典型例题解析静定结构位移计算

1、学习好资料 欢迎下载 第 5 章 静定结构位移运算 5 1 基本概念 a EI Cl5-1-1 虚拟单位力状态构造方法 虚拟单位力状态构造方法： q（ 1）去掉全部荷载重画一个结构； EI （ 2）标出所求位移矢量； l（ 3）该矢量变成单位力,即得虚拟单位力状态； 如图 3-1a 刚架求 C 点竖向位移 CV 和 C 截面转角 b 1CC,图 3-1b 和图 3-1c 为求相应位移所构造的虚拟单位 c 求 CV 力状态； 15-1-2 位移运算公式 C求 C虚拟单位力作用下,引起的内力和支座反力： F N, M , F Q , F Ri 图 3-1 虚拟单位力状态 实际荷载作用下,引起的内力

2、： FNP , M P , FQP 位移运算一般公式 F N du Md F Q ds F Ri ci 荷载作用产生位移的运算公式 F N FNP ds M M P EI ds k F Q FQP ds EA GA 1, 梁或刚架结构 M M P ds EI 2, 桁架结构 F N FNP EA ds 第 1 页,共 14 页3, 混合结构 学习好资料 MM 欢迎下载 F N FNP ds EA P ds EI 支座移动引起位移运算公式 F Rici 温度引起位移运算公式 F Nt0dx Mht dx , h 截面高度 t0lF NAM ht t 温式中： 为线膨胀系数 , t0 形心温度 ,

3、 差 AM 虚拟状态弯矩图面积 有弹性支座情形的位移运算公式 M M P ds F R FRP y A 面EI k Ay0 F R FRP EI k 5-1-3 图乘法 图乘法公式： C积 M P MM P dx Ay0 o形心 EI EI EI y0 Mx 图乘法公式条件： 等截面直杆且 EI= 常数 求 y0图形必需为一条直线 图 3-2 图乘法示意图 正负号确定： 面积 A 与 y0同侧取“ +”号 留意：求 面积的图形要会求面积和形心位置； 为使运算过程简洁, 明白, 先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧, 然后直接 代入图乘法公式求得位移； 第 2 页,共 14 页学习好资料

4、D欢迎下载 【 例题 3-1 】 运算图示结构 B 转角和 点竖向位移 ； a 1CEI D1l1b 22 ql CA2 3 ql D2 ql qEI EI ql 2ql 3 A 1 = 22ql 3 A 3 = 38B A B A M P 图 c ql l【分析】 1lCy 2 =1 D利用虚力原理运算位移, 第一需要构造一个 与所求位移对应的虚拟单位力状态, 然后运算 y 3 =1 y1 =1 虚内力在实际变形上所做的内力虚功, 对于荷 A M1B 载作用下刚架的位移运算, 仅需运算在弯曲变 形上的内力虚功, 为此, 需要作荷载产生的弯 求 B 转B 矩图（如图 b 所示）； d 角 构造

5、单位力状态 ：每求一个位移重新画一个 1结构,将所求位移矢量（矢量方向任意假定） lCy 2 = lD画在结构相应位置处, 标单位力值, 即得到与 2所求位移对应的虚拟单位力状态 （分别如图 c, y3 = l y1 =0 d 所示）； A MB 虚拟单位力状态的内力在实际变形上做 虚功,由于刚架仅需要运算弯曲内力虚功, 先 求 D 竖向位DV 作虚拟单位力产生的弯矩图 （如图 c,d 所示）； 移 【解】 例题 31 图 图乘法应用 ：为使运算过程简洁, 明白, 先 将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一 侧,求 B 截面转角： 然后直接代入图乘法公式求得位移； B MMP ds Ay 0

6、特别留意：运算面积的图形需要找形心位 置, Mp 图 AC 杆面积用梯形减对称抛物线面 EI EI A y 1 A y 2 A y 3313ql 3积,但形心位置不易运算, 由于虚拟力状态的 EI EI EI 6EI AC 杆弯矩为常数,因此此题 AC 杆不用运算 求 D 点的竖向位移： （顺时针） 精确形心位置 ； 正负号选择 ：面积弯矩图与弯矩 y 在相同一 DV M M P ds Ay0 侧做正功取正号 （如不在同侧时, 内力虚功为 负,就应取负号） ； EI EI A1 y1 A2 y2 A3 y3 4 7ql 位移实际方向 ：结果为正时虚拟单位力方向 EI EI EI 6EI 就是所

7、求位移的方向； 第 3 页,共 14 页学习好资料 欢迎下载 【 例题 3-2 】 分别运算图示结构 A 点, B 点的竖向位移 ； a qb 4ql A2 = 33ql A 1 = 23CA EI B 2 EI Cc ql A B ll2ql 22 ql M P 图 18lA B y 1 = 2l Cd y2 = l l3【分析】 M1 y 3 = 5l 3y 4 = 4 l C3利用虚力原理运算位移,第一需要构造一个 e A B y1 = 2l 3 与所求位移对应的虚拟单位力状态,然后运算 虚内力在实际变形上所做的内力虚功,对于荷 3l l2 l y 5 = 载作用下梁或刚架的位移运算,仅

8、需运算在弯 M2曲变形上的内力虚功,为此,需要作荷载产生 A A 3= 3ql 43B 的弯矩图（如图 b 所示）； ql 2构造单位力状态 ：A 点, B 点竖向位移所对 ql 3A 5 = 12 2 ql 2 ql ql 3 A 4 = 2应的虚拟单位力状态分别如图 d, c 所示； 求 B 点竖向位移 ：图 b 和图 c 作图乘, M图 例题 32 图 AB 段为常数, MP 图AB 段求面积 A2 不必确定 8形心位置； M图 BC 段为斜直线, MP 图 BC 段 求面积 A 1,并确定形心位置,求对应的 M图 弯矩 y1； 【解】 求 B 点的竖向位移： 求 A 点竖向位移 ： M

9、 图 BC 段为直线, MP 图 BC 段求面积 A1 ,并确定形心位置,求对应 BV M M P ds Ay0 M 图弯矩 y1； M图 AB 段为直线, MP 图 AB EI EI 段的面积分成三块面积如图 e 所示（两个三角 A y 1 1 A y 2 2 4 3ql 形和一个对称抛物线） ,面积分别为 A3 , A4 , 2EI EI 2EI A5,形心对应的 M图弯矩 y3, y4, y5； 求 A 点的竖向位移： DV M M P ds Ay0 留意： EI EI BC杆段抗弯刚度 2EI,相应分母用 2EI ； 为 运算面积的图形,要确定形心位置,对应求 A1 y1 A3 y3

10、A4 y4 A5 y5 4 53ql 2EI EI EI EI 24 EI 弯矩值的弯矩图要是一条直线（当这条直线为常 数时,求面积图形不必确定形心位置） 第 4 页,共 14 页学习好资料 欢迎下载 【 例题 3-3 】 运算图示结构 A 的转角位移 ；各杆 EI=常数； a MF CEI E lb F c EI DM l A 2 = 8EI EI M E M c A B M CDl2l2A1=Ml MA MB 1Cy = 21 3M P 图 E 【分析】 D构造单位力状态 ：能够在转角上做功的力是力 y = 12 3偶,与 A 截面转角位移对应的单位力状态如图 所示；虚拟单位力做外力虚功等

11、于所求位移； A 1B 虚拟单位力状态的内力在实际变形上做内 力虚功,刚架仅需要运算弯曲内力虚功,作虚拟 M单位力产生的弯矩图（如图 c 所示）； 荷载弯矩图 ：需要作荷载产生的弯矩图（如图 例题 33 图 b 所示）； 图乘法应用 ：此题两个弯矩图都为直线图形, 可以选其中任一个运算面积,另一个求弯矩值, 【解】 求 A 截面转角： 由于 AC 杆直接图乘形心不易运算, 此题对 AC, DB 杆件进行一些特别处理,方法如下： A M M P ds EI Ay0 EI 将 DB 杆件弯矩图搬到 AC 上面（如图虚线 部分）变成 AF,两个图都是三角形,可以直接 A1 y1 图乘,三角形的形心简

12、洁确定,这样 AC ,DB 一 2 A2 y2 次图乘就可以了； EI EI CE,ED 两个杆件图乘结果相同,只需运算 2Ml Ml 3Ml 顺时针 一个即可；为使运算过程简洁,明白,先将面积 312 4和形心处对应弯矩求出后标在弯矩图一侧, 然后 直接代入图乘法公式求得位移； 符号选取：图形在同侧内力虚功为正值,位移 与虚拟力方向相同； 第 5 页,共 14 页【 例题 3-4 】 学习好资料 欢迎下载 运算图示结构 I 点竖向位移 ；各杆 EI=常数； a B lE F P G F P lb 4 FP 2 10FP 302FP 2 FP 2FP 3C4 2FP 4FP J 332 F P

13、 33l02F P 4 FP 3A F D3I 4FP 32 F P FP F P F P F P 33llc 20. 5 10 0. 5 FNP 图 【分析】 022 构造单位力状态 ：重新画一个结构（如图 c 所 示）,将所求位移矢量画在结构相应位置处 I 点, 220标单位力值,即得到所求位移对应的虚拟单位力 2状态（如图 c 所示）； 21. 5 0. 5 0. 5 1 作荷载,单位力轴力图： 利用虚力原理运算位 FN 移,需要运算虚内力在实际变形上所做的内力虚 功,对于求桁架结构由荷载产生的位移,只运算 【解】 例题 3 4 图 在轴向变形上的内力虚功,为此,需要作荷载, 单位力产生

14、的轴力图（如图 b, c 所示）； 位移运算公式应用 ：桁架结构位移运算仅有轴 力项,轴力要带符号运算（以拉力为正,压力为 IV F F NP ds F NF NP l4负）,对于杆件是等截面同材料, 不需要作积分运 EA EA 算,对全部杆件求和即可,要留意使用每个杆件 F l P EA 10 210 10 3 0.5 的 长度 ,弹性模量,面积； 233 位移实际方向 ：结果为正时虚拟单位力方向就 是所求位移的方向； 1.5 2 242 2232 注：桁架内力的运算方法 22 32 223 2 此题桁架上部体系与地基之间只有三个联 系,可先求出支座反力, BJ 杆件轴力在 B 处分解 22

15、 1.5 2 2 0.5 1 3成 X,Y 方向再对 A 点取矩可以便利求得；其它 3杆件轴力利用结点法依据 A,C,E,D,F,G, 10 10 F l P 22 14 3EA I 次序列投影平稳条件得到； ED ,GF 两个杆件为零杆,可先求得 ； P l EA 第 6 页,共 14 页学习好资料 欢迎下载 【 例题 3-5 】 图示结构 B 支座发生沉降 , 运算 A 的转角位移和 C 点水平位移 ； a CE DbCE Dl 1c 1A B abA B 12 l l2l 2 1lCE D【分析】 构造单位力状态 ：每个位移重新画一个结构 （如图 b, c 所示）,将所求位移矢量画在结构

16、相应位置处, 标单位力值,即得到所求位移对应的虚拟单位力状 A MB 1态；求 A 处角位移的单位力状态如图 b 所示,求 C 点水平位移的单位力状态如图 c 所示； 静定结构因支座移动影响只发生刚体位移, 不产生 例题 35 图 变形； 虚拟力状态的内力也就不做内力虚功, 在此情 况下不需要作内力图, 虚拟力状态的支座反力在位移 状态的支座位移上将做外力虚功； 只需要求出对应有 支座移动的约束反力即可； 支座不发生移动的, 对应 【解】 1b虚拟力状态的支座反力也不做外力虚功； A 的转角位移 ： 运算支座反力 ：图 a 体系的几何组成为三刚片类型 A F Ri ci结构, 也称作三铰刚架；

17、 运算反力要用双截面法取两 次隔离体,此题只需要 B 支座反力 , 运算过程为： 1 2 l a1 先取整体 ACDB 隔离体, 对 A 点列力矩平稳条 2l a 2b 件,求出 B 竖向反力； （位移方向与虚拟单位力相同,顺时针） C 点水平位移 ： 2 再取一个刚片 EDB 隔离体,对 E 点列力矩平 衡条件,求出 B 水平反力； CH F Ri ci 正负号选择 ：力和位移都是矢量, 方向相同作正虚 功,相反做负功； 位移实际方向 ：结果为正时虚拟单位力方向就是所 求位移的方向； a1bb （位移方向与虚拟单位力相反,向左） 留意：位移运算公式支反力虚功前面的负号, 是公 式自带的； 原

18、先是内力虚功为零, 外力虚功项在公式 左端,移到右端加负号； 第 7 页,共 14 页学习好资料 欢迎下载 【 例题 3-6 】 运算图示结构 B 转角和 A 点水平位移（其中弹簧刚度为 k）； a CEI B lb FP l A2 = FP l2（如 2 CB FRP B FP k EI 3 lEI A1= F P l 2 A M PF P F P A y 322 F P 3l图 2l c Cy = 2111F RB 1d 2l lCy2 = 3B 1F RB 13B y = 13A M图 l11A M图 l例题 36 图 【分析】 构造单位力状态 ：每个位移需要重新画一个结构 【解】 求

19、A 点的水平位移： 图 c, d 所示）,将所求位移矢量画在结构相应位置处, 标单位力值,即得到所求位移对应的虚拟单位力状态； 求 B 处角位移的单位力状态如图 c 所示,求 A 点水平 AH M M P ds F R FRP 位移的单位力状态如图 d 所示； EI k 内力虚功： 刚架在荷载作用下的位移运算, 运算虚内 力在实际弯曲变形上所做的内力虚功, 为此, 需要作荷 Ay0F R FRP EI k 载,单位力产生的弯矩图； 弹性支座运算： 可以 将弹性支座的弹簧当作结构的一 A1 y1 A2 y2 F RB FRPB 3 5FPl EI k EI 3EI 部分； 单位力产生的弹性支座反

20、力 F R ,在弹簧变形 （位移方向：向右） 上做内力虚功, 其内力虚功等于力 F R 乘以位移 ,弹 求 B 截面的转角位移： 簧位移 等于位移状态的弹性支座反力除以弹簧刚度 B M M P ds F R FRP （ FRP k ）；也可以将弹性支座按支座移动处理； EI k Ay0 F R FRP 位移实际方向 ：结果为正时虚拟单位力方向就是所求 位移的方向； EI k A2 y2 F RB FRPB 5FPl 2 留意：弯矩图在图乘时求面积 A 图与 y 在同一侧取 EI k 6EI 正号,在不同侧取负号； （位移方向：逆时针） 弹簧内力虚功符号：两个支座反力 F R , FRP 方向

21、相同做正功,方向相反做负功； 第 8 页,共 14 页学习好资料 欢迎下载 l0B 【 例题 3-7 】 运算图示结构 B 转角和 C 点水平位移 ； 已知线膨胀系数为； a 20 C b 0 1 c 1C 10 C B C B C 0-1 20 C l 1 A 1 = 2 l 11 lhA A M 图 F N A A2 = l 2 2M 图 F N图 l图例题 37 图 【解】 【分析】 t0 AC 1 2 t1 t2 5 C , t0 BC 15 C 构造单位力状态 ：每个位移需要重新画一个 t AC t 2 t1 30 C , t BC 10 C 结构（如图 b, c 所示）,将所求位移

22、矢量画在 B 截面的转角位移 ： 结构相应位置处,标单位力值,即得到所求位 B FN t0dx Mht dx 移对应的虚拟单位力状态；求 B 处转角位移的 单位力状态如图 b 所示,求 C 点水平位移的单 位力状态如图 c 所示； 作内力图 ： 对刚架由于温度转变引起的位移 运算,要考虑温度转变引起的弯曲变形和轴向 变形两种因素对位移的影响,也就是要运算虚 拟单位力状态的内力在弯曲,轴向变形上做的 内力虚功；作虚拟单位力产生的弯矩图和轴力 图（如图 c, d 所示）；轴力标在杆件一侧； lt0 FN AM ht l 5 1 h10 l25 l 5lh（转角位移方向：顺时针） C 点水平位移 ：

23、 内力虚功正负号选择 ：弯矩图面积和杆件两 CH FN t0 dx A Mht Mht dx 侧温度差都取正值,杆件温度上升大的一侧与 , 弯矩图在同侧时内力虚功为正,取正号,在不 t lF N 同侧时取负号；轴力以拉力为正（压力为负） 符号不用选择； l 5 1 h10 位移实际方向 ：结果为正时虚拟单位力方向 l2就是所求位移的方向； 2 留意：如杆件截面不对称时截面形心不在中 h10 l2间位置,需确定截面形心位置,以便运算截面 2形心处的温度；杆件两侧温度差的运算与截面 5 l 是否对称无关； （水平位移方向：向右） 第 9 页,共 14 页学习好资料 欢迎下载 【 例题 3-8 】

24、运算图示结构 C 点和 E 点的竖向位移 ； EI= 常数, EA= 常数； a FP E F FP l b FP E FP F FP l G G 2FP l FP FP FP l A l Cl Dl B A 0 A1=FP l C2 DFP l B FP M P FNP 图 图 c E 0 00 F 0 0 G d E 11 0 0 F 0 0 G A C2l3 1 Dl3 y 1 3 l B A C2l D3 l y 1 l3 B M 图 F N 3 图 M图 F N例题 38 图 图 【解】 【分析】 求 C 点的竖向位移： 构造单位力状态 ：求 C 点竖向位移的单位力 状态如图 c 所

25、示,求 E 点竖向位移的单位力状 CV M M P ds FN FNP ds 态如图 d 所示； EI EA 作内力图 ： 对组合结构梁式杆件作弯矩图, Ay0 FN FNPl 桁架杆件作轴力图, FG 杆件当作梁式杆件处理 EI EA （如图 b, c 所示）； 3A1 y1 FPl 位移运算 ：梁式杆利用图乘法求,正负符号 EI 3EI 选择依据图乘法,桁架杆轴力拉力为正（压力 为负）正负符号,代入； 求 E 点的竖向位移： 位移实际方向 ：结果为正时虚拟单位力方向 EV M M P ds FN FNP ds 就是所求位移的方向； EI EA 结构内力运算 ：此题为组合结构,其几何组 Ay

26、0 FN FNPl 成为基附型结构,基本部分是简支梁,附属部 EI EA 分为桁架；内力运算时依据先附属后基本的顺 3A1 y1 FP 1l FPl FPl 序进行；当附属部分不受外力时,也没有内力； EI EA 3EI EA 留意： FG 杆件有弯矩,依据梁式杆运算； 第 10 页,共 14 页学习好资料 欢迎下载 【 例题 3-9 】 运算图示结构 D 点竖向位移和 AE 杆件的转角 ； a E 10 CF lb E 1F 2A lC20 CDlB 0121 22222A 0C0DB l1F Nc 11E 1F 1l图 2 l 2 l 1111【分析】 2 l 12 l 2构造单位力状态

27、：重新画一个结构（如图 b,c 2 l 2 l 2 l 所示）,将所求位移矢量画在结构相应位置处, 标 A 1C1D1B 单位力值；求 D 点竖向位移对应的虚拟单位力状 态ll2 l 如图 b 所示；桁架只作用结点荷载,不能施加 12 l F N2 l 单位集中力偶, 用一对力形成单位力偶, 即求 AE 图 39 图 杆件转角所对应的虚拟单位力状态如图 c 所示； 例题 运算单位力产生的轴力图： 利用虚力原理运算 【解】 位移,需要运算虚内力在实际变形上所做的内力 t0 CD 20 C , t0 EF 10 C 虚功,对于求桁架结构由温度转变产生的位移, 只存在在轴向变形上的内力虚功,为此,需

28、要作 D 点的竖向位移 ： 单位力产生的轴力图（如图 b, c 所示）； DV FN t0 dx FN t0 l 位移运算公式应用 ：桁架结构位移运算公式仅 有轴力项,轴力要带符号运算（以拉力为正,压 l 110 0 20 力为负）,温度以上升为正, 温度不转变杆件不用 2运算,此题只需运算 EF,CD 两杆件； 5 l 位移实际方向 ：结果为正时虚拟单位力方向就 （竖向位移方向：向上） 是所求位移的方向； AE 杆件的转角位移 ： 注：桁架内力的运算方法 此题桁架上部体系 与地基之间只有三个联 AE FN t0 dx t0 FN l 系,可先求出支座反力,其它杆件轴力利用结点 1 l 2l

29、10 120 法取结点作隔离体,依据 A,C,B,D,F 次序 l列投影平稳条件求出各个杆件的轴力； 25 同一个结构的运算方法与几何组成有关,而 （转角位移方向：逆时针） 与其上面的作用力无关, 即如图 b,c 所示两个结 构的轴力运算方法相同； 第 11 页,共 14 页学习好资料 欢迎下载 【 例题 3-10 】 图示结构 EB 杆件制造短了 15 mm,支座 C 下沉, a 运算 F 点竖向位移和 AD 杆件的转DE F G F G 角 ； c E D11 4A B m 4 A B C0C10mm 4m 4m 1 404m b DE 20mm 【分析】 1 构造单位力状态 ：求 F 点

30、竖向位移的单 位力状态如图 b 所示；由于制造误差和支 F G 座移动使结构产生刚体位移, AD 杆件任一 A B C点转角相等,因此,求 AD 杆件转角位移 的单位力状态如图 c 所示； 静定结构因制造误差和支座移动影响只 发生刚体位移,不产生变形,虚拟力状态 的内力不做内力虚变形功,也就不需要作 【解】 ： 例题 310 图 内力图；有制造误差的杆件将产生内力虚 功,需运算相应的虚内力；虚拟力状态的 F 点的竖向位移 支座反力在位移状态的支座位移上将做外 力虚功,需要求出对应有支座移动的约束 F V Mdx FN dx Qdx F Ri ci 反力；支座不发生移动的,对应虚拟力状 FN d

31、xF Ri ciFN 态的支座反力也不做外力虚功； F Ri ci 运算支座反力 ：图 a 体系为基附型刚架, 0.5 15mm 10 mm ADE 为附属部分, BFC 为基本部分按三刚20 mm 片组成；要依据先附后基的原就运算；附 mm 属部分中意二刚片规章用截面法求,基本 AD 杆件的转角 ： 部分用双截面法（取两次隔离体）运算； 正负号选择 ：力和位移都是矢量,方向 AD Mdx FN dx Qdx F Ri ci相同作正虚功,相反做负功；制造误差以 FN dx F Ri ciFN F Ri ci伸长为正,轴力以拉为正； 3 0.25 10 / mm 15mm 020 mm 010 mm 留意：位移运算公式支反力虚功前面的 负 号,是公式自带的；有制造误差,内力 虚功 不为零,内力虚功,外力虚功的符号 3.75 10 -3 弧度 由力, 位移的正负符号准备, 相同做正功； 第 12 页,共 14 页学习好资料 欢迎下载