概率论与数理统计教程习题(大数定律与中心极限定理)#

1、习题 10(切比雪夫不等式)填空题设随机变 量 X 的 数学期 望 E(X ) ，方差 D(X) 2 ，则由 切比雪 夫不 等式， 得 P( X 3 ) .随机掷 6 枚骰子，用 X 表示 6 枚骰子点数之和， 则由切比雪夫不等式， 得 P(15 X 27) .3. 若 二 维 随 机 变 量 (X,Y) 满 足 ， E(X) 2 ， E(Y) 2 ， D(X) 1 ， D(Y) 4 ， R(X,Y) 0.5，则由切比雪夫不等式，得 P( X Y 6) .4. 设 X1, X2, ,Xn, 是相互独立、同分布的随机变量序列，且E(Xi) 0， D(Xi ) 一致有n界(i 1,2, ,n, )

2、 ，则 lim P( Xi n) .n i 1 i二选择题若随机变量 X 的数学期望与方差都存在，对 a b，在以下概率中， ( )可以由切比雪 夫不等式进行取值大小的估计。P(a X b) ；P(a X E(X) b)；P( a X a) ；P( X E(X) b a).随机变量 X 服从指数分布 e( ) ，用切比雪夫不等式估计 P(X 1) ().1 ； ； 1 .三解答题1. 已知正常男性成年人的血液里，每毫升中白细胞含量 X 是一个随机变量，若 E(X) 7300， 2D(X ) 7002 ，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞含量在5200 至 9400 之间的概率。2. 如

3、果 X1,X2, ,Xn 是 相 互 独 立 、 同 分 布 的 随 机 变 量 序 列 ， E(Xi )，1nD(Xi) 8 (i 1,2, ,n).记 X Xi ，由切比雪夫不等式估计概率 p(X 4). ni13. 设 X1,X2, ,Xn, 是相互独立、同分布的随机变量序列，2E(Xi) 0， D(Xi) 2，E(Xi4) 存 在 ， 且 一 致 有 界 (i 1,2, ,n, ) . 对 任 意 实 数 0 ， 证 明1 n 2 2 lim P(X i22 ) 1.n n i 111(特征函数)一填空题1. 若随机变量 X 服从正态分布 N(2,4) ，则 P(X 3) .P(0 X

4、 4) ， P( X 1) .2. 若随机变量 X N( , 2)，且 P(X c) P(X c)，则 c .3. 若随机变量 X N(2, 2)，且 P(2 X 4) 0.3，则 P(X 0) .4. 若 X 服从正态分布 N( , 2)，记 P( k X k ) .当0.9时， k ，当 0.95 时， k .5. 随机变量 X 1, X 2相互独立，且都服从标准正态分布，记Y 2 3X1 4X2，则 Y 概率密度 fY (y) .二选择题 2 1 n6. 若随机变量 X1,X2, , Xn相互独立， 且 Xi N( , 2) (i 1,2, ,n)，则 D( Xi) ni1() 2 ；

5、n 2 ； 2 /n ； 2 /n 2.7. 若随机变量 X ,Y相互独立，且都服从正态分布N( , 2). 设X Y， X Y，则cov( , ) ( ). 2 2； 1； 0.XY8.若随机变量 X,Y满足X N(1, 32)，YN(0, 42)，R(X,Y) 1/2，则D( )32 () . 5； 4； 3； 2.三解答题1. 某种电池的寿命 X (单位： h )服从正态分布 N (300, 352) . ( 1)求寿命大于 250 小时的 概率，(2)求 x ，使寿命在 300 x之间的概率不小于 0.9.2. 测量某一目标的距离时，随机误差 X N(0, 402) (单位： m ).

6、1)求 P( X 30) ，(2)若作三次独立测量，求至少有一次测量误差的绝对值不超过30 米的概率。一商店对某种家电采用先使用后付款的方式销售， 使用寿命 X(单位： 年)与销售单价 Y(单 位：元)关系如下：XX22X44X6X6Y1500200025003000若 XN(5, 4), 求平均售价。X4. 若随机变量 X N(0, 1)，设 Y eX ，求随机变量 Y的概率密度 fY(y).12(中心极限定理)一填空题(X,Y) 的联合概率密度为1. 若随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则f (x, y) .2. 若二维随机变量 (X,Y) 的联合概率密度为f (x,y

7、) 12 2 ( x 1)(y 2) (y 2)2( x 1)2e3 3 3 , ( x , y ) 3则D(X) ， D(Y) ， R(X,Y) .3. 若随机变量 X 服从二项分布 B(10000, 0.8) ，由中心极限定理，有 P(X 8000 40) .选择题1. 若二维随机变量 (X,Y) 服从二元正态分布 N( x, y, x2, y2, r), 则 X 与 Y不相关是 X 与Y 不相互独立的( )条件。 充分且必要； 充分但不必要； 必要但不充分； 即不充分也不必要 .2. 若随即变量序列 X1,X2, ,X n, 相互独立，且都服从参数为 的泊松分布 P( )，当 X)时. lim P(X x) (x) .(其中 (x)为标准正态分布的分布函数) nnX i ni1ni1ni1i1n三解答题1. 30 个独立使用的电子元件，它们的寿命 Ti 都服从指数分布，且每个元件的平均寿命都为10030(h)，其使用情况是：一个损坏后，另一个立即起用。记TTi ，求总寿命 T 超过 3500( h)i1的概率。2. 如果计算机在进行加法运算时， 对每个加数取整， 若每个加数产生的误差 X i 是相互独立， 且 服从区间 ( 0.5, 0.5) 上的均匀的随机变量。(1) 求将 1500 个数相加时，误差总和的绝对值超过 15 的概率，(2) 问最多