0电工与电子技术基础视频教程64讲第02章正弦交流电路

1、教育学院第二章正弦交流电路第2章 正弦交流电路2.12.22.32.42.52.62.72.82.9电感元件和电容元件正弦电压与电流正弦量的相量表示法单一参数的交流电路电阻、电感与电容元件串联交流电路阻抗的串联与并联复杂正弦交流电路的分析与计算交流电路的频率特性功率因数的提高22.1电容元件和电感元件主要内容：电容/电感端口特性方程、能量计算及串并联等效变换。电容元件固 定 电 容 器3可 变 电 容 器2.1电感元件和电容元件i描述电容两端加电源后，其两个极+u板上分别起等量异号的电荷，在C介质中建立起电场，并的性质。电场能量_q电容元件(F)C 电容：u当电压u变化时，在电路中产生电流:d

2、 ui Cd t1i( )du(t) tC42.1电感元件和电容元件电能1tuCu22ui dtCudu00即电容将电能转换为电场能在电容中，当电压增大时，电场能增大，电容从电源吸收电能；当电压减小时，电场能减小，电容向电源放还能量。所以电容又称无损、储能元件。52.1电感元件和电容元件为了提高总电容承受的电压，可将若干电容串联起来使用，如图 (a)所示。u u1 u2 L uN CCC111ttti( )d i( )d Lti( )duCCC12N 1 1 1 CNi( )d (C1C2L) 1 Ceqt电容串联i( )d设在串联前电容上无电荷，根据KVL及电容元件的电压-电流关系得6Niu

3、 uu12N212.1电感元件和电容元件串联等效电容的倒数等于各电容倒数之和。ui1111CLeqCeqC1C2CN(b)为了得到电容值较大电容，可将若干电容并联u C1 C2 L CNCeqC1C2CN并联电容的总电量等于各电容的电量之和，即LqN (C1 C2 L CN )u Cequq1所以并联等效电容等于各电容之和72.1电感元件和电容元件 0.25F ，电路处于直流例2.1.1 图示电路，设 C1 0.5F ，工作状态。计算两个电容各自C2的电场能量。C1在直流电路中电容相当于开路，据此求得电容电压分别为20u 11212U 32V 24V1(12 4)u432V2CU 2 32V

4、U1 8V2所以两个电容的电场能量分别为w 1 C U 2 8J1w1 CU 144J2;222211282.1电感元件和电容元件电感元件几种实际的电感线圈。92.1电感元件和电容元件1.物理意义i描述线圈通有电流时产生磁场、磁场能量的性质。+u- (磁通)电流通过一匝线圈产生电流通过N匝线圈产生 (H)N (磁链)线性电感LuiN 电感:L iie线性电感: L为常数;2. 电感伏安特性感应电动势：非线性电感: L不为常数d d tL d ie Ld t102.1电感元件和电容元件 diu e根据KVL： L Ldtt1L1Ltud() t(i )ud()i(t)0t03. 电感元件储能功率

5、积分，则得：1 12titd 2uiLid iLiL2 iW磁场能200即电感将电能转换为磁场能圈中，当电流增大时，磁场能增大，电感从电源吸收电能；当电流减小时，磁场能减小，电感向电源放还能量。所以电感也称无损、储能元件。112.1电感元件和电容元件电感的串联：L L1 L2L LNLeqiL1L2LNuu电感的并联：L1111 L LeqL1L2LNL12iLeq2.2正弦电压与电流主要内容：正弦量三要素；瞬时值、有效值和相位差。随时间按正弦规律变动的电流称为正弦电流。图(a)表示流过正弦电流的一条支路。在指定电流参考方向和时间坐标原点之后，正弦电流的波形如图 (b)所示。振 幅iImi t

6、O(a) i2 初相位132.2正弦电压与电流正弦电流的瞬时值表达式：sin( t i )i Im振幅或幅值 t i 相位初 相( t i ) t 0i Im i（一般 ）角频率cos( t )1iid(t i ) 大小与计时起点有关dt 2 2 fT幅值、初相、角频率称为正弦量的三要素142.2正弦电压与电流我国电力系统标准频率为 50Hz，称为工频，相应的角频率 2 rad 50/s=100 rad/s*60 Hz电网频率：、高频段频率：200 300 kHz中频段500 8000 Hz)*收音机中频段频率：5301600 kHz移动通信频率：900MHz1800 MHz无线通信频率： 高

7、达 300GHz152.2正弦电压与电流正弦电流电路常用的几个概念有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。是瞬时值在一个周期内值：1TIm1TTTsin2 (t I 2)dt I 2i dtmi200i Im sin( t i )代入,注意：交流电压、电流表测量数据为有效值；交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值。得有效值与最大值间的关系162.2正弦电压与电流u Um sin( t u ) 和正弦电流的相位差为初相之差，即同频率正弦电压i Im sin( t i )( t u ) ( t i ) u i 注意(1)两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。ii2i

8、1O t(2)不同频率的正弦量比较无意义。172.2正弦电压与电流u超前i 于 u i0i u 90 iu超前u于90ouiiuiuiOOtt90 u i 180 u i 0电压与电流反相电压与电流同相uiuuiuiiOt18Ot2.2正弦电压与电流 2 sin( t 100)A 、u 100 sin( t 10)V、i1例2.2.1已知 4 sin( t 190）A 。写出电压和各电流的有效值、初相位，i2并求u越前于i的相位差。解: 将i2 改写为正弦标准式，即 4 sin(t 190)A 4 sin(t 190 180)A 4 sin(t 10)A初相位iu2i2 u 10o, i 10

9、0o, i 10o12电压、电流的有效值为相位差U 100 70.7V, I2 10o 100o 90o 1.414A11ui12422 u i 10 10 0oI 2.828A22219ii12.3正弦量的相量表示法主要内容：正弦量的相量表示、相量运算规则及相量图。在含有电感和(或)电容的正弦电路中，元件方程中含有微积分形式，需要建立含微积分的电路方程，分析过程分析求解思考：正弦函数微积分或几个同频率正弦函数相加减的结果仍是同频率正弦量。能否用一种简单的数学变换方法以避免繁琐的三角函数运算？ 相量分析法20得时域响应表达式建立电路方程 (含微积分方程)正弦电流电路2.3正弦量的相量表示法1复

10、数的表示法实部虚部设A是一个复数，可表示为直角坐标式A a1ja2辐角(1)模A | A | ej 极坐标式A cos jsin (2)A | A | 简写为比较式(1)和(2)有a1 | A | cosa2 | A | sin| A |a2a212 arctan(a2a1 )212.3正弦量的相量表示法例2.3.1把复数分别化为直角坐标式。A 10150, A 10 180 , A 190, A 1 901234解: 10 cos150 j10 sin150 8.66 j5A 101501A 10 180 10 cos(180 ) j10sin( 180 ) 102A 190 cos 90j

11、sin90 j3A 1 90 cos(90 ) jsin(90 ) j4222.3正弦量的相量表示法复数A还可以用复平面上的点或有向线段表示相量图，如图jjA 11a1O23a2AO2.3正弦量的相量表示法f (t) Am sin( t )正弦量一般表达式为:A&ej A A对应相量mmm最大值相量正弦量初相正弦量振幅&Amf (t) Am sin( t )一个正弦量能够唯一地确定其对应的相量A&m和角频率 ，由f t ReA ej ejt ReA&ej t 反之，若已知mmf (t) Am sin( t )A& m也能唯一地确定所代表的正弦量242.3正弦量的相量表示法(1)相量只是表示正弦

12、量，而不等于正弦量。i Im sin ( t ) = Imej Im只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。I&可不画坐标轴U&(4)相量的两种表示形式相量式: U&Uej U U(cos jsin )相量图: 把相量表示在复平面的图形252.3正弦量的相量表示法(5)“ j ”的数学意义和物理意义因子：ej90 90旋转 90设相量B&A rej r+jA&相量&A 乘以 ej90，&A 将逆时针旋转 90，得到B&+1O相量 &A乘以e-j90，&A将顺时针旋转90，得到C&C&262.3正弦量的相量表示法例2.3.2i1 3sin t ,

13、i4 6 cos( t 30) .分别写出代表正弦量的相量i3 5sin（ t 60）,i2 4sin（ t 150）,解：i I& 30A11mi I& 4 150A22mi 5sin（ t 60） 5sin( t 60 180 )3 I&3m 5120Ai 6 cos( t 30 ) 6sin( t 30 90 )4 &I4m 6120A272.3正弦量的相量表示法例2.3.3电压相量 U& 1m=(3-j4)V，U& 2m=(-3+j4)V，U&=j4V。3写出各电压相量所代表的正弦量（设角频率为 )。 arctan 4 53.1解：32 (4)2 5 V 5 53.1 VU1m13 u

14、 5sin（ t 53.1）U&1m14(3)2 42 5 V 126.9 arctanU2m2 3 5126.9 VU& 2m u 5sin（ t 126.9）2 j4 V 490 VU&3 u 4 2 sin（ t 90）3282.3正弦量的相量表示法相量运算规则(1) 惟一性(3) 微分规则ReA&ejt ReA&ejt f (t) Re A&me ，则jt即设m1m 2A&m1 A&m2ddjt(e(2) 线性性质( bk 为实数)，fk (t) Re A&mk ej tNNb f (t) Re(b A&)ejt kkkmkk 1k 1292.3正弦量的相量表示法电流定律KCL的相量形

15、式电流定律方程的时域形式为流进 ( 或流出 ) 节点端子电流i 0相量 的代数和恒等于零。当方程中各电流均为同频率的正弦量时，根据相量的惟一性和线性性质，电流定律方程的相 0I&mI&量形式 0 或有效值相量振 幅 相 量I&I iI &I30mmi2.3正弦量的相量表示法电压定律KVL的相量形式：电压定律方程的时域形式为 u 0在时域电路中，任意时刻回路全部元件端对的电压代数和恒等于零。当方程中各电压均为同频率的正弦量时，根据相量的惟一性和线性性质，量形式为：U& m电压定律方程的相U& 0 或 0在正弦电流电路中，沿任一回路全部元件端对的电压相量代数和恒等于零。312.4单一参数的交流电路

16、主要内容：相量形式的元件方程，理解元件方程的时域形式与相量形式的对应关系，功率与能量转换。1电阻元件iU&mI& RI&m 或U& RI&R频域RuU&U RI u iu Ri有效值相位时域相量图和波形如图+juiU&tOu iI&iu+1O32（a）2.4单一参数的交流电路功率关系iut瞬时功率 p：瞬时电iu(1)tO压与瞬时电流的乘积小写pp u i U m I m sin t2p 1 UI (1 cos 2 t)mm2tOp 0 （耗能元件）,且随时间变化。结论:332.4单一参数的交流电路i(2) 平均功率(有功功率)P瞬时功率在一个周期内的平均值+uR11T_TTP p dt u

17、i dtT00pp大写 1T1UTI (1- cos 2 t)dtmm20TP1TUI (1 cos 2t)dt UItO0U 2P UI I2R:瓦（W）R注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。342.4单一参数的交流电路2电感元件i L IU有效值2 相位uuiu L d i电感上电压比电流越前 90；电压、电流有效值之比等于感抗 XL。时域d t性质微分相量图和波形图如图U& jLI& jXL I&uX L LU&感抗()jI&i相量模型tiOO1jLI&uU&352.4单一参数的交流电路t( t 90 )功率关系(1) 瞬时功率u 2U sinp i u U m Im sin t

18、 sin ( t 90)Isin t cos t U m I msin 2 t Umm2 UI sin 2 t(2) 平均功率1T1TT0T0P p dtL是非耗能元件(2 t ) dt 0 UI sin362.4单一参数的交流电路分析：ui touiiii-+瞬时功率P ui UI sin2tu-puu+u-+p 0p 0p 0储能放能储能 放能37电感L是储能元件结论:纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。i2.4单一参数的交流电路(3)无功功率 Q用以衡量电感电路中能量交换的规模。用瞬时功率达到的最大值表征，即p i u UI sin 2 t瞬时功率：U 2Q U I I

19、 2 XLXL例2.4.1把一个0.1H的电感接到 f=50Hz, U=10V的正弦电源上，求I;如保持U不变，而电源 f = 5000Hz, 这时I为多少？解： (1) 当 f = 50Hz 时XL 2f L 2 3.1450 0.1 31.4U10 I 318m AX31 .4L（2）当 f = 5000Hz 时 2 fL 2 3.14 5000 0.1 3140XLU10I 3.18mA电感具有通低频阻高频特性X3140L38：var2.4单一参数的交流电路3电容元件U& 1 I& j 1 I& jXI&或jCCCCi时域有效值微分I& jCU&u1 C容抗XduICCi CU | X|

20、 I 90Cdt性质I&1 u ijC相位频域U&ijuU&I&tu O1Oi39结论：电压、电流有效值(或振幅)之比等于容抗的绝对值；电压比电流滞后90。相量和波形如图2.4单一参数的交流电路功率关系i2 Us i n u 2 I sin ( t 90)t ;i +uC(1) 瞬时功率_I m sin t sin ( t 90 )p i u Um UI m UI sin 2 tsin 2 tm2C是非耗能元件(2) 平均功率 1T1TTTUI sin (2 t) dt 0P p dt 00(3) 无功功率 QU 2UI I XC Q 2XC402.4单一参数的交流电路iS 0.2 sin（

21、t 45）A , 10rad/s,R 20,例2.4.2 图示电路中L=3H，C=5 10-3F。试求电压uR、uL、uC。R根据iuRSLU&U& RI& 20 0.245 V 445 VumRmSLCI& jX j30 0.245 V 6135 VmLLmSuCU&I& jX j20 0.245 V 4 45 VmCCmS解：i 0.2 sin(t 45 )AS得各电压的时域表达式 I& 0.245 AmS 4 sin（ t 45）V 6 sin（ t 135）V 4 sin（ t 45）Vuu uR感抗和容抗分别为LX L 30LXC 1 (C) 20C412.4单一参数的交流电路单一参

22、数正弦交流电路的分析计算小结电路参数电路图(参考方向)基本关系阻抗电压、电流关系功 率瞬时值有效值相量图相量式有功功率无功功率Ri+u-u iRR设t则u 2U sin tU RII&U&u、 i 同相U& &IRUI RI 20Li+u-u L didtjXL设t则u 2Usin(t 90)U X L IX L LU&I&u领先 i 90U& jXL&I0UI XI 2LCi+u-i C dudtjXC设t则u 2Usin(t 90)U XC IXC 1/ CI&U&ui 90U& jXC&I0UI -X I 2C422.5电阻、电感与电容串联交流电路主要内容：阻抗感念；端口电压与电流的关系

23、；功率问题（有功功率、无功功率和视在功率）直流电路中无源一端口网图RLC 串联电路络对外可以等效成电阻 R；uRuLi那么不含独立源的线一端口网络，流RL。CuC相量电路模型43+I&U&-2.5电阻、电感与电容串联交流电路根据KVL的相量形式，端口电压方程I& U&U &UURLC1U& RI& j LI& R j(L Z I&I&jCZ1C)I&相量形式的欧姆定律等效电路1令 Z=R j(L 阻 抗Z ) R j(XX) R jX CLC阻抗角 arctan XL电 阻电 抗XCXCR44（XXR2）2ZLC阻抗模2.5电阻、电感与电容串联交流电路U&U uU ( ) | Z | Z I&

24、| Z |又根据I uiIiUXC arctan XLIR u i 根据式 0分析：X X时阻抗角LC电压 u 越前于电流 i,RLC串联电路呈现感性；XLXC 时阻抗角 0电压 u 滞后于电流 i,RLC串联电路呈现容性； 0XL=XC时阻抗角电压 u 与电流 i同相， RLC串联电路呈现阻性。452.5电阻、电感与电容串联交流电路电压、电流的相量图U& CU& LU& LU&I&U& RU& R&IU& C(b)(a)U& RU& L RI& j LI& jX L I&U& U& RU& L U& CX XL XCZ有效值的关系1jCRU&I jX&IU 2（U U ）2UCCRLC阻抗三

25、角形46似。RLC串联电路电压相量图组成直角三角形，与阻抗三角形相2.5电阻、电感与电容串联交流电路例2.5.1 一个电阻R=15、电感L=12mH的线圈与C=5F的电u 100 sin tV的电源上，容器相串联,接在电压=5000rad/s。试求电流i、电容器端电压uC和线圈端电压uW 。uC 160 sin( t 143.1) V线圈看成RL串联，其阻抗ZW R jL (15 j60) 6276o 线圈电压相量和瞬时表达式解： RLC串联，其阻抗1Z R j( L ) C=15+j20 2553.1 电流相量和瞬时表达式分别为 U&m1000 VI& 4 53.1 AU& mI&m Z W

26、m2553.1 Zi 4 sin( t 53.1) A电容电压相量和瞬时表达式 62 76 4 53.1 248 22.9 V1U&I juW 248sin( t22.9 )V CC mm47 j40 4 53.1 160 143.1 V2.5电阻、电感与电容串联交流电路I&例2.5.2在RC串联交流电路中，R=2k , C =0.1 F, U1=1V, f =500Hz+CU&RU&12_(1)求输出电压U2，并输入和输出电压U&2I&之间的大小和相位关系； (2)当将电容C改为20 F时,求(1)中各项；(3)当将频率改为4000Hz时,再求(1)中各项。58U&11 C1解：(1)X 3

27、.2kC2 3.14 500 0.110-6U&CU1VI = 1=0.27mAX 3.22 3.77 k,R2222Z3.77kZC =arctan XC =arctan 3.2 = 58U =RI =2k 0.27 mA=0.54V2R超前582U 54%U&比 U&2 U1大小和相位关系48212.5电阻、电感与电容串联交流电路(2) X 1 1 16 R CC2 3.14 500 20 10-6I&X20002 162 2 k,R22ZCU&2 U&1 arctan XC 0U U 1V ;U 0R21C11（3）X 400 CC2 3.14 4000 0.110-6 arctan X

28、CX 2.04 k,R22Z 11.311.3I&CU&RU U cos 0.98V221大小和相位关系U&U21U&比U& 98%U&超前11.3CU121XC R(1) 串联电容C可起到隔直通交的作用(只要选择合适的C,使49(2) RC串联电路是一移相电路, 改变C、R或 f 都可达到移相的目2.5电阻、电感与电容串联交流电路功率(1)瞬时功率i设：i Im sin tu Um sin ( t )+u_ R+RIsin ( t ) sin tp u i UuuLLmm_+UI cos UIcos(2 t )uCC耗能元件瞬时功率储能元件瞬时功率_每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消

29、耗,一部分与储能元件进行能量交换。502.5电阻、电感与电容串联交流电路(2)P 平均功率P (有功功率):W1T1T UI cosTTUI cos UI cos(2 t )d tpdt 00端口电压u 与 i 夹角cos 端口电流功率因数用以衡量网络对电源的利用率(3) 无功功率 Q：varQ UI sin 阻抗为感性时, 电压 u 越前于电流 i, Q 0 代表感性无功功率阻抗为容性时, 电压 u 滞后于电流 i, Q 0 代表容性无功功率512.5电阻、电感与电容串联交流电路(4)视在功率S UIQ2P2表示电气设备容量,：伏安（VA）UcIosUsIin 有功功率 P 无功功率 Q有功

30、功率、无功功率和视在功率三者的关系可通过一个功率三角P UI cos形描述，。功率三角形52Q UI sin 2.5电阻、电感与电容串联交流电路例2.5.3 在工频条件下测得某线圈的端口电压、电流和功率分别为100V、5A和300W。求此线圈的电阻、电感和功率因数。 cos P 300W 0.6100V 5AUI arccos 0.6 53.1u| Z | U 100V 20I5A线圈电阻、感抗和电感分别为：R | Z | cos 20 0.6 12X L | Z | sin 20 0.8 16162 50s1XLL 51mH53iRL2.6阻抗的串联与并联1 阻抗的串联I&U& U& 1 U

31、& 2 Z1&I Z 2&I&+ (Z1 Z 2)IU&Z1-1&I U&U+Z Z ZU& 2Z212Z-Z Z Rj X-通式注意kkk对于阻抗模一般 Z1Z 2ZI&+分压公式Z2ZZ1U&U&U&U&U&2Z Z-1Z Z1212542.6阻抗的串联与并联例2.6.1, 它有两个阻抗Z1 6.16 j9 ,Z2 2.5 j4们串联接在 U&作相量图。I& 22030 V 的电源，求 &I和U&U&；并1、 2Z Z1 Z2 (6.16 2.5) j(9 4) 8.66 j5 1030 解：+U&1Z1U&22030 1030-+&I U& 220 AZU&2Z2-U& 1 Z1&I (

32、6.16 j9) 22 -10.955.6 22 239.855.6 VU& Z &I (2.5 j4) 22 103.6 58 V同理：22552.6阻抗的串联与并联利用分压公式I& 6.16 j9 22030Z1U&U&1Z Z8.66 j5+12+ 239.855.6 VU&Z1-1&U 2.5 j4 22030Z2+U&2U&U&Z22Z Z8.66 j5-12- 103.6 58 VU&158&注意：U U1 U 2U U1 U 2相量图U&U&255.630I&562.6阻抗的串联与并联 U&U&2阻抗并联I&I &I &I12ZZ12+ U&1 1 1 &IZZ1ZU&ZZ 1Z

33、 22&I1I2-Z ZZ 12 Z1 Z21 1 I&通式+ZZk 1 1 1 ZU&注意：对于阻抗模一般-ZZ1Z2Z2Z1&I&I分流公式：&I&I1Z Z2Z Z1212572.6阻抗的串联与并联Z1 3 j4Z2 8 j6例2.6.2, 并联接在有两个阻抗U&和&I 2200 V的电源上，计算 &I&I并作相量图。1 、 2I&553 10 37Z ZZ 12 Z1 Z2解:+3 j4 8 j65016U11.8 10.5 4.4726.5 I&2U&220 0&I1 44 53 AU&I&I&5 53Z26.5 153U&220 0&I 2 Z10 37 22 37 A2237&I

34、 &I1 &I 2 44 53 2237 49.2 26.5 A58I&1相量图&Z1Z2&-I12.6阻抗的串联与并联I&+U&2200U或&I Z4.4726.5 49.2 26.5 AI&210 37Z&I12 &I 49.2 26.5 44 53 AZ1 Z2(3 j4) (8 j6)553Z&I21 &I 49.2 26.5 2237 AZ1 Z2(3 j4) (8 j6)59&Z1Z2-I&12.6阻抗的串联与并联Z U&IU&阻抗与导纳 Y&I一端口导纳以GCL并联电路为例，如图(a)iI&iGiLiCI&CI&LI&U&uG 1 jLGCLGjC(b)将GCL相量模型，如图 (

35、b)所示。KCL方程相量形式为1L令Y G j(C B ) G jB Y ) G j(BCLY导纳角导 纳电 导容 纳感 纳电 纳2.6阻抗的串联与并联若 Z R jLL1Z1R jLR则 Y j G jB 2 L2 2 L2R2R2B L 其中， G R 11L 2 L2R 2 2 L2RR2I&I&U&U&RjLjB等效电路如图(b)所示61说明:Y 与 Z 等效是在某一频率下,等效的 Z 或 Y 与频率有关。G2.6阻抗的串联与并联2 cos tA， =2103rad/s 。例2.6.3在图示电路中已知iR 求 ab 端的等效阻抗和等效导纳。求各元件的电压、电流及电源电压 u，并作各电压

36、、电流的相量图。X L L 2103 rad/s 0.1H 200,解i1uiR2001C12103 rad/s5106 F0.1HiC 100XC5F11(1) Z 40(1 j2)cd1 j C11jR200100 j L Zcd 126.4971.56oZab1Y (2.5 j7.5)mSab Zab 622.6阻抗的串联与并联(2)求各元件的电压、电流及电源电压 u，并作各电压、电流的相量图。 2 103 rad/s2 cos tAi1iRU&cd I&R R 2000o V(2)I&ui0.1HiCR2005F j C U& 290 o ACcdI&1 I&C I&R 2.23663.43o A各电压、电流相量图如下U&ac jL I&1 447.2153.43o VU&CU&acU&I&1I&U Z I 282.83134.99 VoC&ab1UCu 282.83 2 cos( t 134.99o )VI&R632.6阻抗的串联与并联例2.6.4 图示各电路中已标明电流表的读数，试求电压 u 和电流 i