哈尔滨中考数学圆的综合(大题培优)

1、一.圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图，四边形ABCD内接于O0,对角线&C为O0的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB,DF.求证：DF是O0的切线；若D3平分Z.ADC,AB=血AD:DE=4:1,求DE的长.【答案】见解析;(2)巧【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF,再求出ZFDO=ZFCO=90,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用ADC&CE,得出AC2=AD*AE,进而得出答案.详解：(1)连接0D.OD=CDZODC=ZOCD.AC为OO的直径,AZADC=ZEDC=90点

2、F为CE的中点，DF二CF二EF,ZFDC=ZFCD9:.ZFDO=AFCO又TAC丄CE,ZFDO二ZFCO二90,DF是OO的切线(2)/AC为OO的直径,/.ZADC=ZABC=90DB平分ZADC.ZADB二ZCDB,.AB二BC，二BC=AB=52在RtAABC中，AC2=AB2+BC2=100又TAC丄CE,ZACE=904CAEADCfACE,-=,AC2=ADAEADAC设DE为x,由AD：DE=4：1,AD二4x,AE=5x,100=4x*5x,.e.x=yfs9-DE=yfs点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出ac2=adae是解题的关键.2.

3、如图，在OO中，直径AB丄弦CD于点E,连接AC,BC,点F是弘延长线上的一点，且ZFCA=AB.40【答案】见解析;AB=20,CF=y【解析】分析：（1）连接OC,根据圆周角定理证明OC丄CF即可；（2）通过正切值和圆周角定理，以及ZFCA=ZB求出CE、BE的长，即可得到AB长，然后根据直径和半径的关系求出OE的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明OCE-CFE,即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.详解：证明：连结OCAB是O0的直径ZACB=90ZB+ZBAC=90OA=OCZBAC=ZOCAZB=ZFCAZFCA+ZOCA=90即ZOCF=90c在O0CF是OO

4、的切线AE（2）TAE=4,tanZACD=一EC2CE=8直径AB丄弓玄CD于点EAD=ACZFCA=ZBZB=ZACD=ZFCAZEOC=ZECACE1tanZB=tanZACD=BE2BE=16AB=20OE=AB2-AE=6CEABZCEO=ZFCE=90OCE-CFEOCOECFCE“106即=CF8CF$3点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目3.如图AB是ZkABC的外接圆OO的直径，过点C作O0的切线CM,延长BC到点D,

5、使CD二BC,连接AD交CM于点E,若OOD半径为3,AE=5,求证：CM丄AD；求线段CE的长.【答案】（1）见解析；（2）y/5【解析】分析：（1）连接0C,根据切线的性质和圆周角定理证得AC垂直平分BD,然后根据平行线的判定与性质证得结论；（2）根据相似三角形的判定与性质证明求解即可.详解：证明：（1）连接0CCM切30于点C,ZOCE=90,AB是O0的直径，ZACB=90,CD二BC,AC垂直平分BD,AB二AD,ZB=ZDZB=ZOCBZD=ZOCBOCIIADZCED=ZOCE=90CM丄AD(2)/OA=OB,BC=CD10C=-AD2AD=6DE=AD-AE=1易证CDEAA

6、CECEDEfteAECECE2=AExDECE=V5点睛：此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质的应用，灵活判断边角之间的关系是解题关键，是中档题.4.已知，如图：0为x轴上一点，以6为圆心作OOi交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点,ZCMD的外角平分线交OOi于点E,AB是弦，且ABIICD,直线DM的解析式为y=3x+3.（1）如图1，求30】半径及点E的坐标.（2）如图2,过E作EF丄BC于F,若A、B为弧CND两动点且弦ABIICD,试问：BF+CF与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明.（3）在（2）的条件下，EF交OOi于点G,问弦BG的长度是否变化

7、？若不变直接写出BG的长（不写过程），若变化自画图说明理由.【答案】（1）r=5E（4,5）（2）BF+CRAC（3）弦BG的长度不变，等于5忑【解析】分析：（1）连接ED、EC、EOi、MOi,如图1,可以证到乙ECD=ZSMENEMC=ZEDC,从而可以证到ZEOiC=90。.由直线DA4的解析式为y=3x+3可得0M=3.设OOi的半径为r.在RtAA4001中利用勾股定理就可解决问题.（2）过点6作0屮丄EG于P,过点0作0Q丄BC于Q,连接E0】、DB,如图2.由ABWDC可证到BD=AC,易证四边形OiPFQ是矩形，从而有0iP=FQ,ZPOiQ=90,进而有ZF0P=ZC0iQ,

8、从而可以证到EP0岸CQOl,则有P0尸Q0根据三角形中位线定理可得FQ=-BD.从而可以得到BF+CF=2FQ=AC.2（3）连接EOi,ED,EB,BG,如图3.易证EFWBD,则有ZGEB=ZEBD,从而有BG=ED也就有BG=DE.在RtAE01D中运用勾股定理求出ED,就可解决问题详解：（1）连接ED、EC、EOi、MOi,如图1.ME平分ZSMC,ZSME=AEMC.ZSME=AECD,ZEA4C=ZEDC,:.ZECD=ZEDC,:.ZEOCZEOiD+ZEOiC=180%/.ZE0iD=ZEOiC=90.直线DM的解析式为尸3x+3,点M的坐标为（0,3）,点D的坐标为（-1,

9、0）,00=1,0M=3.设O0的半径为r,则M0讦D01W.在RtAMOOr中，(厂-1)2+32二r2.解得：r=5,/.00i=4,E0i=5,/.OOi半径为5,点F的坐标为(4,5).BF+CF=AC.理由如下:过点6作6P丄EG于P,过点6作6Q丄BC于Q,连接EOi、DB,如图2.：ABWDC,/.ZDCAABAC.AD=BC,：.BD=AC*BD二ACOlP丄EG,OiQ丄BC,EF丄BF9/.ZOiPF=ZPFQ=ZOiQF=90,四边形6PFQ是矩形,OiP二FQ,ZPOiQ=90,/.ZEOiP=90-ZPOiC=ZCOiQZEOlP=ZCOlQ在厶EP01和厶CQ01中

10、，ZEPOl=Z-CQOy,O.E=O.CEPO岸CQOnPO讦Q0FQ二QOi.QOl丄BC,BQ二CQ11C0i=D0i9OiQ=BDf.FQ二BD.2BF+CF二FQ+BQ+CF二FQ+CQ+CF=2FQ,BF+CF二BD二AC.连接EOi,ED,EB9BG,如图3/DC是OOi的直径，/.ZDBC=90/.ZDBC+ZF8=180,/.EFWBD,ZGEB=ZEBD,BG二ED，-BG二DE.TDOl=EOi=59EOi丄DODE=5BG=5,.弦BG的长度不变，等于5近.图2图3点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定

11、与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度.而由ABWDC证到AC=BD是解决第(2)小题的关键，由EGWDB证到BG=DE是解决第(3)小题的关键.已知A(2,0),B(6,0),CB丄x轴于点B,连接AC画图操作：(1)在y正半轴上求作点P,使得ZAPB=ZACB(尺规作图，保留作图痕迹)理解应用：在(1)的条件下，若tanZAPB=丄，求点P的坐标2当点p的坐标为时，zAPB最人拓展延伸：4若在直线y=jX+4上存在点P,使得ZAPB最人，求点P的坐标【答案】图形见解析(0,2),(0,4)(0,23)4CB=tanZAPB=-=TA(2,0

12、),B2BC(6,0),:.AB=4,BC=8,C(6,8),:.AC的中点K(4,4),以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于p和p，易知p(0,2),P(0,6).当OK与y轴相切时，乙APB的值最人，此时AK=PK=4,AC=8,ylAC2-AB2/3，C(6,4*),K(4,2近),AP(0,23)故答案为：(0,2*)4(3)如图3中，当经过AB的园与直线相切时，ZAPB最大.直线y=-x+4交x轴于M(-3,0),交y轴于N(0,4)JMP是切线MP?二MP=3书,作PK丄04于K.O/VIIPK,=PKMKNM4_3丄12的9/-rixMPPKMK3V55咙琴,5琴3,点睛：本题考查

13、了一次函数综合题、直线与圆的位置关系、平行线的性质、切线的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，学会构造辅助圆解决最人角问题，属于中考压轴题如图，ZkABC是OO的内接三角形，点D,E在O0上，连接AE,DE,CD,BE,CE,ZEAC+ZBAE=180%AB=CD判断BE与CE之间的数量关系，并说明理由；求证：ABE雯DCE；(3)若ZEAC=60,BC=8,求OO的半径.【答案】(1)BE=CE,理由见解析；(2)证明见解析；(3)土.3【解析】分析：(1)FhA、B、C、E四点共圆的性质得：ZBCE+ZBAE=180,贝ijzBCE=ZEAC,

14、所以BE=CE，则弦相等；(2)根据SSS证明AABE雯DCE；(3)作BC和BE两弦的弦心距，证明RtAGBORtAHBO(HL),则ZOBH=30，设OH=x,则0B=2x,根据勾股定理列方程求出x的值，可得半径的长.本题解析：解：BE=CE,理由：ZEAC+ZBAE=180,ZBCE+ZBAE=180,ZBCE=ZEAC,-BE=CE，:.BE=CE：证明：J=AB=CD,BE=CE，AEED*AE=ED,由(1)得：BE=CE,在厶ABE和厶DCE中,AE=DEvAB=CD,BE=CEABE竺DCE(SSS)；解：如图，过O作OG丄BE于G,OH丄BC于H,11BH=-BC=-x8=4

15、,BG=-BE,22BE二CE,ZEBC=ZEAC=60,BEC是等边三角形，BE=BC,BH=BG,OB=OBRtAGBO仝RtAHBO(HL),1ZOBH=ZGBO=-ZEBC=3O%2设OH二x,则0B=2x,由勾股定理得:。的半径为半E/.0B=2x=/I,3点睛：本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、直角三角形30。的性质，难度适中，第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的结论；第三问作辅助线，利用勾股定理列方程是关键.7.已知：如图，在四边形ABCD中，ADIIBC.点E为CD边上一点，AE与BE分别为ZDAB和ZCBA的平分线.（1）请你添加

16、一个适当的条件,使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点0,并以AB为直径作O0（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，O0交边AD于点F,连接BF,交AE于点G,若AE=4,4sinZAGF=t,求OO的半径.D弓C【答案】（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆0的半径为2.5.【解析】分析：（1）添加条件AD=BC,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角

17、互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到ZAGF=ZAEB,根据sinZAGF的值，确定出sinZAEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径.详解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：证明：TADIIBC,AD=BC,四边形ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC：（2）作出相应的图形，如图所示;ZDAB+ZCBA=180%AE与BE分别为ZDAB与ZCBA的平分线,ZEAB+ZEBA=90,ZAEB=90,TAB为圆0的直径，点F在圆0上，ZAFB=90ZF

18、AG+ZFGA=90,AE平分ZDAB,ZFAG=ZEAB,ZAGF=ZABE,AEsinZABE=sinZAGF=,ABAE=4,AB=5,则圆O的半径为2.5.点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键.&在直角坐标系中，0为坐标原点，点A坐标为（2,0）,以OA为边在第一彖限内作等边AOAB,C为x轴正半轴上的一个动点（002）,连接BC,以BC为边在第一象限内作等边ABCD,直线DA交y轴于E点.（1）求证：OBC雯ABD（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理

19、由；若不变，请求出直线AE的解析式.（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F,当C点运动到何处时，直线EFII直线BO；这时OF和直线BO的位置关系如何？请给予说明.(2)直线AE的位置不变，AE的解析式为：y=V3x-2：(3)C点运动到(0)处时，直线EFII直线BO；此时直线BO与OF相切，理由见解析.【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质可得到OB=AB,BC=BD,ZOBA=ZDBC,等号两边都加上ZABC,得到ZOBC=ZABD,根据SAS得到OBQABD.(2)先由三角形全等，得到ZBAD=ZBOC=60由等边BCD,得到ZBAO=60%根据平角定义及对顶角相等得到ZOAE=60

20、在直角三角形OAE中，由OA的长，根据tan60。的定义求出OE的长，确定出点E的坐标，设出直线AE的方程，把点A和E的坐标代入即可确定出解析式.(3)由EAIIOB,EFIIOB,根据过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条,得到EF与EA重合，所以F为BC与AE的交点，又F为BC的中点，得到A为OC中点，由A的坐标即可求出C的坐标；相切理由是由F为等边三角形BC边的中点，根据三线合一得到DF与BC垂直，由EF与OB平行得到BF与0B垂直，得证.【详解】(1)证明OAB和厶BCD都为等边三角形，OB=AB,BUBD,ZOBA=ZDBC=60,ZOBA+ZABC=ZDBC+ZABC,即ZOB

21、C=ZABD,在厶08（2和厶ABD中，OB=AB/T直线AE的解析式为：)，=/衣-2石.(3)C点运动到(4,0)处时，直线EFII直线BO：此时直线BO与OF相切，理由如下:ZBOA=ZDAC=60,EAII0B,又EFIIOB,则EF与EA所在的直线重合，点F为DE与BC的交点，又F为BC中点，A为OC中点，又AO=2,则004,当C的坐标为(4,0)时，EFII0B,这时直线B0与OF相切，理由如卞：BCD为等边三角形，F为BC中点，DF丄BC,又EFII0B,FB丄OB,A直线B0与OF相切,【点睛】本题考查了一次函数：三角形全等的判定与性质：等边三角形的性质和直线与圆的位置关系熟练掌握相关性质定理是解题关键.9.对于平面直角坐标系xoy中的图形P,Q,给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果A4,N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P,Q间的非常距离，记作d(P,Q).已知点A(4,0),B(0,4),连接AB.d(点0,AB)=_；OO半径为r,若d(OO,AB)=0,求r的取值范围；点C(-3,-2),连接AC,BC,07的圆心为T(t,0),半径为2,d(07,ABC),且0d2,求r的取值范围.片654321