七升八数学暑假衔接讲义

1、Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse三角形第一讲与三角形有关的线段定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。注意：三条线段必须不在一条直线上，首尾顺次相接。组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。三角形ABC用符号表示为ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示，顶点B所对的边AC可用b表示，顶点A所对的边BC可用a表示.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边.三角形的任意两边之差小于第三边。三角形的高：从三

2、角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。三角形的三条高相交于一点。三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段，叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32cm，腰长的3倍比底边长的2

3、倍多6cm求各边长.例2.已知：AABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：AABC的各边的长。16.如图，以AD为高的三角形共有例3.已知ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b,c-a=4cm,求a、b、c的长.例4.已知等腰三角形的周长是16cm若其中一边长为4cm，求另外两边的长；若其中一边长为6cm，求另外两边长；若三边长都是整数，求三角形各边的长例5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。例6.已知：AABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，

4、另一边与最小边之和为25cm，求：AABC的各边的长。例7.如图所示，已知在ABC中，AB=AC=8,P是BC上任意一点，PD丄AB于点D，PE丄AC于点E.若AABC的面积为14，问：PD+PE的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，请说明理由.【课堂练习】TOC o 1-5 h z下列说法错误的是().三角形的三条高一定在三角形内部交于一点；B.三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C.三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点；D.三角形的三条高可能相交于外部一点有下列长度的三条线段,能组成三角形的是()A.1、2、3B.1、2、4C.2、3、4D.2、3、63已知三角形的周长为

5、15cm，且其中的两边都等于第三边的2倍，则此三角形的最短边为()A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm4已知三角形的三边长分别为4、5、x,则x不可能是()A3B5C7D95等腰三角形的底边BC=8cm,且|ACBC|=2cm，则腰长AC为()A.10cm或6cmB.10cmC.6cmD.8cm或6cm6.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（）A.5B.6C.7D.8如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形&如图，在ABF中，ZB的对边是（）A8B9C.AFD.ACC10D11已

6、知，如图所示，ABC的顶点坐标分别为A（-4,-3）,B（0,-3）,C（-2,l），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B点，若设ABC的面积为S：,ABIC的面积为S2,则的大小关系为（）A.SSB.S=SC.S,=,m.【能力提高】1.如图，下列说法错误的是（）TOC o 1-5 h z在点D处，则ZB等于（）A.25B.30C.45D.60如图，已知AB=AC=BD，那么Z1和Z2之间的关系是（）A.Z1=2Z2B.2Z1+Z2=180C.Z1+3Z2=180D.3Z1-Z2=180如图，C、E和B、D、F分别在ZGAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若ZA=18

7、0则ZGEF的度数是（）C.100D.1085在锐角三角形中，ZAZBZC,贝9下列结论中错误的是（）5在锐角三角形中，ZAZBZC,贝9下列结论中错误的是（）A.ZA60B.ZB45C.ZC60D.ZB+ZCPA+PB+PC(AB+BC+CA)的理由.【课堂练习】如图，D是厶ABC中BC边上一点，DEAC交AB于点E,若ZEDA=ZEAD，试说明，AD是AABC的角平分线.2已知，如图，在ABC中，0是高AD和BE的交点，观察图形，试猜想ZC和ZDOE之间具有怎样的数量关系，并论证你的猜想3.如图，Z1=20,Z2=25,ZA=35，求ZBDC的度数。4在AABC中，E是AC延长线上的一点，

8、D是BC上的一点，下面的命题正确吗？若正确，请说明理由。Z1=ZE+ZA+ZB;(2)Z1ZA.5如图，已知点P在厶ABC内任一点，试说明ZA与ZP的大小关系，并证明之。6如图，已知ABC与厶DEF是一副三角形的拼图，A,E,C,D在同一条直线上,求证：EFBC;(2)求/1与Z2的度数。【课后练习】1.已知：如图，在ABC中，ZACB=90,CD为高，CE平分ZBCD，且ZACD：ZBCD=1：2,那么CE是AB边上的中线对吗?说明理由2如图，E是AABC的边CA延长线上一点，D点在BC的延长线上，试说明:3如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，IH丄BC于H,试比较ZCIH和ZB

9、ID的大小.【能力提高】1如图，ZECF=9O0线段AB的端点分别在CE和CF上，BD平分ZCBA，并与ZCBA的外角平分线AG所在的直线交于一点D，（1）ZD与ZC有怎样的数量关系？（直接写出关系及大小）（2）点A在射线CE上运动，（不与点C重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？说说你的理由。（1）如图1,有一块直角三角形XYZ放置在ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C.AABC中，ZA=30。，则ZABC+ZACB=，ZXBC+ZXCB=.（2）如图2,改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C,那么ZABX+ZA

10、CX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出ZABX+ZACX的大小.(1)(2)如图1,在厶ABC中，AE丄BC于E,AD为ZBAC的平分线。ZB=5Oo,ZC=7O。,求ZDAE的度数；若ZCZB，则ZDAE与ZC-ZB有怎样的数量关系？说明理由；若点A在AD上移动到点F,FE丄BC于E,其它条件不变，那么ZEFD与ZC、ZB是否还有(2)中的结论？试说明理由。(如图2)如图，在ABC中，内角ZA和外角ZCBE和ZBCF的角平分线交于点P,AP交BC于D,过B作BG丄AP于G.(1)若GBP=45o，求证:AC丄BC;(2)在图上作出APDC在PC边的高DH,并探究ZAPB和Z

11、HDC的数量关系，并说明理由。5.已知：如图，在ABC中有D、E两点，求证：BD+DE+ECVAB+AC.第四讲多边形及其内角和定义：由几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相接这种在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形、n边形。这就是说，一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。与三角形类似地,多边形相目邻两边组成的角叫做多边形的内角,如图中的ZA、ZB、ZC、ZD、ZE。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.如图中的Z1是五边形ABCDE的一个外角。凸多边形和凹

12、多边形：在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形。注意：今后我们讨论的多边形正多边形的概念:我们知道，等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）180.观察下面的图形，填空：从五边形一个顶点出发可以引对角线，它们将五边形分成三角形，五边形的内角和等TOC o 1-5 h z于;从六边

13、形一个顶点出发可以引对角线，它们将六边形分成三角形，六边形的内角和等于;从n边形一个顶点出发，可以引对角线，它们将n边形分成三角形，n边形的内角和等于。n边形的外角和等于360。镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌（或用多边形覆盖平面）的问题同一个顶点处的各个角的和等于360，且相邻的多边形有公共边。也就是说，只要满足这条件就能进行平面镶嵌。能单独进行平面镶嵌的只有三角形、四边形和正六边形。面的图形是由一些地板砖铺成的，看看它们有什么特点？例1.已知正多边形的一个内角是150，求这个多边形对角线的条数？例2.如图，一个任意五角星的五个角的和是多少？例

14、3.如图，求Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7的度数。例4.如图，（1）已知ABC为正三角形，点M是BC上一点,ZBAM=ZNBC，猜想ZBQM等于多少度，并证明你的猜想；将（1）中的“正厶ABC”分别改为正方形ABCD、正五边形ABCDE、正六边形ABCDEF、正n边形ABCDX,“点N是AC上一点”改为点N是CD上一点，其余条件不变，分别推断出ZBQM等于多少度，将结论填入下表：in西疋形-LLZJTTf-Ll-71?LL八妲形-LlHZBQM的度数【课堂练习】下列说法不正确的是（）由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线

15、的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.连接多边形两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.TOC o 1-5 h z过n边形的一个顶点的所有对角线把n边形分成8个三角形，则这个多边形的边数为（）A.llB.10C.9D.8如图，AABC、ADE及AEFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点，若AB=4时，则图形ABCDEFG外围的周长是（）若从一个多边形的一个顶点最多可以引10条对角线,则它是（）A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形下列可能是n边形内角和的是（）A.300B.550C.720D.960一个多边形内角和是10800，则这

16、个多边形的边数为（）A.6B.7C.8D.9一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加（）A.180B.360C.（n-2）180D.n180若一个多边形的内角和与外角和相加是1800，则此多边形是（）A.八边形B.十边形C.十二边形D.十四边形能够用一种正多边形铺满地面的是。（）A.正五边形B.正六边形C.正七边形D.正八边形多边形的每一个内角都等于150，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有条。如果用正三角形进行镶嵌，那么在每个顶点的周围有个正三角形。如果用正三角形和正六边形进行镶嵌，那么在每个顶点的周围有个

17、正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形。某公园便道用三种不同的正多边形地砖镶嵌，已选好了正十二边形和正方形两种，还需选n边形的边数每增加1条，其内角和增加度。若一个多边形的边数增加m条，贝多边形的内角和增力口度.如图所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪。(1)图中草坪的面积为。(2)图中草坪的面积为图中草坪的面积为如果多边形边数为n,其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为【图】【图】【图甸【课后练习】1多边形的边数由于增加到n(n3),其外角度数的和是()A.增加B.保持不变C.减少下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是(A.正六边形和正三角形B.正三角形和

18、正方形用正三角形和正十二边形镶嵌，可能情况有(A.1B.2C.3D.变成(n-3)X180).正八边形和正方形D.正五边形和正八边形)种.4TOC o 1-5 h z4某装饰公司出售下列形状的地砖：正方形；长方形；正五边形；正六边形若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖共有()种.A.1B.2C.3D.4小李家装修地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则小李不应购买的地砖形状是()A.正方形B.正六边形C.正八边形D.正十二边形某人到商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是()A.三

19、角形B.矩形C.正八边形D.正六边形TOC o 1-5 h z六边形共有条对角线，内角和等于，每一个内角等于。&从九边形的一个顶点作对角线，能作条，可把九边形分个三角形。如果一个多边形的每一外角都是24，那么它是边形。一个多边形的内角和与外角和之比是5:2,则这个多边形的边数为。已知一个十边形中九个内角的和的度数是12900，那么这个十边形的另一个内角为度一个多边形的每个内角都为135，则这个多边形的边数为一个多边形的每一个外角都等于24,则这个多边形是边形.一个多边形的内角和与外角和的比是7:2,则这个多边形边形.用一条宽相等的足够长的纸条打一个结，然后轻轻拉紧，压平就可以得到如图所示的正五

20、边形ABCDE,其中ZBAC=第1个第斤第3个用正三角形和正四边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，可以有_个正三角形和_个正四边形。第n个图案中有白色地砖块.阅读材料，并填表：在ABC中，有一点P,当P15A,B,C没有任何三点在同一条直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图（1）当ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？ABC內点.的个数1231002构戚不重醫的小二角形的个数35如图，CDAF,ZCDE=ZBAF,AB丄BC，ZBCD=124,ZDEF=80.（1）观察直线AB与直线DE的位置关系，你能得出什么结论？并说明理由；（2）试求ZAFE的

21、度数.能力提高】1.用边长相等的正多边形进行密铺，下列正多边形能和正八边形密铺的是A.正三角形B.正六边形C.正五边形一个多边形的内角中,锐角的个数最多有（）A.3个B.4个C.5个如图所示，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF等于（D.正四边形D.6个）如下图，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=。如图所示，Z1+Z2+Z3+Z4=6如图，小喜从A点出发前进10m,向右转15，再前进10m,第一次回到出发点A时，一共走了m.又向右转15，这样一直走下去，他7如图是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2X2的正方形图案（如图），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3X3的正方形图案（

22、如图），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4X4的正方形图案（如图），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10X10的正方形图案，则其中完整的圆共有个.一个多边形的每一个内角都比相邻的外角的3倍还多20，求这个多边形对角线的条数。一个多边形的所有内角与它的一个外角之和是2000，那么这个外角是多少度？这个多边形的边数是多少？看图答题：问题：（1）小华在求几边形的内角和?（2）少加的那个角为多少度？全等三角形第五讲全等三角形性质图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用=表示，读作“全等于”全等三角形的定义：两个

23、三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如AABC和ADEF全等时，点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点，记作AABC=ADEF。把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。AC=AE,BC=DE,ZEAC=30。，则ZDAB的大小为例2.如图，在平面上将AABC绕B点旋转到AA，BC的位置时，AABC,ZABC=70,则ZCBC为度.例3.如图，在ABC中，ZA:ZB:ZC=3:5:10,又厶MNCAABC，则ZBCM：ZBCN等于（）A1:2B1:3C

24、2:3D1:4【课堂练习】1根据下列条件，能画出唯一AABC的是（）A.AB=3,BC=4,CA=8B.AB=4,BC=3,ZA=30oC.ZC=60。，ZB=45o,AB=4D.ZC=90o,AB=62.如图Z1=Z2=20o,AD=AB,ZD=ZB,E在线段BC上，则ZAEC=（）3.已知:如图，ABC9ADEF,ACDF,BCEF.则不正确的等式是（）A.AC=DFB.AD=BEC.DF=EFD.BC=EF）D.无法确定如图，BCDACBE,BC=6,CE=5,BE=4,则CD的长是A.4B.5C.6已知图中的两个三角形全等，则ZQ度数是（）A.72B.60C.586如图，将RtAABC

25、（其中ZB=34o,ZC=90o）绕A点按顺时针方向旋转到厶AB：C的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上D.50A120B70C60D50那么旋转角最小等于（）8.若两个三角形的面积相等,则这两个三角形全等如图，ABD9AACE,且ZBAD和ZCAE,ZABD和ZACE,ZADB和ZAEC是对应角，则对应边.如图，ABC9ADBC,且ZA和ZD,ZABC和ZDBC是对应角，其对应边:,对应角:11.如图，AB09ACD0,0A=2,AB=4，BO=3，则DC=，OC=，OD=A与D，B与E分别是对应顶点，ZB=32o,ZA=68o,AB=13cm，则ZF=度，12.如图，ABCADEF,F

26、E=cm已知ABCADEF,ZA=52B=67BC=15cm则ZF=14如图，P是正ABC内的一点，若将ApAB绕点A逆时针旋转到P/AC，贝VZPAP/的度数为15将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则ZCBD的大小为16.如图所示，ABC今厶ADE，BC的延长线交DA于F,交DE于G，ZACB=ZAED=105，ZCAD=15,ZB=ZD=30，则Z1的度数为观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第n个大三角形中白色三角形有个18.如图，把ABC绕点C顺时针旋转35o,如图，把AABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，（1）写出图中一对全等的三角形，

27、并写出它们的所有对应角；（2）设ZAED的度数为x，ZADE的度数为y，那么Z1，Z2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）（3）ZA与Z1+Z2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律.如图所示，已知ABC9AFED，且BC=ED，那么AB与EF平行吗？为什么？【课后练习】1下列说法：全等图形的形状相同、大小相等；全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（）C.D.A.B.下列说法错误的有（）只有两个三角形才能完全重合；如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同;两个正方形一定是全等图形；边数相同的图形一定能互相重合.A

28、.4个B.3个C.2个D.1个已知ABC与ADEF全等，ZA=ZD=90,ZB=37，则ZE的度数是（）A.37B.53C.37。或63D.37。或53TOC o 1-5 h z4如果D是厶ABC中BC边上一点，并且ADBAADC，则ABC是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形5对于两个图形，给出下列结论：两个图形的周长相等；两个图形的面积相等；两个图形的周长和面积都相等；两个图形的形状相同，大小也相等其中能获得这两个图形全等的结论共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，OAB绕点0逆时针旋转80倒厶OCD的位置，已知ZA0B=45。，则ZAOD（）A.120

29、B.70C.60D.50&如图所示，在ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若ADBEDBEDC，则ZC的度数为（）A.15B.20C.25D.309.如图所示，AD是厶ABC的中线，ZADC=45，把ADC沿AD对折,使点C落在点C的位置，则图中的一个等腰直角三角形是（）7.如图，ABD9AACE,则AB的对应边是,ZBAD的对应角是&已知：如图，ABEACD,ZB=ZC,则ZAEB=,AE=.9.如图：ABC9DCB,AB和DC是对应边，ZA和ZD是对应角，则其它对应边是,对应角是已知:如图，ABC9DEF,BCEF,za=zd,bc=ef,则另外两组对应边是,另外两组对应角是如图，已

30、知ABEACF,ZE=ZF=90,ZCMD=70，则Z2=度.如图所示，已知ABCADE,BC的延长线交DE于F,ZB=ZD=25,ZACB=ZAED=105,ZDAC=10，则ZDFB为15如图，D,E分别为ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若ZCDE=480,则ZAPD等于个三角形的三边为2、5、x,另一个三角形的三边为y、2、6,若这两个三角形全等，则x+y=_如图，把大小为4X4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1.请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4X4的正方形方格图形分割成两个全等图形.【能力提高】长为L的一根绳，恰好可围

31、成两个全等三角形,则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（）A.1-x-B.1xlC.Lx丄D.I。CDC.AECDD.无法确定5.已知：如图，CE丄ABDF丄AB,垂足分别为E,F,AF=BE,且AC=BD,则不正确的结论是（）A.RtAAEC9RtABFD6.如果ABC和ADEF全等,DEF和AGHI全等，则ABC和AGHI全等，如果ABC和ADEF不全等，DEF和厶GHI全等，则ABC和AGHI全等.（填“一定”或“不一定”或“一定不”）TOC o 1-5 h z如图，已知AB丄BD于B，ED丄BD于D，AB=CD，BC=DE，则ZACE=.&已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E

32、在AB的延长线上，FB=EB，AF交CE于G,则ZAGC的度数是.9如图，AABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与ABC全等，这样的三角形最多可以画出个.如图，已知ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC全等的图形是.已知：如图，AC=AB,AE=AD,Z1=Z2.求证：Z3=Z4O已知：如图,AB=AC,AE平分ZBAC.求证：ZDBE=ZDCE.如图，已知:ADBC,AD=BC.求证:ABCD.已知：如图，点B,E,C,F在同一直线上,ABDE,且AB=DE,BE=CF.求证:ACDF.已知:如图,AD是BC上的中线，且DF=

33、DE.求证:BECF.如图，在ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E,DE=FE,AE=CE,AB与CF有什么位置关系？说明你判断的理由。如右图，已知DE丄AC,BF丄AC，垂足分别是E、F,AE=CF,DCAB,试证明：DE=BF；(2)连接DF、BE，猜想DF与BE的关系？并证明你的猜想的正确性.已知如图，B是CE的中点，AD=BC,AB=DC.DE交AB于F点。求证：(1)ADBC(2)AF=BF.已知：如图,AC=AB,AE=AD,Z1=Z2.求证：Z3=Z4O【能力提高】1观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是()B.4n+4第2个第3个C.4n4第1个如图，AD丄AB,CB

34、丄AB,DM=CM=a,AD=h,CB=k,ZAMD=75,ZBMC=45，则AB的长为()k+hC.二A.aB.kD.h已知：如图，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE.求证:BD=CE。如图已知：ABC和厶BDE是等边三角形，D在AE延长线上。求证：BD+DC=AD。已知：如图，BE、CF是厶ABC的高，分别在射线BE与CF上取点P与Q,使BP=AC,求证：（1）AQ=AP；（2）AP丄AQ如图，AABC为等边三角形，点M,N分别在BC,AC上,已知C为AB上一点，AACN和ABCM是正三角形.（1）求证:AM=BN；&如图，已知ABC的边长为1的正三角形，ABDC是顶角ZBDC=1

35、20。的等腰三角形，以D为顶点作一个60。角，角的两边分别交AB于M,交AC于N,连MN形成AAMN,求证：AAMN的周长等于2。9.已知在AABC中,ZB=2ZC，AD平分ZA交BC于D点，求证：AC=AB+BD。10.如图，AABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在AABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.五边形AB

36、CDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ZABC+ZAED=180，求证:AD平分ZCDE.第八讲三角形全等的条件三、四(ASA,AAS)定义：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为“角边角”或简记为(A.S.A.)。如果两个三角形的两个角及其其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“角角边”或简记为(A.A.S)问题：一块三角形玻璃碎成如图形状4块，配一块与原来一样的三角形玻璃1)要不要4块都带去？2)带哪一块呢？带D块，带去了三角形的几个元素？另外几快呢?例1.如图，ZBDA=ZCEA,AE=AD.求证:AB=AC.例2.如图，ZACB=90

37、。，AC=BC,D为AB上一点,AE丄CD,BF丄CD,交CD延长线于F点.求证：BF=CE.例3.如图在厶ABC中，ZACB=90,AC=BC，AE是BC的中线，过点C作CF丄AE于F,过B作BD丄CB交CF的延长线于点Do(1)求证：AE=CD,(2)若BD=5cm,求AC的长。例4.如图：在ABC中，ZACB=90,AC=BC,D是AB上一点，AE丄GD于E,BF丄CD交CD的延长线于F。求证：AE=EF+BFo例5.如图，已知在ABC中，AD是角平分线，CF丄AD交AB于F,求证：AC=AE=AFo例6.如图，ABC中，ZBAC=90o,AB=AC,BD是ZABC的平分线，BD的延长线

38、垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证：BD=2CE.课堂练习】已知：如图,AC=CD,ZB=ZE=90,AC丄CD,则不正确的结论是（C.ABCACEDD.Z1=Z2A.ZA与ZD互为余角B.ZA=Z2在ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是（）D.9AB13A.1AB9B.3AB13C.5ABAC,AD是ZBAC的平分线.P是AD上任意一点.例7.如图，ZA+ZD=1800,BE平分ZABC，CE平分ZBCD，点E在AD上.探讨线段AB、例8.如图，已知在厶ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF,求证：AC=BE.【

39、课堂练习】1如图所示，在ABC中，P为BC上一点，PR丄AB于R，PS丄AC于S，AQ=PQ,PR=PS，则下列三个结论中正确的是（）AS=AR:PQAR；乂BRP9ACSPA.和B.和C.和D.全对如图，AB=AC,BE丄AC于E,CF丄AB于F,BE、CF交于点D,则ABEAACF；乂BDFACDE；点TOC o 1-5 h zD在ZBAC的平分线上，以上结论正确的是（）A.B.C.D.在ABC和厶ABC中，AB=AB;BC=BC;AC=AC:ZA=ZA:ZB=ZB;ZC=ZC;则下列哪组条件不保证ABCABC.（）A.B.C.D.4如图，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的

40、位置：在ZB的平分线上；在ZDAC的平分线上；在ZEAC的平分线上；恰是ZB，ZDAC，ZEAC三个角的平分线的交点。上述结论中，正确结论的个数有（）A.1个D.4个ZAOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为如图，ABCD,O是ZBAC、ZACD的平分线的交点，0E丄AC于E,且0E=2,则AB与CD间的距离等于已知ABC的周长是15,ZABC和ZACB的平分线交于点0,过点0作0D丄BC与点D,且OD=2,求4ABC的面积。已知BD=CD,BF丄AC,CE丄AB。求证：D在ZBAC的平分线上.6如图，在ABC中，AD交BC于点D,点E是BC中点,BG=CF，求证

41、：AD为ZBAC的角平分线.7.已知ABC,ZB=ZC,D,E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G,求证GD=GE.&如图，A，B两点位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量A、B间距离，但是绳不够长.你能帮她设计测量方案吗?如不能，说明困难在哪里；如果能，写出方案，并说明其中的道理.【课后练习】如图，在RtAABC中，ZACB=90,CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是ZACB的平分线。则Z1与Z2的关系是（）A.Z1Z2D.不能确定2尺规作图作ZAOB的平分线方法如下：以0为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D,再分别以点C、TOC o 1-5 h

42、 zD为圆心，以大于1CD长为半径画弧，两弧交于点P,作射线0P由作法得AOCPODP的根据是（）2A.SASB.ASAC.AASD.SSS如图，在AABC中，AC=BC,ZACB=90.AD平分ZBAC,BE丄AD交AC的延长线于F,E为垂足.则结论:AD=BF；CF=CD:AC+CD=AB:BE=CF；BF=2BE,其中正确结论的个数是（）A1B.2C3D4如图在RtAABC中，ZC=90,BD是ZABC的平分线，交于点D,若CD=n,AB=m，则ABD的面积是已知：如图，ZB=ZDEF,AB=DE,要说明ABCADEF,若以“ASA”为依据，还缺条件若以“AAS”为依据，还缺条件若以“S

43、AS”为依据，还缺条件.6如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点0,AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q,连结PQ以下五个结论：AD=BE，PQAE；把你认为正确的序号都填上)。AP=BQ:DE=DP；ZA0B=60.恒成立的结论有-7.如图，0M平分ZPOQ,MAI0P,MB丄0Q,A、B为垂足，AB交0M于点N.求证:&已知ZABC=3ZC,Z1=Z2,BE丄AE，求证：AC-AB=2BE.已知，如图，在四边形ABCD中，BCAB,AD=DC,BD平分ZABC.求证:ZBAD+ZBCD=180.如图：在厶ABC中，

44、ZA=60,ZB,ZC的平分线BE,CF相交于点0。求证：0E=0F。11.已知AM为AABC的中线，ZAMB,ZAMC的平分线分别交AB于E、交AC于F.【能力提高】如图，AABC中，ZC=90,AC周长等于()BC,AD是ZBAC的平分线，DE丄AB于E,若AC=10cm,则厶DBE的D9cm如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有()C.3处D.4处1处B.2处如图，已知AE平分ZBAC,BE上AE于E,EDAC,ZBAE=36Q那么ZBED=已知在RtAABC中，ZC=90,AC=BC,AD为ZBAC的平分线，DE丄AB,垂

45、足为C.求证：ADBE的周长等于AB.如图，在ABC中,D,E分别为AB,AC边中点，连接CD、BE并分别延长至F、G,使BE=EG,CD=DF,连接FA,GA.求证：AF=AG.如图：在ABC中，ZC=90,AC=BC,D是AC上一点，AE丄BD交BD的延长线于E,且AE=1BD,2DF丄AB于F。求证：CD=DF。7如图，在四边形ABCD中，AC平分ZBAD,过C作CE丄AB于E,并且AE=1(AB+AD),2求ZABC+ZADC的度数。&如图：AD是厶ABC中ZBAC的平分线，过AD的中点E作EF丄AD交BC的延长线于F,连结AF。求证：ZB二ZCAF。9.已知ABC中，AB=AC,BD

46、为AB的延长线,10.如图，已知在厶ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F,AF与EF相等吗？为什么？已知,P是ZBAC平分线AD上一点，ACAB，求证:PC-PBAC-AB.三角形复习训练题一、填空题1、锐角三角形的三条高都在，钝角三角形有条高在三角形外，直角三角形有两条TOC o 1-5 h z高恰是它的。2、若等腰三角形的两边长分别为3cm和8cm，则它的周长是。3、要使六边形木架不变形，至少要再钉上根木条。14、在厶ABC中，若ZA=ZC=3ZB，则ZA=_，ZB=，这个三角形是。5、三角形有两条边的长度分别是5和7,则第三条边a的取值范围是。

47、6、AABC中，ZA=50，ZB=60。，则ZC=。7、将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和。8、等腰三角形的底边长为10cm,腰上的中线将这个三角形分成两部分，这两部分的周长之差为2cm,则这个等腰三角形的腰长为.9、古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为.10、在ABC中，如果ZBZA-ZC=50，ZB=11、一个多边形的内角和是1980，则它的边数是，共有条对角线，它的外角和是。12、观察下图，我们可以发现：图中有1个正方形；图中有5个正方形，图中共有14个正方形，按照这种规律继续下去，

48、图中共有个正方形。二、选择题1、小芳画一个有两边长分别为5和6的等腰三角形，则它的周长是（）A、16B、17C、11D、16或172、如图，已知直线ABCD，当点E直线AB与CD之间时，有ZBED=ZABE+ZCDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是（）AZBED=ZABE+ZCDE或ZBED=ZABE乙CDEBZBED=ZABEZCDECZBED=ZCDEZABE或ZBED=ZABEZCDEDZBED=ZCDEZABE3、以长为3cm，5cm，7cm，10cm的四根木棍中的三根木棍为边，可以构成三角形的个数是()A1个B2个C3个D4个4、已知一正多边形的每一个内角都等

49、于150，则这个多边形是正()(A)十二边形(B)十边形(C)八边形(D)六边形5、边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是()A.正方形与正三角形B.正五边形与正三角形C.正六边形与正三角形D.正八边形与正方形6、如图，在锐角厶ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且相交于一点P,若ZA=50。，则ZBPC的度数是()A150B130C120D100A、500B、1000C、1800D、2000)C7、中华人民共和国国旗上的五角星，它的五个锐角的度数和是(8、在AABC中，三个内角满足ZBZA=ZCZB,则ZB等于()A、70B、60C、90D、1209、在锐角三角形中，

50、最大内角的取值范围是()A.0厘9010、在AABC中，60工180C.60工90d.600厘90ZB,ZC的平分线相交于点P,设ZA二x。,用x的代数式表示ZBPC的度数，正确的是()11(A)90+x2(B)90-x2(C)90+2x(D)90+x三、解答题1、在厶ABC中，1ZA=(ZBZC)、ZBZC=20，求ZA、ZB、ZC的度数。22、探究规律：如图，已知直线mn，A、B为直线n上的两点，C、P为直线m上的两点。请写出图中面积相等的各对三角形：。(2)如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论P点移动到任何位置总有:与厶ABC的面积相等；理由是：如图，在ABC中，AD丄BC

51、,CE是厶ABC的角平分线，AD、CE交于F点.当ZBAC=80,ZB=40。时，求ZACB、ZAEC、ZAFE的度数.如图，在直角三角形ABC中，ZACB=90ABC的面积；(2)CD的长；CD是AB边上的高，AB=13cm,BC=12cm,AC=5cm，求：（1）作出ABC的边AC上的中线BE，并求出厶ABE的面积；作出BCD的边BC边上的高DF，当BD=11cm时，试求出DF的长。在厶ABC中，已知ZABC=66，ZACB=54，BE是AC上的高,CF是AB上的高，H是BE禾BCF的交点，求ZABE、ZACF和ZBHC的度数.全等三角形复习一、选择题：如图，OA=OC,OB=OD，则图中

52、全等三角形共有()A.2对B.3对C.4对D.5对下列各图中，不一定全等的是()有一个角是45腰长相等的两个等腰三角形周长相等的两个等边三角形有一个角是100，腰长相等的两个等腰三角形斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形。TOC o 1-5 h zABC中，ZC=90,AD为角平分线，BC=32,BD:DC=9:7,则点D到AB的距离为（）A.18cmB.16cmC.14cmD.12cmZMON的边OM上有两点A、C,ON上有两点B、D,且OA=OB,OC=OD,AD,BC交于E,则OADAOBC,ACEABDE,连OE.则OE平分ZAOB，以上结论（）A.只有一个正确B.只有一个不正确C.都正确D.都不正确ABC中，ZC=90,AC=BC,AD为角平分线，DE丄AB于E,且AB=6cm，则DEB的周长为（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm线段OD=DC,A在OC上,B在OD上，且OA=OB,OC=OD,ZCOD=60,ZC=25,AC,BC交于E,则ZBED的度数是（）A.60B.70C.80D.507如图，三条公路两两交于点A、B、C,现要修一个货物中转站，要求到三条公路距离相等，则可供选择的A.处B.二处C.三处D.四处&ABC中，AB大于AC,P是角平