人口统计模型【数学建模】

1、 城市人口统计模型人口统计模型(1):某城市1990年的人口密度近似为P(r)二。P(r)表示距市中心r公r2+20里区域内的人口数，单位为每平方公里10万人试求距市中心2km区域内的人口数；人口统计模型(2)：若人口密度近似为P(r)二1.2e-o.2r(单位不变)，试求距市中心2km区域内的人口数。设P(t)表示t时刻某城市的人口数假设人口变化动力学受下列两条规则的影响：t时刻净增人口以每年r(t)的比率增加；在一段时期内，比如说从T到T，由于死亡或迁移，T时刻的人口数P(T)的1211一部分在T时刻仍然存在，我们用h(T-T)P(T)来表示，0h(T-T)1，221121T-T是这段时间

2、的长度试建立在任意时刻t人口规模的模型如果21r(t)二5x104+1051，h(t)二e-4o，2000年时该城市的人口数为107，试预测2010年时该城市的人口数.根据两种模型的不同，分别取距离微元和时间微元，建立人口统计的积分模型，然后用定积分的换元法和分部积分法求解.第一步：(I)假设我们从城市中心画一条放射线，把这条线上从0到2之间分成n个小区间，每个小区间的长度为Ar.每个小区间确定了一个环，如下图所示.r=2n让我们估算每个环内的人口数并把它们相加，就得到了总人口数第j个环的面积为：nr2nr2=n(rAr)2jj-1j=nr2nr22rAr+(Ar)2jljj=2nrArn(A

3、r)2j在第j个环内，人口密度可看成数P(r)，所以此环内的人口数近似为:jP(r)-2nrArjj第二步：距市中心2km区域内的人口数近似为:P(r)-2nrArjjj=1所以人口数:N=j2P(r)2nrdr0第三步(1)当P(r)=E时N=j22n-0rdrr2+20=4nj202rr2+20=4nln(r2+20)I0=4nln202.291距市中心2km区域内的人口数大约为229100.TOC o 1-5 h z(2)当P(r)=1.2e-0.2r时,N=j22nx1.2e-0-2r-rdr=2.4nj2re-0-2rdr00e0-2r小”re0-2r=2.4n0.22一2.4nj2

4、dr00-2=24ne-0-4+12ne0-2r(0.2=24ne-0-4+(60ne-0-4+60n)=11.602距市中心2km区域内的人口数大约为1160200.第四步：(II)数学建模：我们把0,T的时间区间分成n等分，每个小区间的长度为At.初始时刻的人数为P(0)，到时刻T将只剩下h(T)P(0)当At很小时，从时刻t到j-it，净增人口的比率近似为常数r(t).这段时期净增的人口数近似为r(t)At时刻jjjt至Ut内净增加的人口到时刻T只剩下h(T-1)r(t)At所以在T时刻的总人口数j-1jjj近似为：h(T)P(0)+h(T-1)r(t)At+h(T-1)r(t)At+1

5、122沁h(T)P(0)+h(T-1)r(t)At.iii=1当n无限增大时，P(T)=h(T)P(0)+fTh(T-1)r(t)dt(1)0第五步:将r(t)=5x104+1051,h(t)=e-t/40及T=10，P(0)=107代入(1)式得P(10)=h(10)P(0)+f10h(10-1)r(t)dt0=107e-1/4+f10e-(10-t)/40(5x104+105t)dt0=107e-1/4+e-1/45x104f10e-t/4dt+105f10te4dt-00-=10e-1/4+2x1G6e-1/4e-t/4010+4x106e-1/4te-t/4010-16x107e-1/4e-1/4010=2xl06(le-1/4)+107(17xe-1/4-12)u1.28x1071990年时该城市大约有人口1280万.4人口统计模型(I)中两个人口密度P(r)=-和P(r)=1.2e-0.2r有一个共同r2+20特点P(r)0，即随着r的增大，P