中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（10）【含答案】

1、中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（10）1已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，为顶点，点关于直线的对称点为（1）如图，若点是对称轴上的动点，当取得最小值时，求点的坐标（2）如图，连接，点是轴上一动点，求周长的最小值；（3）如图，点是轴上的动点，点是轴上的动点，是否存在点、，使四边形的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由（1）；（2）；（3）存在，【分析】（1）如图，连接，交抛物线对称轴于点，点即为所求（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，过点作轴于点，求出即可得到结论；（3）利用轴对称求最短路线的方法，作点D关于y轴的对称点，作点

2、E关于x轴的对称点，得出四边形DNME的周长最小为：+DE，进而利用勾股定理求解即可【详解】解：（1）如图，连接，交抛物线对称轴于点，点即为所求，连接抛物线，抛物线对称轴为直线点，点关于直线对称，此时取得最小值设直线的解析式为：y=kx+b，则有，解得，所以，直线的解析式当时，；（2）如解图，为定值，当的值最小时，的周长最小作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，过点作轴于点，由抛物线解析式可知，点，关于轴对称，此时取得最小值，周长的最小值；（3）存在，如解图，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接与轴、轴的交点即为点、，连接，延长，交于点点，关于轴对称，点，关于轴对称，四边形的周长为由

3、两点之间线段最短，可知此时四边形取得最小值，四边形周长的最小值为【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及勾股定理、利用轴对称求最短路线等知识，利用数形结合是解题关键2(本题满分8分)如图，己知抛物线与轴相交于点，其对称轴与抛物线相交于点，与轴相交于点.(1)求的长;(2)平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为.若新抛物线经过原点，且，求新抛物线对应的函数表达式.（1）；（2）或【详解】解析：解：（1）令，则，.过点作，垂足为， 在Rt中，.(2)在Rt中，,.当顶点在第四象限时，点在直线上 设点，则新抛物线的函数表达式为，抛物线经过原点，,解得，（不合题意，舍去）新抛物线的函数表达式

4、为当顶点在第二象限时，点在直线上设点，则新抛物线的函数表达式为抛物线经过原点，,解得，（不合题意，舍去）新抛物线的函数表达式为综上所述：新抛物线的函数表达式为或3如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点，直线AD与抛物线交于另一点E（1）求抛物线和直线AD的解析式；（2）若是直线AD上方抛物线上的一动点，当为何值时面积有最大值，最大值是多少；（3）在直线AD下方抛物线上的一个动点G，当时，写出点G的坐标（1）抛物线解析式为：；直线AD的解析式为：；（2）当时，最大值为；（3）或【分析】（1）利用待定系数法求抛物线和直线AD的解析式即可；（2）联立抛物线与直线的解析式，得到点E的坐标，设点，过点

5、M作轴，交AE于N，则，利用割补法表示出的面积，得到关于x的二次函数，利用二次函数求最值即可解决；（3）设，过点G作轴，交AE于P，则，利用割补法表示出的面积，得到关于x的一元二次方程，求解即可【详解】解：（1）因为抛物线经过，设抛物线的解析式为，将（0，3）代入得，所以抛物线的解析式为：；设直线解析式为，因为直线经过（-1，0），（0，1），解得，直线AD的解析式为：；（2）联立抛物线与直线的解析式，可得：，解得：或，点E的坐标为：，设点，过点M作轴，交AE于N，则，当时，S有最大值，最大值为 ；（3）设，过点G作轴，交AE于P，则，解得：或或【点评】本题考查待定系数法求解析式、割补法表示面

6、积、二次函数最值等内容，解题的关键是作出辅助线，合理利用割补法表示面积4如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点（1）求点，点和点的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标；（3）若点是直线下方抛物线上一动点，运动到何处时四边形面积最大，最大值面积是多少？（1）A（2，0），B（l，0），C（0，2）；（2）P；（3）(-1，-2)；4【分析】（1）令x=0，y=0，代入函数解析式，即可求解；（2）连接AC与对称轴的交点即为点P求出直线AC的解析式即可解决问题（3）过点M作MNx轴与点N，设点M（x，x2+x-2），则AN=x+2，ON=-x，OB=1，OC=2，MN=-（

7、x2+x-2）=-x2-x+2，根据S 四边形ABCM=SAOM+SOCM+SBOC构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题【详解】解：（1）由 y=0，得 x2+x2=0 解得 x1=2，x2=l，A（2，0），B（l，0），由 x=0，得 y=2，C（0，2）（2）连接AC与对称轴的交点即为点P设直线 AC 为 y=kx+b，则，得 k=l，y=x2对称轴为 x=，当 x=时，y=-（）2=，P（3）过点M作MN丄x轴与点N，设点M（x，x2+x2），则OA=2，ON=x，OB=1，OC=2，MN=（x2+x2）=x2x+2，S四边形ABCM=SAOM+SOCM+SBOC=2（x2x+

8、2）+2（x）+12=x22x+3=（x+1）2+4a=10，当x=1时，S四边形ABCM的最大值为4点M坐标为（1，2）时，S四边形ABCM的最大值为4【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、两点之间线段最短、最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决在性质问题，学会构建二次函数解决最值问题5如图，抛物线yx2+bx+c经过点（3，12）和（2，3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l（1）求该抛物线的表达式；（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点要使以P、D、E为顶点的三角形与AOC全等，求满足条件的点P，点E的

9、坐标（1）yx2+2x3；（2）点P的坐标为（2，5）或（4，5）；点E的坐标为（1，2）或（1，8）【分析】（1）根据待定系数法，将点（3，12）和（2，3）代入抛物线表达式，即可求解；（2）在AOC中，OAOC3，由题意：以P、D、E为顶点的三角形与AOC全等可知PDDE3，再分点P在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，求解即可【详解】解：（1）将点（3，12）和（2，3）代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：yx2+2x3；（2）抛物线的对称轴为x1，令y0，则x3或1，令x0，则y3，故点A、B的坐标分别为（3，0）、（1，0）；点C（0，3），故OAOC3，P

10、DEAOC90，当PDDE3时，以P、D、E为顶点的三角形与AOC全等，设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m（1）3，解得：m2，故n22+2235，故点P（2，5），故点E（1，2）或（1，8）；当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（4，5），此时点E坐标同上，综上，点P的坐标为（2，5）或（4，5）；点E的坐标为（1，2）或（1，8）【点评】本题主要考查了二次函数与几何运用，涉及到三角形全等，掌握数形结合思想是解答关键，其中（2）需要分类求解，避免遗漏6如图，二次函数的图象与轴交于点(点位于对称轴的左侧)，与轴交于点.已知求该二次函数的对称轴及点的坐标点为线

11、段上一点,过点作直线轴交图象于点 (点在点的左侧),将顶点作直线的对称点，若点在轴上方，且到轴距离为1，求的值对称轴直线x=1；B(3，0)；n=【分析】(1)根据OA=1，得出A点坐标，根据待定系数法把A点坐标带入二次函数解析式，从而求出a的值，求出二次函数解析式，根据对称轴公式求出对称轴；令y等于0，可求出B点坐标（2）根据函数解析式求出顶点M的坐标，利用条件M，M1关于直线l对称，且M1到轴距离为1，求出M1的坐标，进而可求出n的值【详解】解：OA=1 A(1,0)把代入得对称轴令，即解得顶点关于垂线对称，且到x轴距离为1则【点评】本体考查了二次函数的图像与性质，利用待定系数法求函数解析

12、式，求函数对称轴，解题关键在于求出A点坐标，带入函数解析式求出a的值，求出函数解析式7已知抛物线yax2+bx+c（a0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC3（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当PBC面积最大时，求点P的坐标；（1）y=x2-4x+3，D（2，-1）；（2）P（，-）【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x-1）（x-3）=a（x2-4x+3），即可求解；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较的纵坐标，可得PH的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案【详解】

13、解：（1）函数的表达式为：y=a（x-1）（x-3）=a（x2-4x+3），即：3a=3，解得：a=1，故抛物线的表达式为：y=x2-4x+3，则顶点D（2，-1）；（2）将点B（3，0）、C(0,3)的坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得：直线BC的表达式为：y=-x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x2-4x+3），则点H（x，-x+3），则SPBC=PHOB=（-x+3-x2+4x-3）=（-x2+3x），-0，故SPBC有最大值，此时x=，故点P（，-）【点评】本题是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，解（2）的关键是平行于y轴直线上两点间的距离

14、是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出PH的长8如图1，抛物线yax2+（a+3）x+3（a0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0m4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PMAB于点M（1）求抛物线的解析式和直线AB的函数表达式；（2）设PMN的周长为C1，AEN的周长为C2，若，求m的值（1） ， （2）m=2【分析】（1）令y0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，即可得出抛物线解析式，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；（2）由PNMANE，推出，列出方程即可解决问题【详解】解：（1）令y0，则ax2（a3）x30，（

15、x1）（ax3）0，x1或，抛物线yax2（a3）x3（a0）与x轴交于点A（4，0），4，a，抛物线解析式为：；A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为ykxb，则，解得，直线AB解析式为；（2）如图1中，PMAB，PEOA，PMNAEN，PNMANE，PNMANE，NEOB，AN（4m），抛物线解析式为，PNm2m3（m3）m23m，解得m2【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是构造相似三角形9二次函数yax22x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，3）（1）a ，c ；（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y

16、轴上，连接PD，求PD+PC的最小值；（3）如图2，点M在抛物线上，若SMBC3，求点M的坐标（1）a1，c3；（2）4；（3）M的坐标为M1，M2，M3（14），M4（2，3）【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组即可求出答案；（2）如图1中，作PHBC于H由DP+PC（PD+PC）（PD+PH），根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时DP+PC最小，最小值为DH；（3）如图2中，取点E（1，0），作EGBC于G，易知EG由SEBCBCEG33，推出过点E作BC的平行线交抛物线于M1，M2，则,，求出直线M1M2的解析式，利用方程组即可解决问题，同法求出M3，M4的坐标【详解】（1）

17、把C（3，0），B（0，3）代入yax22x+c得到， ，解得 故答案为1，3（2）如图1中，作PHBC于HOBOC3，BOC90，PCH45，在RtPCH中，PHPCDP+PC（PD+PC）（PD+PH），根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时DP+PC最小，最小值为DH，在RtDHB中，BD4，DBH45，DHBD2，DP+PC的最小值为24（3）如图2中，取点E（1，0），作EGBC于G，易知EGSEBCBCEG33，过点E作BC的平行线交抛物线于M1，M2，则,，直线BC的解析式为yx3，直线M1M2的解析式为yx1，由 解得 或 ，M1 ，M2，根据对称性可知，直线M1M2关于直线B

18、C的对称的直线与抛物线的交点M3、M4也满足条件，易知直线M3M4的解析式为yx5，由解得 或，M3（14），M4（2，3），综上所述，满足条件的点M的坐标为M1，M2，M3（14），M4（2，3）【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，线段和最值问题，二次函数与一次函数图像和性质等知识，本题的线段和最值问题属于胡不归问题，把PC成PH是解题的关键10抛物线交x轴与点A和点B(-4，0)，交y轴于点C，点P为抛物线上一动点（P与B、C不重合）（1）求抛物线的解析式（2）连结CB，若点P在直线BC下方时，求的面积的最大值（3）若点M为直线BC上一点，是否存在点M，使以点P、C、A、

19、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由（1）；（2）4；（3）存在，【分析】（1）直接将B(-4，0)代入解析式，通过待定系数法求解即可；（2）先运用待定系数法求解出BC的解析式，再作PQy轴，交BC于Q点，从而可根据抛物线和直线的解析式设出P，Q的坐标，并表示出PQ，最后根据PQ建立出关于的二次函数表达式，从而运用函数的性质求解即可；（3）分别考虑AC，AM，AP为对角线，结合平行四边形的对角线互相平分的性质分类求解即可【详解】（1）将B(-4，0)代入解析式得：，解得：，抛物线的解析式为：；（2）如图所示，由抛物线解析式可得：，设直线BC的解析式为：，将

20、B，C坐标分别代入得：，解得：，直线BC的解析式为：，点P在直线BC下方，且在抛物线上，设P的坐标为，其中，此时，作PQy轴，交BC于Q点，则Q的坐标为，当时，的面积取得最大值，最大值为4；（3）存在这样的M点，理由如下：如图所示，若以AC为对角线，可得，此时，直线APBC，且过点A，则可设直线AP的解析式为：，将A点代入可得：，直线AP的解析式为：，令，解得，P点的横坐标为-3，则代入AP的解析式得纵坐标为-1，设M的坐标为，此时根据平行四边形的性质可得：，解得：，；如图所示，若以AM为对角线，可得，由可知，设M的坐标为，此时根据平行四边形的性质可得：，解得：，；如图所示，若以AP为对角线，

21、可得和，此时可设，则根据平行四边形的性质可得：，解得：或，当时，代入直线BC可得：，即；当时，代入直线BC可得：，即；综上所述，存在M使得以点P、C、A、M为顶点的四边形为平行四边形，M的坐标为：，【点评】本题考查待定系数法求解函数的解析式，运用函数的思想求解三角形面积最大值以及平行四边形的判定与性质，前两个问题较为基础，熟练掌握常规方法求解是关键，最后一问中结合平行四边形对角线的性质分类讨论是关键11如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在抛物线上（1）求该抛物线的函数解析式及的值；（2）如图2，若点为线段上的一动点不与（，重合），分别以，为斜边，在直线的同侧作

22、等腰直角和等腰直角，连接，试确定面积最大时点的坐标；（3）如图3，连接，在线段上是否存在点，使得以，为顶点的三角形与相似（包括全等），若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由（1），-3；（2）；（3）存在，点的坐标是或【分析】（1）把点A与点B的坐标代入二次函数的解析式求出a与b的值，则可确定该抛物线的函数解析式，将x4代入二次函数解析式求出m的值即可；（2）由等腰直角APM和等腰直角DPN，得到MPN为直角，由两直角边乘积的一半表示出MPN面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可；（3）分两种情况进行讨论，根据相似三角形的性质得出比例式，求出AQ的长，利用两点间的距

23、离公式求出Q坐标即可【详解】解：（1）经过点，解得抛物线的函数解析式为在抛物线上，（2）与都为等腰直角三角形，为直角三角形，设点的坐标为，当，最大此时（3）存在，设BC为ykxb1，将C（0，5），B(5,0)代入得：，解得直线BC的解析式为y-x+5，同理可得：直线CD的解析式为y-x+1，BCCDBADABC45，当ABDBQA时，即，解得AQ，设Q（x，x+5），由两点间的距离公式得：（x1）2（x+5）2，解得x或x，此时Q或（舍去）；当ABDBAQ时，1，即AQ，（x1）2（x+5）210，解得x2或x4，此时Q（2， 3）或（4， 1）（舍去），综上，点Q的坐标为（2， 3）或【点

24、评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键12直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为，连接，点为上方的抛物线上一动点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接，交线段于点，若，求此时点的坐标；（3）如图，连接过点作轴，交线段于点，若与相似，求出点的横坐标及线段长（1）；（2），；（3），或，【分析】（1）先根据直线与坐标轴的交点可求得B、C的坐标，再将B、C的坐标代入抛物线解析式列方程求解即可得出答案；（2）先求出A的坐标，利用待定系数法求出直线AC及B

25、P的解析式，联立得出交点D的横坐标；如图过点P作PH轴于点H，作DG轴于点G，证明，再根据相似三角形的性质列方程求解即可得出答案；（3）设P点坐标为可得出点E的坐标，先求出PE、AC、EC的值，再分，2种情况根据相似三角形的性质求得的值，从而得出PE的值【详解】（1）直线与轴交于点，与轴交于点，令，则；令，则，B（1,0），C（0,3）抛物线经过，两点，将B、C的坐标代入解析式可得解得抛物线解析式为：；（2）令抛物线，可得或A（-3,0）C（0,3）设直线AC的解析式为：将A（-3,0），C（0,3）代入直线，得解得：直线AC的解析式为：设P点坐标为（,）设直线BP的解析式为：将B（1,0），

26、P（,）代入解析式中，得解得：直线BP的解析式为：联立直线BP与直线AC解得如图过点P作PH轴于点H，作DG轴于点G，又PD：BD=5:16BG：BH=16:21BG=，BH=解得：或，经检验，都是方程的根，当时，；当时，故点P的坐标为，；（3）设P点坐标为，,轴又,当时即解得：或经检验不是方程的根，应舍去，；当时即解得：或经检验不是方程的根，应舍去，【点评】本题考查了二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、一次函数的解析式，解题的关键是熟练运用待定系数法求解析式，并运用相似三角形的判定及性质得出边角关系，分类讨论13如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为（1）求此函数的关系式；（2）

27、在下方的抛物线上有一点，过点作直线轴，交与点，当点坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？（3）在对称轴上有一点，在抛物线上有一点，若使，为顶点形成平行四边形，求出，点的坐标（4）在轴上是否存在一点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由（1）；（2），；（3），或，或，；（4）存在；，【分析】（1）求出点A和点C的坐标，代入求出b，c的值即可；（2）求出再求出最大值即可；（3）根据平行四边形的性质分三种情况求解即可；（4）分别利用相似三角形的判定与性质以及勾股定理求出点E的坐标即可【详解】解：（1）点A的坐标为（-3，0），点C的坐标为（0，-3）把点A，点C的坐标代

28、入得，解得，所以，此函数关系式为：（2）如图，设直线AC的函数解析式为：，将，代入，得，解得，直线AC的解析式为点N在直线AC下方的抛物线上，轴为了使MN最大，就要使取最大值，取最小值当时，MN有最大值，最大值为，将代入中，得y=，N的坐标为（3）抛物线对称轴为令y=0得，解得，点B的坐标为（1，0）当AB和KL是平行四边形的对角线时，点和都在对称轴上时，当AB和KL是平行四边形的两条对边，且KL在y轴右侧时，的横坐标为3，当AB和KL是平行四边形的两条对边，且KL在y轴左侧时，的横坐标为-5，综上所述，点的坐标为，或，或，；（4）如图，设直线AD的函数解析式为将，代入得，解得当，A为垂足时，

29、, AO=3，AP=2，PD=4 当，D为垂足时，同理可证，即, 当AEDE,E为垂足时， 设OE=x，则QE=4-x， 解得：， ，综上，点E的坐标为：，【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、勾股定理运用等，其中（3），（4）要主要分类求解，避免遗漏14如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点（1）求的值；（2）求点的坐标；（3）该二次函数图象上有一点（其中，），使，求点的坐标；（4）若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由（1）；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为（2，3）；（4）存在，【分析】（1）直接将A的坐标代入二次函数解析式可求出m，从而得到二次函数的解析式；（2）令y=0，解方程得B点坐标；（3）由，同底等高的两个三角形面积相等，所以只要ABD的AB边上的高与OC相等即可，则由抛物线的对称性可得D的坐标；（4）分AB是矩形的边或对角线两种情况，通过画图，利用数形结合法求解即可【详解】解：（1）将（3,0）代入二次函数解析式，得解得，（2）二次函数解析式为，令，得解得或点的坐标为（3），点在第一象限，点、关于二次函数对称轴对称由二次函数解析式可