例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换

1、例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换计算一个电路的电阻，通常从欧姆定律出发，分析电路的串并联关系。实际电路中，电阻的联接千变万化，我们需要运用各种方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。1、等势节点的断接法在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。这种方法的关键在于找到等势点，然后分析元件间的串并联关系。常用于由等值电阻组成的结构对称的电路。【例题1】在

2、图8-4甲所示的电路中，R二R二R二R二R二R,试求A、B两端的12345等效电阻R。AB模型分析：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。将图8-4甲图中的A、D缩为一点A后，成为图8-4乙图。圉6-4答案：R=3RoAB8【例题2】在图8-5甲所示的电路中，R1=10,R2=4Q,R3=3Q,R4=120,R二100，试求A、B两端的等效电阻Ro5AB模型分析：这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A、B两端接入电源，并假设耳不存在，C、D两点的电势相等。5因此，将C、D缩为一点C后，电路等效为图8-5乙图6-5对于图8-5的乙图

3、，求R是非常容易的。事实上，只要满足R二R3的关系，该桥式电ABRR24路平衡。答案：R=15QoAB4【例题3】在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为R，试求A、B两点之间的等效电阻RoABA【例题4】用导线连接成如图所示的框架,ABCD是正四面体，每段导线的电阻都是1o求AB间的总电阻。2、电流分布法设有电流I从A点流入、B点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电电流与总电流I的关系，然后经任RUAB路径计算A、B两点间的电压ab,再由ABA压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路即可求出等效电阻。【例题1】7根电阻均为r的电阻

4、丝接成如图所示的网络，试R求出A、B两点之间的等效电阻ABo【例题2】10根电阻均为r的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A、B两点之间的等效电阻RAB。【例题3】8根电阻均为r的电阻丝接成如图所示的网络，C、D之间是两根电阻丝并联R而成，试求出A、B两点之间的等效电阻ab。B电流叠加原理：直流电路中，任何一条支路的电流都可以看成是由电路中各个电源分别作用时，在此支路中产生的电流的代数和。所谓电路中只有一个电源单独作用，就是假设将其余电源均除去，但是它们的内阻仍应计及。【例题4】“田”字形电阻网络如图，每小段电阻为R,求A、3、Y变换法在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的Y型或，如图所示，有时把Y

5、型联接代换成等效的型联接，或把型联接代换成等效的Y型联接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等效代换要求Y型联接三个端纽的电压U、U、UI、I、I122331及流过的电流123与型联接的三个端纽相同。将Y型网络变换到型电路中的变换式:RRR+RR+RR=12233112R3+RRRRR+RR=12233131R2RRR+RR+RR=12233123R1将型电路变换到Y型电路的变换式:RRTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark20 R=埠31R+R+RR2R+R+R122331RR312312R2R3311223R=3R+R+R122331以上两套公式的记忆方法T

6、Y：分母为三个电阻的和，分子为三个待求电阻相邻两电阻之积。YA:分子为电阻两两相乘再相加，分母为待求电阻对面的电阻。当Y形联接的三个电阻相等时，与之等效的形联接的三个电阻相等，且等于原来的三倍；同样，当联接的三个电阻相等时，与之等效的Y形联接的三个电阻相等，且等于原来的1/3。2RR【例题1】对不平衡的桥式电路，求等效电阻RABo提示：法一：“ATY”变换；法二：基尔霍夫定律【例题2】试求如图所示电路中的电流Io（分别应用两种变换方式计算）【课堂练习】分别求下图中AB、CD间等效电阻（答案：RpQ4Q)4、无限网络IIi,-若x=訐+“+.胪+“+.,q0)无影响，即剩余部分仍为x，这样，就可

7、以将原式等效变换为x=fa+x在求X值时，注意到X是由无限多个a组成，所以去掉左边第一个、a+对X值毫=0。所以这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路，那就是：无穷大和有限数的和仍为无穷大。一维无限网络【例题1】在图示无限网络中，每个电阻的阻值均为R,试求A、B两点间的电阻R。AB解法一：在此模型中，我们可以将“并联一个R再串联一个R”作为电路的一级，总电路是这样无穷级的叠加。在图8-11乙图中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即RR+R二RABAB解这个方程就得出了R的值。AB答案：Rab=呼R。解法二：可以，在A端注入电流I后，设第一级的并联电阻分流为-，

8、则结合基尔霍夫第一定律和应有的比例关系，可以得出相应的电流值如厢S-12图8-12所示对图中的中间回路，应用基尔霍夫第二定律，有(I-I)R+(I-1IR=U1B很显然UA-IR-A即U二IR+二1IR二IRAB22最后，R二Uab二1+注RoABI2【例题2】如图所示，由已知电阻r1、r2和r3组成的无穷长梯形网络，求a、b间的等效电阻R.（开端形）ab【例题3】如图所示，由已知电阻r1、r2和r3组成的无穷长梯形网络，求a、b间的等效电阻R.（闭端形）ab双边一维无限网络例题4】如图所示，两头都是无穷长，唯独中间网孔上缺掉一个电阻r2,求e、阻。（中间缺口形）deB【例题5】如图所示，两头

9、都是无穷长，唯独旁边缺一个电阻r2,求f、g之间的等效电阻.（旁边缺口形）【例题6】如图所示，求g、f间的等效电阻。（完整形）小结：一维无限网络利用网络的重复性。二维无限网络【例题7】图为一个网格为正方形的平面无穷网络,网络的每一个节点都有四个电阻与上下左右四个节点分别相联，每个电阻大小均为R,由此，按左右、上下一直延伸到无穷远处.A和B为网络中任意两个相邻节点，试求A、B间的等效电阻RAB模型分析：如图，设有一电流I从A点流入，从无穷远处流出.由于网络无穷大，故网络对于A点是对称的，电流I将在联接A点的四个电阻上平均分配.这时，电阻R（指A、B两节点间的电阻）上的电流为1/4,方向由A指向B

10、.同理，再设一电流I从无穷远处流处，从节点B流出由于网络无穷大，B也是网络的对称点，因此在电阻R上分得的电流也为I/4,方向也是由A指向B.将上述两种情况叠加，其结果将等效为一个从节点A流入网络，又从节点B流出网络的稳恒电流I,在无穷远处既不流入也不流出.每个支路上的电流也是上述两种情况下各支路电流的叠加.因此，R电阻上的电流为1/2.所以A、B两节点间的电势差为：【例题9】有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形R网眼组成，如图所示。所有六边形每边的电阻为0，求：结点a、b间的电阻。如果有电流I由a点流入网络，由g点流出网络，那么流过de段电阻的电流I为多大。de解：(1)设有电流I自

11、a点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有1/3电流由a流向c,有1/6电流由c流向b。再假设有电流I由四面八方汇集b点流出，那么必有1/6电流由a流向c，有I/彳电流由c流向b。将以上两种情况综合，即有电流I由a点流入，自b点流出，由电流叠加原理可知i二1+1二ac362(由a流向c)i二I+JLcb362(由c流向b)因此，a、b两点间等效电阻RABiR+iR丁ac0cb0(2)假如有电流I从a点流进网络，流向四面八方，根据对称性，可以设应该有I=II=41=71=AI=I3I+?613=15689BAB因为b、d两点关于a点对称，所以debe同理，假如有电流I从四面八方汇集到g点流出，应该有最后，根据电流的叠加原理可知I二I+1=-1+1二1（3I+61）=11dedede2AB6AB6三维无限网络【例题11】在图