养老基金问题

1、数学建模与运算问题 养老基金问题1. 详细问题某高校年轻老师小李从31 岁开头建立自己的养老基金,他把已有的积蓄一万元也一次性投入,已知月利率为 0.01 ,每月存入 300 元,当他 60 岁退休时,他的退休基金有多少？如退休后他每月要从银行提取 金可以用完？1000 元,几年后他的退休2. 解决方法依据题意建立数学模型 : 可用差分方程求解养老基金问题；2.1 模型假设 ：整个过程可以按月进行划分,由于交费是按月进行的；（1）设投保人到第 k月止所交保费及收益的累计 总额为 Fk,（2）设 r 为每月收益率,（3）记 p、q分别为 60岁之前每月交费数和 60岁之 后每月领取数,（4） 记

2、N为停交保险费的月份, M为停领养老金 的月份；模型建立：在整个过程中,离散变量 Fk 的变化规 律满意：Fk+1 = Fk （1+r）+p, k = 0 ,1, , N-1 Fk+1 = Fk （1+r）-q , k = N, M 2.2 差分方程建模 ：在实际建立的查分方程模型时,往往要将变化过程 或向量,划分成如干时段,依据要解决问题的目标,对每个时段引 用相应的变量或向量,然后通过适当的假设,依据食物系统的实际 变化规律和数量相互关系,建立每两个相邻时段或几个相邻时段或 相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应阶段设定 的变量进行四就运算或基本初等函数运算和取最运算等）等式

3、（可多个并且应当充分全面反映全部可能的关系）,从而建立起差分方程；或者对事物系统进行划分,划分成如干子系统,在每个子系统中引入 恰当的变量或向量,然后分析建立起子过程间这种量的关系等式,从而建立起差分方程；在这里,过程时段或子系统的划分方式是特别特别重要的,应当 结合已有的信息和分析条件, 从多种可选方式中选择易于分析, 针对性强的划分,同时,对划分后的时段或子过程, 引入哪些变量或向量都是至关重要的,要认真分析选择, 尽量扩大对过程或系统的数量感知范畴,包括对已有的, 已知的如干量进行结合运算,取最运算等处理方式,目的是建立起简洁,深刻,易于求解分 析的差分方程；1、差分算子xn设数列xn,

4、定义差分算子:xnx n1xn为x 在 n 处的向前差分；而xnx n1为x 在 n 处的向后差分；以后我们都是指向前差分；可见x 是 n 的函数；从而可以进一步定义x 的差分：xn2xn称之为在 n 处的二阶差分,它反映的是的增量的增量；类似可定义在 n 处的 k 阶差分为：2、差分算子kxnk1xn；、不变算子、平移算子记Exnxn1,Ixnx n,称 E 为平移算子, I 为不变算子就有：xnExnIxnEIx nEI由上述关系可得：kx nEIkx nk1 kiCkiEix n2k1 kiCkixni（1）i0i0这说明x 在 n 处的 k 阶差分由x 在n ,n1 .nk,处的取值所

5、线性打算； 反之,由xnxn1xn得x n1xnxn：2xnxn22xn1xn,得：xn2xn1xn2xn, 这个关系说明：第n+2 项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和运算；即一个数列的任意一项都可以用其前面的k 项和包括这项在内的k+1 项增量的增量 . 第 k 层增量所构成；2 得：xnnkkxnk11 kiCkixnnix nk,（2）k1i0iCkix nikxn1 k可以看出：xki0 xn,xn,.,kx的线性组合表示出来可以由3、差分方程由x 以及它的差分所构成的方程,xn,.,k1xn（3）kxnfn,xn称之为 k 阶差分方程；由（ 1）式可知（ 3）式可化为xnk

6、Fn,x n,xn1,.,xnk1（4）k 项故（4）也称为 k 阶差分方程（反映的是未知数列nx 任意一项与其前,前面之间的关系）；由（1）和（ 2）可知,（3）和（4）是等价的；我们常常用的差分方程的形式是（ 4）式；4、差分方程的解与有关概念（1） 假如x 使 k 阶差分方程（ 4）对全部的 n 成立,就称xn为方程（ 4）的解；（2） 假如 x n x（ x 为常数）是（ 4）的解,即x F n , x ,., x 就称 xn x 为（4）的平稳解或叫平稳点；平稳解可能 不只一个；平稳解的基本意义是：设 x 是（ 4）的解,考虑 x 的变化性态,其中之一是极限状况,假如 nlim xn

7、 x,就方程（4）两边取极限（x 就存在在这里面）,应当有x F n , x ,., x （3）假如（ 4）的解 x 使得 xn x 既不是最终正的,也不是最终负的,就称 x 为关于平稳点 x 是振动解；（4） 假如令：y n x n x,就方程（ 4）会变成3 y n k G n , y n ,., y n k 1 （5）就 y 0 成为（ 5）的平稳点；（5） 假如（ 5）的全部解是关于 y 0 振动的,就称 k 阶差分方程（5）是振动方程；假如（ 5）的全部解是关于 y 0 非振动的,就称 k 阶差分方程（ 5）是非振动方程；（6） 假如（5）有解y ,使得对任意大的N 有Sup n N

8、 yy n0就称y 为正就解；（即不会从某项后全为零）（7） 假如方程（ 4）的解x 使得Lim nxnx,就称nx 为稳固解；,复利的运算是对本金及其产生的利息一并运算,也就是利上有利；复利运算的特点是：把上期未的本利和作为下一期的本金,在运算时每一 期本金的数额是不同的；复利的运算公式是 ：M=p+m*1+in 其中： P=本金； i= 利率； m=每月存的； n=月份 第一月存款情形M1=（10000+300） （ 0.01+1）=10403 其次月存款情形 M2=（10000+300） （ 0.01+1）2=10507.03 第三月存款情形M3=（10000+300） （ 0.01+1）3=10612.1003 依次利用公式求解,在 30 年后,即小李 60 岁时可得本息 M=（10000+300） （ 1+0.01）360= 3.7028e+005 3. 程序代码用 Matble 语言得到