《高等数学上》教学大纲

1、高等数学上教学大纲一、课程基本情况课程编号：F111700001080总 学 时：80 讲课学时：80 实验学时：0总 学分：5课程类别：公共基础考核方式：考试适用对象：机械设计制造及其自动化专业先修课程：参考教材：同济大学数学系，高等数学（上）第七版.北京：高等教育出版社，2013年二、课程设置目标1. 使学生获得一元函数微积分，常微分方程的基本知识，基本理论和基本运算技能。支撑毕业要求1-1。2. 逐步培养学生自学能力，比较熟练的运算能力，抽象思维能力，提高分析问题和解决问题的实际能力。支撑毕业要求2-1。三、课程目标对毕业要求的支撑毕业要求课程目标1-1 掌握数学、物理等自然科学知识、机

2、械制图，能用于工矿机械设计与制造过程中复杂机械工程问题的表述。课程目标12-1 能够将数学、自然科学基本原理运用于识别和判断复杂机械工程问题中的关键环节。课程目标2四、达成课程目标的途径和措施课程目标达成途径及措施课程目标1. 使学生获得一元函数微积分，常微分方程的基本知识，基本理论和基本运算技能。通过教师课堂讲解等达成课程目标。课程目标2. 逐步培养学生自学能力，比较熟练的运算能力，抽象思维能力，提高分析问题和解决问题的实际能力。通过课前预习、课堂讲授、完成学习任务、课下练习、单元总结等达成课程目标。五、教学内容、教学方法和手段、学时分配知识单元一：函数与极限 支撑课程目标1、2（建议22学

3、时）教与学要求：正确的理解函数的概念，理解分段函数，参数式方程确定的函数；掌握函数的单调性、周期性、奇偶性和有界性；了解反函数、复合函数的概念；熟练掌握基本初等函数的图形；掌握初等函数的概念；理解数列极限的定义；了解数列极限的几何意义；了解利用定义证明数列极限；掌握收敛数列的性质；理解函数极限的定义；了解利用定义证明函数极限；理解函数左、右极限概念；会求函数的水平渐近线；掌握函数极限的性质；会用初等方法求函数极限；了解无穷小，无穷大的概念；掌握无穷小与极限的关系；掌握无穷小与无穷大的关系；了解无穷大与无界的区别；会求函数的铅直渐近线；掌握无穷小的运算性质；能正确应用极限四则运算法则；理解复合函

4、数的极限运算法则（代换求极限）；了解极限存在的两个准则；掌握两个重要极限的本质；熟练利用两个重要极限求极限；掌握无穷小的比较；掌握常用等价无穷小及其推广；熟练利用等价无穷小求极限；会求同阶无穷小的阶；掌握函数点连续几种等价定义；掌握左右连续；了解函数在区间连续；熟练掌握间断点的分类与判定；掌握连续函数的运算性质；掌握初等函数的连续性；了解函数的斜渐近线；掌握闭区间上连续函数的性质；会用零点定理判定方程根的存在性。教与学方法：讲授、案例分析知识点1：函数 主要内容：函数、函数的几何特性、反函数、复合函数、函数的运算、初等函数重点：函数的几何特性、复合函数、初等函数难点：反函数、复合函数知识点2：

5、数列与函数极限概念、性质 主要内容：数列极限的定义、数列极限的几何意义、收敛数列的性质、函数极限的定义、函数极限的性质重点：函数极限的定义、收敛数列的性质、函数极限的性质难点：数列极限的定义、函数极限的定义知识点3：极限运算主要内容：无穷小与无穷大的定义、无穷小与无穷大的关系、无穷小的运算性质、函数和差积商的极限运算法则、复合函数的极限运算法则、夹逼准则、单调有界准则、两个重要极限、无穷小的比较、等价无穷小求极限重点：无穷小的运算性质、函数和差积商的极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、等价无穷小求极限难点：复合函数的极限运算法则、夹逼准则、单调有界准则知识点4：函数连续性主要内容：函数的

6、连续性、函数的间断点、连续函数和、差、积、商的连续性、反函数与复合函数的连续性、定理3、初等函数的连续性、有界性与最值定理、零点定理与介值定理重点：函数的连续性、函数的间断点、定理3、初等函数的连续性、有界性与最值定理、零点定理与介值定理难点：函数的间断点、零点定理与介值定理知识单元二：一元函数微分学支撑课程目标1、2（建议24学时）教与学要求：理解函数导数的概念，把握其本质；理解单侧导数；会用导数定义求导数；掌握函数导数的几何意义；会用导数求函数增量比值的极限；熟练掌握导数的运算法则；熟练掌握复合函数的求导链式法则；牢记基本初等函数的导数公式；熟练计算初等函数的导数；掌握常见初等函数的高阶导

7、数公式；了解高阶导数的运算法则；会求隐函数的一阶导数；会求参数方程的一阶导数；掌握对数求导法；会求幂指函数的导数；了解相关变化率；理解微分的概念；理解函数可微与可导的关系；理解微分的几何意义；掌握微分运算法则，熟练利用微分运算法则求微分；理解罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理的条件和结论；了解利用罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理做简单等式与不等式证明；了解罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理的关系；理解泰勒中值定理；熟记常见函数的麦克劳林公式；了解利用带佩亚诺余项的麦克劳林公式求极限；理解洛必达法则的条件和结论；正确利用洛必达法则求具体函数，抽象函数的极限；熟练计算未定式极限；会利用导数判定函数的单

8、调性；会求函数的单调区间；会利用函数的单调性做不等式证明；理解函数极值与最值的区别；掌握函数取得极值的必要条件；掌握函数取得极值的充分条件；会求函数的极值；会求闭区间上特定函数的最值；会求简单实际问题的最值；会利用最值做不等式证明；了解曲线凹凸性的定义；会利用导数判定曲线的凹凸性；会求曲线的拐点；会求曲线的凹凸区间；会利用极限、导数刻画简单函数的图形；了解弧微分；了解曲率的定义；会求曲率；了解曲率圆、曲率半径。教与学方法：讲授、案例分析知识点1：导数主要内容：导数的定义、导数的几何意义、函数可导性与连续性的关系重点：导数的定义、导数的几何意义、函数可导性与连续性的关系难点：导数的定义知识点2：

9、函数的求导法则主要内容：函数的和、差、积、商的求导法则、反函数的求导法则、复合函数的求导链式法则、基本初等函数的导数公式、高阶导数的定义、高阶导数的运算法则、隐函数的导数；由参数方程所确定函数的导数、相关变化率重点：函数的和、差、积、商的求导法则、复合函数的求导链式法则、基本初等函数的导数公式、隐函数的导数；由参数方程所确定函数的导数难点：反函数的求导法则、复合函数的求导链式法则、高阶导数的运算法则知识点3：微分 主要内容：微分的定义、微分的几何意义、基本初等函数的微分公式、微分运算法则重点：微分的定义、微分的几何意义、基本初等函数的微分公式、微分运算法则难点：微分的定义、微分运算法则知识点4

10、：微分中值定理主要内容：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理、常见函数的麦克劳林公式重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理、常见函数的麦克劳林公式难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理知识点5：导数的应用 主要内容：洛必达法则计算，型未定式、洛必达法则计算，型未定式、函数单调性的判定法、曲线的凹凸性与拐点、函数的极值及其求法、最大值最小值问题、利用导数刻画函数曲线、弧微分、曲率及其计算公式、曲率圆与曲率半径重点：洛必达法则计算，型未定式、洛必达法则计算，型未定式、函数单调性的判定法、曲线的凹凸性与拐点、函数的极值及其求法、最大值最小值问题难点：洛必达法则计算，

11、型未定式、洛必达法则计算，型未定式、最大值最小值问题知识单元三：一元函数积分学支撑课程目标1、2（建议28学时）教与学要求：了解原函数的定义与性质；掌握不定积分的定义；理解不定积分运算与求导运算的关系；牢记基本积分表；掌握不定积分的性质；理解第一类换元法的本质(凑微分)；熟练利用凑微分法；熟练利用凑微分法；理解第二类换元法的本质；掌握常见第二类换元公式（三角代换等）；牢记扩充的积分基本公式；理解分部积分计算公式；熟练掌握三类特殊形式函数的分部积分，理解它们的本质；掌握有理函数的部分分式展开；了解万能代换求三角有理函数不定积分；掌握根式代换计算不定积分；理解定积分解决问题的思想；理解定积分的定义

12、；了解定积分存在的必要条件、充分条件；了解利用定积分定义求特定和式极限；理解定积分的几何意义，会利用几何意义求特殊定积分；了解定积分的近似计算；掌握定积分的性质；了解积分上限函数的几何解释；掌握积分上限函数可导的条件及导数计算公式；熟练掌握复合积分上限函数的导数；掌握微积分基本公式；掌握定积分换元法与不定积分换元法的区别；了解涉及积分限的换元公式（反号代换、翻折代换等）；掌握奇偶函数、周期函数的积分计算公式（例5、例7）；了解例6；掌握定积分的分部积分法；了解反常积分的概念；会利用原函数计算反常积分的值；了解元素法解决总量问题的思路；掌握元素法的步骤；掌握不同坐标系下平面图形面积的计算；掌握旋

13、转体的体积计算；了解平行截面面积为已知的立体的体积计算；掌握不同坐标系下平面曲线弧长的计算；了解定积分求变力沿直线做功；掌握定积分求非均匀直棒质量；了解定积分求侧压力；了解定积分求非均匀直棒对质点的引力。教与学方法：讲授、案例分析知识点1：不定积分的概念与性质主要内容：原函数与不定积分的概念、基本积分表、不定积分的性质重点：基本积分表知识点2：不定积分的计算主要内容：第一类换元法、第二类换元法、分部积分法、有理函数的积分、可化为有理函数的积分重点：第一类换元法、第二类换元法、分部积分法、有理函数的积分难点：第一类换元法、第二类换元法知识点3：定积分的概念与性质主要内容：定积分典型问题、定积分定

14、义、定积分的性质重点：定积分典型问题、定积分的性质 难点：定积分典型问题、知识点4：定积分的计算 主要内容：积分上限函数及其导数、牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元法、定积分的分部积分法重点：积分上限函数及其导数、牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元法、定积分的分部积分法难点：积分上限函数及其导数、定积分的换元法知识点5：反常积分主要内容：无穷限的反常积分、无界函数的反常积分重点：无穷限的反常积分知识点6：定积分的应用主要内容：定积分的元素法、平面图形的面积、体积、平面曲线的弧长、变力沿直线做功、非均匀直棒的质量、水压力、引力重点：平面图形的面积、体积、平面曲线的弧长、难点：变力沿直线做功、水压力、

15、引力知识单元四：常微分方程支撑课程目标1、2（建议14学时）教与学要求：了解常微分方程的定义；掌握常微分方程的阶；掌握常微分方程的解、通解、特解；掌握微分方程初值问题；掌握可分离变量的微分方程的特征；掌握可分离变量的微分方程的求解方法；掌握齐次方程的特征；掌握齐次方程的求解方法；了解可化为齐次的方程的求解方法；了解变量代换求解常微分方程的思想；掌握常数变易法求解一阶线性非齐次微分方程；牢记一阶线性非齐次微分方程的通解的计算公式；掌握变量代换求解三类特殊的二阶微分方程；熟练掌握二阶齐次线性微分方程的解的性质；熟练掌握二阶齐次线性方程的通解结构；了解高阶齐次线性方程的通解结构；熟练掌握二阶非齐次线

16、性微分方程的解的性质；熟练掌握二阶非齐次线性方程的通解结构；了解高阶非齐次线性方程的通解结构；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程；掌握根据特征根构造二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解；了解高阶常系数齐次线性微分方程的特征方程；了解根据特征根构造n阶常系数齐次线性微分方程的n个线性无关解；掌握第一型非齐次线性微分方程的特解形式；掌握第二型非齐次线性方程的特解形式；掌握比较系数法求特解。教与学方法：讲授知识点1：常微分方程的基本概念主要内容：常微分方程的基本概念重点：微分方程的阶、通解知识点2：一阶常微分方程求解主要内容：可分离变量的微分方程、齐次方程、可化为齐次的方程、线性方程、伯努利方程重点：可分离变量的微分方程、齐次方程、线性方程难点：线性方程、伯努利方程知识点3：高阶常微分方程求解主要内容：可降阶的高阶微分方程、高阶线性齐次微分方程、高阶线性非齐次微分方程、常系数齐次线性微分方程