2021-2022学年苏科版八年级数学上册2.5等腰三角形的轴对称性 同步专题提升训练 【含答案】

1、2021年苏科版八年级数学上册2.5等腰三角形的轴对称性同步专题提升训练1在等边ABC所在的平面内求一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（）A1个B4个C7个D10个2如图所示，ABC是等边三角形，且BDCE，115，则2的度数为（）A15B30C45D603如图，ABC是等边三角形，BCBD，BAD20，则BCD的度数为（）A50B55C60D654下列条件不能得到等边三角形的是（）A有两个内角是60的三角形 B有一个角是60的等腰三角形C腰和底相等的等腰三角形 D有两个角相等的等腰三角形5如图，四边形ABCD中，CD3，AD5，AC的垂直平分线交AD于E，则

2、CDE的周长是（）A6B8C9D106如图，在四边形ABCD中，AB60，D90，AB2，则CD长的取值范围是（）ACDBCD2C1CD2D0CD7如图，在正方体的两个面上画了两条对角线AB，AC，则BAC等于（）A60B75C90D1358如图，在四边形ABCD中，ABAC，ABD60，ADB78，BDC24，则DBC（）A18B20C25D159如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ以下五个结论：ADBE；PQAE；APBQ；DEDP； AOB60其中正确的结论的个

3、数是（）A2个B3个C4个D5个10如图等边三角形ABC中，ABACBC10cm，DC4cm点M、N都以3cm/s的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，BMN是一个直角三角形，则t的值（）ABC或D或11如图，点O是边长为2的等边三角形ABC内任意一点，且ODAC，OEAB，OFBC，则OD+OE+OF 12如图，在正ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则BDF+CEF 13如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且ab，142，则2的度数为 14在下列结论中：有

4、三个角是60的三角形是等边三角形；有一个外角是120的等腰三角形是等边三角形；有一个角是60，且是轴对称的三角形是等边三角形；有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形其中正确的是 15如图，在ABC中，ABAC，D，E是ABC内两点，AD平分BAC，EBCE60，若BE9cm，DE3cm，则BC cm16如图，在ABC中，B60，EDCBAC，且D为BC中点，DECE，则AE：AB的值为 17已知如图等腰ABC，ABAC，BAC120，ADBC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OPOC，下面结论：APO+DCO30；OPC是等边三角形；ACAO+AP；SABCS

5、四边形ADCP；其中正确的有 （填上所有正确结论的序号）18如图，已知ABC中，A60，D为AB上一点，且AC2AD+BD，B4ACD，则DCB的度数是 19已知如图，在ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DGCE于G，CDAE求证：CGEG20如图，在等腰ABC中，ABAC，BD为ABC平分线，延长BC到点E，使CECD，作DHBE于H，求证：H为BE的中点21如图，点O是等边ABC内一点，AOB110，BOCa将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，则ADCBOC，连接OD（1）求证：COD是等边三角形；（2）当120时，试判断AD与OC的位置关系，并说明理由；（3）

6、探究：当a为多少度时，AOD是等腰三角形？22如图1，在RtABC中，ACB90，A30，P为BC边上任意一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为边做等边PCF和等边PQE，连接EF（1）试探索EF与AB位置关系，并证明；（2）如图2，当点P为BC延长线上任意一点时，（1）结论是否成立？请说明理由（3）如图3，在RtABC中，ACB90，Am，P为BC延长线上一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为腰做等腰PCF和等腰PQE，使得PCPF，PQPE，连接EF要使（1）的结论依然成立，则需要添加怎样的条件？为什么？23如图，ABC、ADE是等边三角形，B、C、D在同一直线上求证：（1）CEA

7、C+DC；（2）ECD6024如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正APC和正PBD（1）当APC与PBD的面积之和取最小值时，AP ；（直接写结果）（2）连接AD、BC，相交于点Q，设AQC，那么的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；（3）如图2，若点P固定，将PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180），此时的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）25在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN60，BDC120，BDDC探究：当M、N分别在直线AB、A

8、C上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DMDN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ；此时 ；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明26学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BMCN，AM，BN交于点Q求证：BQM60度（1）请你完成这道思考题；（2

9、）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：若将题中“BMCN”与“BQM60”的位置交换，得到的是否仍是真命题？若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到BQM60？若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到BQM60？请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”： ； ； 并对，的判断，选择一个给出证明27已知等边ABC和点P，设点P到ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，ABC的高为h（1）若点P在一边BC上如图，此时h30，求证：h1+h2

10、+h3h；（2）当点P在ABC内如图，以及点P在ABC外如图这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由答案1解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个故具有这种性质的点P共有10个故选：D2解：在ABD和BCE中，ABDBCE，1CBE，21+ABE，2CBE+ABEABC60故选：D3解：ABC是等边三角形，ABC60，ABBC，

11、BCBD，ABBD，BADBDA20，ABD1802020140，CBD80，BCDBDC（18080）50，故选：A4解：A、有两个内角是60的三角形是等边三角形，不符合题意；B、有一个角是60的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；C、腰和底相等的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；D、有两个角相等的等腰三角形可能不是等边三角形，符合题意；故选：D5解：AC的垂直平分线交AD于E，AECE，CDE的周长是：DE+CD+CEDC+DE+AEDC+AD3+58故选：B6解：延长AD，BC交于E，AB60，ABE是等边三角形，过B作BFAE于F，AB2，BF，D90，CDBF，CD长的取值范围是0

12、CD，故选：D7解：连接BC，如图，AB、AC和BC都是正方体的三个面的对角线，ABACBC，ABC为等边三角形，BAC60故选：A8解：如图延长BD到M使得DMDC，ADB78，ADM180ADB102，ADB78，BDC24，ADCADB+BDC102，ADMADC，在ADM和ADC中，ADMADC，AMACAB，ABD60，AMB是等边三角形，MDCA60，DOCAOB，DCOABO60，BAOODC24，CAB+ABC+ACB180，24+2（60+CBD）180，CBD18，故选：A9解：ABC和DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，ACBC，ECDC，BCEACD120

13、ACDECBADBE，故本选项正确；ACDECBCBQCAP，又PCQACB60，CBAC，BCQACP，CQCP，又PCQ60，PCQ为等边三角形，QPC60ACB，PQAE，故本选项正确；ACBDCE60，BCD60，ACPBCQ，ACBC，DACQBC，ACPBCQ（ASA），CPCQ，APBQ，故本选项正确；已知ABC、DCE为正三角形，故DCEBCA60DCB60，又因为DPCDAC+BCA，BCA60DPC60，故DP不等于DE，故本选项错误；ABC、DCE为正三角形，ACBDCE60，ACBC，DCEC，ACB+BCDDCE+BCD，ACDBCE，ACDBCE（SAS），CADC

14、BE，AOBCAD+CEBCBE+CEB，ACBCBE+CEB60，AOB60，故本选项正确综上所述，正确的结论是故选：C10解：由题意得，CM3t，BN3t，则BM103t，当BMN90时，B60，BNM30，BMBN，即103t3t，解得，t，当BNM90时，BNBM，即103t23t，解得，t，综上所述，当t或时，BMN是一个直角三角形，故选：D11解：连接OA、OB、OC，过A作AQBC于Q，ABC是边长为2的等边三角形，ABACBC2，BQCQ1，由勾股定理得：AQ，SABCSABO+SBCO+SACO，+，2（OE+OF+OD），解得：OD+OE+OF，故12解：ABC为正三角形A

15、BC60折叠ADEFDEDFEA60B+BDF+BFD180，DFE+BFD+CFE180BDF+BFD120，BFD+CFE120BDFCFECFE+CEF+C180CFE+CEF120BDF+CEF120故12013解：如图，ABC是等边三角形，BAC60，142，ab，21+BAC42+60102；故10214解：有三个角是60的三角形是等边三角形，正确；有一个外角是120的等腰三角形是等边三角形，正确；有一个角是60，且是轴对称的三角形是等边三角形，正确有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形，正确；故答案为15解；过点E作EFBC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过

16、点D作DGEF，垂足为GEFBC，EBF60，BEF30，BF，BED60，BEF30，DEG30又DGEF，GD，ABAC，AD平分BAC，AHBC，且BHCHAHBC，EFBC，DGEF，四边形DGFH是矩形FHGD1.5BC2BH2（4.5+1.5）12解法二：延长ED交BC于M，证明BEM是等边三角形，推出BMBE9cm，证明HM3cm可得结论故1216解：DECEEDCC，EDCBAC，EDCBACC，B60，ABC及DCE是等边三角形，D为BC中点，DE是ABC的中位线，AE：AB1：2故1：217解：如图，连接OB，ABAC，BDCD，AD是BC垂直平分线，OBOCOP，APOA

17、BO，DBODCO，ABO+DBO30，APO+DCO30故正确；OBP中，BOP180OPBOBP，BOC中，BOC180OBCOCB，POC360BOPBOCOPB+OBP+OBC+OCB，OPBOBP，OBCOCB，POC2ABD60，POOC，OPC是等边三角形，故正确；在AB上找到Q点使得AQOA，则AOQ为等边三角形，则BQOPAO120，在BQO和PAO中，BQOPAO（AAS），PABQ，ABBQ+AQ，ACAO+AP，故正确；作CHBP，HCB60，PCO60，PCHOCD，在CDO和CHP中，CDOCHP（AAS），SOCDSCHPCHCD，CDBD，BDCH，在RtABD

18、和RtACH中，RtABDRtACH（HL），SABDSAHC，四边形OAPC面积SOAC+SAHC+SCHP，SABCSAOC+SABD+SOCD四边形OAPC面积SABC故错误故18解：如图延长AB到E使BEAD，连接CE，AEAD+DB+BE2AD+BD，AC2AD+BD，AEAC，A60，AEC是等边三角形，EACE60，B4ACD，设ACDx，则ABC4x，在ADC与EBC中，ADCEBC，ACDECBx，ABCE+BCE，4x60+x，x20，BCD60202020，故2019证明：如图，连接DE，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DEABAECD，DGCE于G，由“等腰

19、三角形三线合一”知，CGEG20证明：ABAC，ABCSCB，BD平分ABC，ABDCBD，CECD，CDEE，ACBE+CDE2DBC，DBCE，BDE为等腰三角形，BDED，DH垂直于BE，H为BE中点（三线合一）21证明：（1）ADCBOC，COCD，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，DCO60，COD是等边三角形（2）解：ADOC，理由是：DOC是等边三角形，CDODOC60，120，COBCDA，ADCCOB120，ADO1206060，ADODOC60，ADOC（3）解：AOD360AOBCOD36011060190，ADOADCCDO60，OAD180AODADO180

20、（60）（190）50，若ADOAOD，即60190，解得：125；若ADOOAD，则6050，解得：110；若OADAOD，即50190，解得：140；即当a为125或110或140时，AOD是等腰三角形22解：（1）EFABPCF和PQE都是等边三角形，PFPC，PEPQ，EPF+FPQQPC+FPQ60，EPFQPC，PFEPCQ；EPFQPC90，EFPF；在RtABC中，ACB90，A30，B60；又FPC60，BFPC，PFAB（同位角相等，两直线平行），EFAB；（2）当点P为BC延长线上任意一点时，（1）结论成立证明：PCF和PQE都是等边三角形，PFPC，PEPQ，EPF+E

21、PCQPC+EPC60，EPFQPC，PFEPCQ；EFPQCP90，EFPF；在RtABC中，ACB90，A30，B60；又FPC60，BFPC，PFAB（内错角相等，两直线平行），EFAB；（3）要使（1）的结论依然成立，则需要添加条件是：CPFBQPE需要证明PFEPCQ、PFAB（内错角相等，两直线平行），才能证明EFAB23证明：（1）ABC、ADE是等边三角形，AEAD，BCACAB，BACDAE60，BAC+CADDAE+CAD，即：BADCAE，BADCAE，BDEC，BDBC+CDAC+CD，CEBDAC+CD；（2）由（1）知：BADCAE，ACEABD60，ECD180A

22、CBACE60，ECD6024解：（1）设AP的长是x，则BP2ax，SAPC+SPBDxx+（2ax）（2ax）x2ax+a2，当xa时APC与PBD的面积之和取最小值，故a；（2）的大小不会随点P的移动而变化，理由：APC是等边三角形，PAPC，APC60，BDP是等边三角形，PBPD，BPD60，APCBPD，APDCPB，APDCPB，PADPCB，QAP+QAC+ACP120，QCP+QAC+ACP120，AQC18012060；（3）此时的大小不会发生改变，始终等于60理由：APC是等边三角形，PAPC，APC60，BDP是等边三角形，PBPD，BPD60，APCBPD，APDCPB，APDCPB，PADPCB，QAP+QAC+ACP120，QCP+QAC+ACP120，AQC1801206025解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NCMN，此时 ，理由：DMDN，MDN60，MDN是等边三角形，ABC是等边三角形，A60，BDCD，BDC120，DBCDCB30，MBDNCD90，DMDN，BDCD，RtBDMRtCDN，BDMCDN30，BMCN，DM2BM，DN2CN，MN2BM2CNBM+CN；AMAN，AMN是等边三角形，ABAM+BM，AM：AB2：