分裂成两条 正如施特恩-格拉赫实验所观察到的结果2p1sm=1m=0m=1故398（2）1s和2p能级的分裂情况 电子由能级 跃迁时发出谱线的频率 由选择定则： 则谱线频率： 无外磁场时一条谱线在强外磁场中

56、分裂成三条，称简单塞曼效应 为无外磁场时的谱线 显然：2p1shm=1m=0m=1RETURN3997.2 角 动 量一、角动量算符的一般定义 二、角动量的本征值问题三、两个角动量的耦合 RETURN4007.2 角动量一、角动量算符的一般定义 若算符 满足关系 则矢量算符 称为角动量算符 即可以证明RETURN401二、角动量 的本征值问题： 设它们共同的本征态为 （1）角动量平方的本征值为（2）角动量z分量的本征值 402特例： 轨道角动量 自旋角动量： RETURN403三、两个角动量的耦合 1.两个角动量之和 设有两个角动量 则 称为体系的总角动量。满足角动量关系 2.一般对易关系 可

57、以证明4043.总角动量的本征值，本征矢的问题 (1)本征矢： 其中展开系数 克来布希-高登系数 或405求出C-G系数便可求出本征矢。C-G系数可查表求出。如：两个角动量为电子自旋角动量 时的C-G系数406相应的本征矢407以 为基矢构成的表象,称为无耦合表象. 注：（1）无耦合表象无耦合表象的基矢： 其中（2）耦合表象以 为基矢构成的表象,称为耦合表象。 408(2)本征值： 其中 证明： 因 的最大值分别为 ,且 所以 j 的最大值为 。 另外当 给定时， 可取 个值，即 有 个；同样，当 给定时， 有 个。故 给定时, 共有409设j的最小值为 ，因为 而 对应一个 j ，m可以取解

58、得所以 j 、m的取值为 RETURN410实验：碱金属（类氢离子）2p1s跃迁发出的 谱线不是一条而是相近频率的两条。 氢原子： 问题：为什么会产生两条谱线？ 考虑到电子自旋与轨道运动之间的相互作用： 显见，2p1s跃迁发出的谱线只有一条。7.3 光谱的精细结构411体系哈密顿量为 由于 相互对易,其共同本征函数可取为 又因 相互对易，其共同本征函数可取为 因 ，所以 可视为微扰。 考虑电子自旋与轨道运动之间的相互作用后，体系满足的薛定谔方程为 412由简并微扰论的能量一级修正公式：根据微扰论， 的零级波函数可按 展开，令 其中 而 413代入久期方程,对 求和,再作 代换,故，能量的一级修

59、正所以 其中 得 414所以，对n,l确定的能级： 对于类氢离子碱金属（不考虑核外电子对核的屏蔽）则精细结构常数 其中415如：钠原子2P的精细结构 589.0nm589.6nm416零级近似波函数RETURN417 7.4 全同粒子 一、全同粒子体系 全同性原理 二、全同粒子系的波函数 泡利原理 三、应用两个电子体系的自旋波函数 RETURN418 7.4 全同粒子 一、全同粒子体系 全同性原理 1.全同粒子：固有性质(如质量、电荷、自旋等) 完全相同的粒子称为全同粒子。 例：原子中的电子系、质子系、金属中电子气等。 2.全同粒子体系的特征： (1)具有不可区分性； (2)具有交换对称性。如

60、：哈密顿量具有交换对称性 氦原子中的两个电子组成的全同粒子系。 419两粒子交换后1 2，原式不变。 波函数具有交换相对性 多粒子全同体系的波函数 所以即描写同一量子态 故420当=1时即qiqj 后，不变，即 称为对称波函数。 当= -1时称为反对称波函数。 421注： （1）因 是一守恒量，所以波函数的变 换对称性不随时间而变. （2）每一类粒子波函数的交换对称性是完全确定的. 自旋为 的整数倍的粒子（ 介子s=0，光子s=1等），波函数是交换对称的。玻色子：3.全同性原理量子力学基本原理之一 全同粒子是不可区分的，任意两个全同粒子交换不引起体系的物理状态的改变. 自旋为 的半奇数倍的粒子