微积分无穷级数

1、第八章 无穷级数 8.1 无穷级数的概念和基本性质 8.2 8.3 任意项级数,绝对收敛 8.4 幂级数 1一、无穷级数的基本概念8.1 无穷级数的概念和基本性质 给定一个数列 u1, u2, u3, , un, , 则由这数列构成的表达式 u1u2u3 un 其中第n项un叫做级数的一般项. 叫做无穷级数,简称级数.2称为级数, 其中第n项un叫做级数的一般项. 表达式级数举例: 级数的展开形式备注一般项简写形式调和级数 等比级数aqn-1几何级数p级数 3级数的部分和: 级数的前n项的和 级数敛散性定义: 4余项: rnssnun1un2 例1 证明级数 123 n 是发散的. 证 此级数

2、的部分和为 5如果q1, 则部分和 解:(3)当q=-1时, 因为sn当n为奇数时等于a ；当n为偶数例2 时等于零。 (1)(2)6解:因为提示: 例3 因此，当时，几何级数发散.7级数收敛的必要条件: 证: 注意: (1)级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件, 不能因为一般项趋于零就断定级数收敛. （2）判断级数敛散时应首先验证是否满足收敛的必要条件. 推论:如果则级数必发散. 定理1 如果收敛,则8证:但另一方面, 解:因为所以级数发散。例4 判断级数的敛散性。例5 证明调和级数nn11=是发散的.9无穷级数的基本性质 性质110无穷级数的基本性质sn、sn、tn, 则 性质1 性

3、质211无穷级数的基本性质 性质3 在一个级数的前面加上、去掉或改变有限项, 级数的敛散性不变. 性质1 性质212 无穷级数的基本性质 性质4 如果级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变. 应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数(11)+(11) + 收敛, 但级数1-11-1 却是发散的. 性质1 性质2 性质3 在一个级数的前面加上、去掉或改变有限项, 级数的敛散性不变. 13 无穷级数的基本性质推论 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 性质1 性质2 性质4 如果级数收敛, 则对这级数

4、的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变. 性质3 在一个级数的前面加上、去掉或改变有限项, 级数的敛散性不变. 14正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有上界. 一、正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数. 这是因为正项级数的部分和数列sn是单调增加的, 而单调有界数列是有极限的. 定理1(正项级数收敛的充要条件) 8.2 正项级数二、正项级数敛散性的判别法15定理2(比较判别法) 推论: 16例1 判断下列级数的敛散性.解:(1) 因为(2) 而且收敛.所以，由比较判别法可知，级数收敛.而且发散.所以，由比较判别法可知，级数发散.17 解 定理2(比较判别法) 设un和vn

5、都是正项级数, 且unkvn(k0, nN). 若级数vn收敛, 则级数un收敛; 若级数un发散, 则级数vn发散. 例2讨论p级数)0(11=pnpn的收敛性.所以 当18p级数)0(11=pnpn的收敛性：即当p1时收敛；当p1时发散.故该级数收敛.例如是的级数，19定理3. (比较法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 A = 0 (3) 当 A = 设两正项级数满足(1) 当 0 A 时,20的敛散性. 例4. 判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知21 (2)当r 1(或)时，级数发散 定理4(比值判别法) 用法：常判别含有因子或、的级数敛散性。设级数为正项级数,则

6、如果(1)当时,级数收敛;(3)当r1时，比值判别法不能用.22 解:所以 根据比值判别法可知所给级数收敛 例3 证明级数是收敛的 23所以 根据比值判别法可知所给级数收敛 解 所以当时，级数收敛； 当时，级数发散. 解 例4 判断级数的敛散性.当时，级数成为它发散. 例5 判断级数的敛散性.24 解:因为 例6 判断级数的敛散性. 所以 而级数 满足 因此级数 收敛,从而级数收敛25 (2)当r 1(或r)时，级数发散 定理5(根值判别法) 用法：常判别含有因子或的级数敛散性。设级数为正项级数,则如果(1)当时,级数收敛;(3)当r1时，根值判别法不能用.26 解:因为 例7 判断级数的敛散

7、性. 所以 (1)当时,级数收敛;(2)当时,级数发散;(3)当时,有所以当时,级数发散.278.3 任意项级数,绝对收敛一、交错级数的定义 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 定理1(莱布尼兹定理) (1)unun1(n1 2 3 ) 则级数收敛 且其和su1 其余项rn的绝对值|rn|un1 28这是一个交错级数. 解:由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和su11,则级数收敛, 且其和su1, 其余项rn的绝对值|rn|un1. 定理1(莱布尼兹定理) 因为此级数满足 例129二、绝对收敛与条件收敛 例如: 若级数=1|nnu收敛,则称级数=1nnu绝对收敛;收敛,而级数=

8、1|nnu发散,则称级=1nnu条件收敛.若级数=1nnu30三、绝对收敛与收敛的关系 定理2 应注意的问题 =1nnu=1nnu如果级数绝对收敛,则级数必定收敛. 例2 解 31定理3 解 例3 判别级数的收敛性.所以级数绝对收敛。 对任意项级数如果则 （1）当时，级数绝对收敛；（2）当时，级数发散.32 解 所以,当时，级数绝对收敛； 当时，级数发散. 例4 判断级数的敛散性.当时，级数成为它收敛. 当时，级数成为它发散. 33 8.4 幂级数 形如 a0a1xa2x2 anxn 的级数称为幂级数, 其中常数ai(i=1,2, )叫做幂级数的系数. 幂级数1xx2x3 xn , 幂级数举例

9、: 说明: 幂级数的一般形式是 a0a1(x-x0)a2(x-x0)2 an(x-x0)n . 这种形式经变换t=x-x0可化为上述定义形式.34 幂级数 1xx2x3 xn 是公比为x的几何级数. 因此它的收敛域为(-1, 1), 它在|x|1时收敛, 在|x|1时发散. 在收敛域内有 幂级数举例: 35 如果幂级数anxn当xx0(x00)时收敛, 则适合不等式|x|x0|的一切x使幂级数anxn发散. 注:|x|x0|x|x0|定理1 anxn是幂级数的简记形式.36 如果幂级数anxn不是仅在点x0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R存在, 使得 当|x|

10、R时, 幂级数发散; 当xR与xR时, 幂级数可能收敛也可能发散. 收敛半径与收敛区间 推论 正数R通常叫做幂级数anxn的收敛半径. 从R到 R的区间叫做幂级数anxn的收敛区间 注: 若幂级数只在x0收敛, 则规定收敛半径R0; 若幂级数在(, )内收敛, 则规定收敛半径R. 37定理2(收敛半径的求法) 解:因为 38解: 因为 所以收敛半径为R, 从而收敛域为(, ).因此, 收敛域为(1, 1. 39解: 因为 所以收敛半径为R0, 即级数仅在x0处收敛.40 注:此级数缺少奇次幂的项, 前述求收敛半径的方法不能直接应用.解: 这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径. 因为所以当

11、4|x|21即|x|1即|x|时级数发散,41解: 所以收敛半径R2. 所以原级数的收敛域为1, 3). 即2x12, 或1x3, 因此收敛域为2t2, 42幂级数的性质: 设幂级数anxn及bnxn分别在区间(R1, R1)及(R2, R2)内收敛, 则在(R1, R1)与(R2, R2)中较小的区间内有减法: 加法: =(an-bn)xn. =(an+bn)xn, anxn-bnxn anxn+bnxn 43 性质1 幂级数anxn的和函数s(x)在收敛域I上连续 幂级数的和函数的性质 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 性质2 幂级数anxn的和函数s(x)在收敛域I上可积 并且有逐项积分公式 性质3 幂级数anxn的和函数s(x)在收敛区间(R R)内可导 并且有逐项求导公式逐项求导后