1.4.2充要条件-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1、1.4.2 充要条件什么是充分条件和必要条件？如何判断？思考下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则ac0，q:x0，y0；（4）p: 是一元二次方程 的一个根，q：解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么），所以 ，所以p不是q的充要条件.（2）因为“若p,则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即 ，所以p是q的充要条件.（3）

2、因为xy0时，x0，y0不一定成立（为什么），所以 , 所以p不是q的充要条件.（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即 ，所以p是q的充要条件./探究：通过上面的学习，你能给出四边形是平行四边形的充要条件吗？ 另外，我们在看平行四边形的定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，能，可以发现“四边形的两组对角分别相等”，“四边形的两组对边分别相等”，“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”，既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件.它表明“四边形的两组对边分别平行”也是“四边形是平行四边形”的一个充要

3、条件.思考：可以给出平行四边形的其他定义形式吗？ 上面这些充要条件从不同角度刻画了平行四边形这个概念，据此我们可以给出平行四边形的其他定义形式，例如：两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形；对角线互相平分的四边形叫做平行四边形.类似地，利用“两个三角形全等”的充要条件，可以给出“三角形全等”的其他定义形式，而且这些定义是相互等价的；同样，利用“两个三角形相似”的充要条件，可以给出“相似三角形”其他定义形式，这些定义也是相互等价的，等等.例4 已知：O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证d=r是直线l与O相切的充要条件.图1.4-2分析 设p：d=r，q：直线l与O相切. 要证p是q的充要

4、条件，只需分别证明充分性（ ）和必要性（ ）即可.证明：设p：d=r，q：直线l与O相切.（1）充分性（ ）：如图1.4-2，作OPl于点P，则OP=d. 若d=r，则点p在O上. 在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ. 在RtOPQ中，OQOP=r，所以，除点P外，直线l上的点都在O的外部，即直线l与O仅有一个公共点P.所以直线l与O相切.（2）必要性（ ）：若直线l与O相切，不妨设切点为P，则OPl. 因此d=OP=r.由1 2可得d=2是直线l与圆o相切的充要条件由（1）（2）可得d=r是直线l与O相切的充要条件.拓展：充分条件与必要条件的几种判断方法1、定义法：定义法是判断充要条

5、件最根本，最适用的方法，步骤如下：（1）分清条件与结论（p与q）；（2）找推式：即判断“若p，则q”及“若q，则p”的真假；（3）下结论：/拓展：充分条件与必要条件的几种判断方法2、集合法：若命题p对应集合A，命题q对应集合B，则从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分条件（ ）p是q的必要条件（ ）P是q的充分不必要条件（ ， ）A Bp是q的必要不充分条件（ ， ）B Ap是q的充要条件（ ）A=B/3、特殊值法：对于选择题可以取一些特殊值或特殊情况来说明由条件（结论）不能推出结论（条件），但是这种方法不适用于证明题.练习下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：三角形为等腰三角形，q：三角

6、形存在两角相等；（2）p： O内两条弦相等，q： O内两条弦所对的圆周角相等；（3）p：AB为空集，q：A与B之一为空集.分别写出两个三角形全等和两个三角相似的几个充要条件.（1）p是q的充要条件（2）p是q的充要条件（3）p不是q的充要条件两个三角形全等的充要条件:两个三角形三边对应相等， 两个三角形两边及其夹角对应相等， 两个三角形两角与一边对应相等。两个三角形相似的充要条件:有两个三角形三角分别相等，两个三角形三边对应成比例，两个三角形两边对应成比例，且夹角相等。练习3. 证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.证明：设p：AC=BD，q:梯形ABCD为等腰梯形.（1）充分性（ ）: 过点D作DE/AC，与BC的延长线交于点E. 如图所示，已知AD/CE，四边形ACDE为平行四边形， AC=ED， 又AC=BD， BD=ED， E= ACB， ACB= DBC， 又AC=DB，BC=CB， ACB DBC， AB=DC， 梯形ABCD为等腰梯形.（2）必要性（ ）