导数知识点各种题型归纳方法总结(浦仕国)

1、曲靖经开区一中2017届高三6、7班文科数学备考复习专题一导数及应用题型归纳(内部资料，仅供参考)主编：浦仕国2016年6月【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第 页共22页【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第2页共22页曲靖经开区一中2017届高三6、7班文科数学备考复习专题一导数及应用题型归纳(内部资料，仅供参考)主编：浦仕国2016年6月【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第 页共22页【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第2页共22页导数知识点和各种题型归纳方法总结1.已知f(x)，则limf(2ox) f (2)的值是(A.B. 2导数的定义:变式1 :1.(1).函数 y

2、(2).函数y”*)在* xo处的导数：f(xo)y|x x0 1网欠f(x)的导数：f(x) y lim f(x x) f(x) x 0 xx) f(xo)x4,则 himo1 c.4f 3 h f 3 * (为 (2hD. -2A.变式2:x在/可导，则limf xo I oC. - 3x f xo 3xD. 12.利用定义求导数的步骤:求函数的增量:y f (x x) f (x)；求平均变化率：_yxf(x x) f(x).,x取极限得导数:(下面内容必记)、导数的运算:A.2fxoB. fxoC. 3f xoD. 4f xo题型二:导数运算f(x) lim ylim f(x x) f(

3、x)x o xx ox1、已知2、若f(1)基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式:mmC o(c为常数)(xn) nx -() (x n) nx (n/xmy (xnY mxn之x v 1 N( x ) nx ,(n)( x ) nx ,(人) (x ) xxn(sinx) cosx ；(cosx) sin x (ex) ex(ax)axln a(a 0,且a 1)；二1-1一(In x)-；(logax)(a 0,且a 1)xxln a法则1： f (x) g(x) f (x) g(x) ; (口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2： f(x) g(x) f (x) g(x) f(

4、x) g(x):口诀：前导后不导相乘+后导前不导相乘)g(x)(x)f*g(x) o)(口诀：分母平方萼记牢.卜导下不导相乘.下导卜不导相乘.中间星号)(2)复合函数y f(g(x)的导数求法:换元，令u g(x),则y f(u)分别求导再相乘 y g(x) f (u)回代u g(x)题型一、导数定义的理解2xsinxe sin x3. f (x) =ax3+3x2+2 , fA1。3B.133.导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻即有Vof to 。2.V=s/(t)表示即时速度。四.导数的几何意义：1)c1；c 19 D.3to时的瞬时速度Vo就是物体运动规律a=v/(t)表示加速度。

5、(了解)函数f x在xo处导数的几何意义，曲线 y f x在点P xo, f xo相应的切线方程是：y yo f xo x xo o题型三.用导数求曲线的切线注意两种情况:(1 )曲线yyyof xo(2)曲线y ft在tto时的导数f to处切线的斜率是k f xo。于x在点P%,fxo 处切线：性质：k切线f xo 。相应的切线方程是：xo过点P xo,yo处切线：先设切点,切点为Q(a,b)，则斜率k= f (a),切点Q(a,b)在曲线y f x上，切点Q(a,b)在切线y yof ax xo上，切点Q(a,b)坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求 斜率k= f

6、(a),确定切线方程。曲靖经开区一中2017届高三6、7班文科数学备考复习专题一导数及应用题型归纳(内部资料，仅供参考)主编：浦仕国2016年6月曲靖经开区一中2017届高三6、7班文科数学备考复习专题一导数及应用题型归纳主编：浦仕国2016年6月x0为极大(或极小)值点。例：在曲线y=x3+3x思路一：(1) f (x)在该区间内单调递增f(x) 0在该区间内恒成立； f (x)在该区间内单调递减f(x) 0在该区间内恒成立；+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：(1) k y|xx0 3xo2 6x0 6 3(x0 1)2 3当 x0=-i 时，k有最小值 3,此时P的坐标为(

7、-1,-14)故所求切线的方程为 3x-y-11=0五.函数的单调性：设函数y f(x)在某个区间内可导，(1) f(x)0f(x)该区间内为增函数; f(x)0f(x)该区间内为减函数;注意：当f(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正(或负)时， f (x)在这个区间上仍是递增(或递减)的。|f(x)在该区间内单调递增f(x) 0在该区间内恒成立；|f(x)在该区间内单调递减f(x) 0在该区间内恒成立;一题型一、利用导数证明(或判断)函数f(x)在某一区间上单调性：解题模板： (1)求导数 y f (x)(2)判断导函数y f (x)在区间上的符号(3)下结论f (x) 0 f (

8、x)该区间内为增函数；f (x) 0 f (x)该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数y f(x)单调区间的步骤为：(1)分析y f(x)的定义域；(2)求导数 y f (x)(3)解不等式f (x) 0,解集在定义域内的部分为增区间(4)解不等式f (x) 0,解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值(转化为恒成立问题)x=c为函数的一个极值点，所以f(c) 0ln x例题.若函数 f(x) ，若a f(3), b f(4),c5)则()xA. a b cB. c b aC. c a bD. b a f (x)极值f (x)的增减性 vrOf (x)的每一点的切

9、线斜率的变化趋势(f (x)的图象的增减幅度)f (x)增-C3f (x)的每一点的切线斜率增大( f(x)的图象的变化幅度快)f (x)减:f (x)的每一点的切线斜率减小(f (x)的图象的变化幅度慢)【题型针对训练】1.已知 f(x)=ex-ax-1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；(3)是否存在a,使f(x)在(。，0上单调递减，在0, +s)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0, 若x=2时，y=f(x)有极值.(1

10、)求a,b,c的值；(2)求y=f(x)在-3, 1上的最大值和最小值.【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第5页 共22页(请你欣赏)证明：f(x)ln(10时。3.当x。，证明不等式广x(x) 1 xln( 1x) x.ln(x 1)f(x)在x) x 0,因此,x ，、-,g(x) ln(x1 x0,内是增函数,0时，g (x) 0,1)f(x)g(x)在当x 0时，不等式1 x则 f (x)0,ln(1点评：由题意构造出两个函数f(x) ln(x 1) x-, 1 xg(x)x2 )(1 x)2即 ln(1 x)内是减函数,x) x成立.ln( x 1) x.利用导数求函数的单调区间

11、或求最值，从而导出是解决本题的关键(请你欣赏)4、已知函数 f(x) ax3 bx2 (c 3a 2b)x d (a(出)求c、d的值;若函数求函数右x0解：由题知:(出)f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为f ( x )的解析式;5,方程f(x)8a有三个不同的根，求实数由图可知2(x) 3ax 2bx+c-3a-2b函数f ( x )的图像过点(0,3 )，且f 1x1-0, xg(x) g(0),即0)的图象如图所示。d得o3a依题意f12a8a所以依题意2b c2=34b 3a4b 6af ( x ) = x33a 2b 02b 3解得4b 3 56x2 + 9x + 3f

12、( x ) = ax3 + bx2 - ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 ) f x = 3ax2 + 2bx - 3a - 2bb = -9a 若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当满足 f ( 5 )8af ( 1 )由 得-25a + 38a 7a + 3 a0,=0,()上的单调函数，求 a的取值范围.2 (a 1)x (4a 1).13(x)是偶函数，： a 1. 此时 f(x) x 3x, f (x) 120,解得：x2V 3 .1 x2 3x xj )4x(-8,-2v,3 )-2/3(2石,24 3)2。3(2V 3 ,+ 8)f (x)+0一0+f(

13、x)递增极大值递减极小值递增列表如下:f(x)的极小值为f(23)4 3可知：f(x)的极大值为f( W3) 4v 3 ,(口)函数 f (x)是()上的单调函数,曲靖经开区一中2017届高三6、7班文科数学备考复习专题一导数及应用题型归纳主编：浦仕国2016年6月曲靖经开区一中2017届高三6、7班文科数学备考复习专题一导数及应用题型归纳主编：浦仕国2016年6月1 2 .,一，.1f (x) x(a 1)x (4a 1) 0,在给定区间R上恒成立(判别式法j HYPERLINK l bookmark281 o Current Document 41212则 (a 1)4(4a 1) a 2

14、a 0,解得：0 a 2.4综上，a的取值范围是a0 a 2.I，一，.一 .1 O 1C例题欣员5、已知函数f (x) - x (2 a)x (1 a)x(a 0). 32(I)求f(x)的单调区间；(II)若f(x)在0, 1上单调递增，求a的取值范围。(一集思想|)解析：(I) f (x)x2 (2 a)x 1 a (x 1)(x 1 a).1、当a 0时，f (x) (x 1)20恒成立，当且仅当x 1时取力，”*)在(，)单调递增。第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与 0的关系;第三步：解不等式(组)即可；例题欣赏6、已知函数f (x)x3(k

15、 1)x2, g(x) 1 kx,且f(x)在区间(2,)上为增函数.323求实数k的取值范围；若函数f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.解：(1)由题意f (x) x2 (k 1)x f(x)在区间(2,)上为增函数，f (x) x2 (k 1)x 0在区间(2,)上恒成立(分离变量法)即k 1 x恒成立，又x 2, . k 1 2,故k 1，k的取值范围为k 13(2)设 h(x) f (x) g(x) - x2kx -,3232h (x) x (k 1)x k (x k)(x 1)令h (x) 0得x k或x 1由(1)知k 1 ,2当k 1时，h (x) (

16、x 1)0, h(x)在R上递增，显然不合题意当k 1时，h(x), h (x)随x的变化情况如下表：2、当a0时，由f (x) 0,得x1,x2a 1,且 x1x2,单调增区间：(，1),(a 1,单调增区间：(1,a 1)(II)当Q f(x)在0,1上单调递增1、a 0时，”*)在(x(,k)k(k,1)1(1,)h (x)0一0h(x)极大值,3. 2.kk1623极小值k 12k 1由于0 ,欲使f (x)与g(x)的图象有二个不同的父点，即方程 h(x) 0有二个不同的头根,2)单调递增符合题意则0,1是上述增区间的子集:故需-k-6k212-0,即(k 1)(k2 2k 2)23

17、综上，所求k的取值范围为k 1 J3k 1k2 2k，解得k 1 332 02、 0,1 a 1, a 1 0综上，a的取值范围是0, 1。题型三：根的个数问题类型一：I函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点方程的根函数的零点解题步骤第一步：画出两个图像即 穿线图”(即解导数不等式) 和 趋势图”即三次函数的大致趋势 是先增后减再增还是先减后增再减”；类型二：匹的个数知道，部分根可求或已知。例题欣赏7、已知函数f (x) ax3 - x2 2x c2(1)若x 1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点，求 f(x)的极值；(2)若g(x) -bx2 x d ,在(1)的条件下，是否存在实数

18、 b ,使得函数g(x)的图像与函数f(x)的 2图像恒有含x 1的三个不同交点？若存在，求出实数 b的取值范围；否则说明理由；解：(1) f(x)的图像过原点，则 f(0) 0 c 0f(x) 3ax2x 2,又x1是f(x)的极值点，则f ( 1) 3a1 2 0a 1【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第11页共22页【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第12页共22页曲靖经开区一中2017届高三6、7班文科数学备考复习专题一导数及应用题型归纳(内部资料，仅供参考)主编：浦仕国2016年6月【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第13页共22页【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第

19、 页共22页曲靖经开区一中2017届高三6、7班文科数学备考复习专题一导数及应用题型归纳(内部资料，仅供参考)主编：浦仕国2016年6月【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第13页共22页【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第 页共22页f (x) 3x22 (3x 2)(x 1) 0值范围为(1,3),求:f极大值(x) f (1)2f极小值(x) f (一) 322(2)设函数g(x)的图像与函数f (x)的图像恒存在含 x 1的三个不同等价于f(x)g(x)有含x1的三个根，即：f( 1) g( 1) d12(b 1)1 2-x22x 2bx214(b 1)整理得:2即:312x3

20、(b 1)x221，人x (b 1) 0恒有含x21的三个不等实根(计算难点来了：)h(x)x3121(b 1)x x (b 1) 0 有含 x221的根,则h(x)必可分解为(x 1)(二次式)0 ,故用添项配凑法因式分解,221x x - (b 1)x212(b 1)十字相乘法分解:(1) f(x)的解析式;(2)若过点P( 1,m)可作曲线 解析：(1)由题意得：f(x) .在(，1)上 f (x)yc 23axf (x)的三条切线，求实数 m的取值范围.2bx c 3a(x 1)(x 3),( a0;在(1,3)上 f (x) 0 ;在(3,因此f (x)在x0 1处取得极小值由联立得

21、:(2)设切点 Q(t, f (t)y( m ( g(t)_ 2-(3t 12t3t23t23t22t312t12tf(1) 3af(t)9)(x t)2b0，f(3)f(x)f,(t)(xt3 6t2等价于L(b 1)x2221x -(b 21)x2(b2(b12(b 1)2 44211) (b 1)22(b2(bx2(x2/x (x32x 6xt)9t)9x0) f (x) 027a 6b c 011)2(b11) 2(b1)x21)x221x (x 1) (b 1)x (b 221(x 1) x (b 1)x22(b1)令 g(t) 6t求得:1)1)1)1)类型三：切线的条数问题2x

22、(b1) x1)g(故:12(b 1)0恒有含x 1的三个不等实根0有两个不等于-1的不等实根。例题欣赏88、已知函数f(x)b (, 1) ( 1,3) (3,以切点x0为未知数的方程的根的个数32ax bx cx在点Xo处取得极小值4,使其导数f(x) 0的x的取12t2t229)x9)x 9)( 12tt(3tt(2t1) 2t39 m12t 9)6t)过(6t2t(t21,m)6t9)_426t 12 6(t1,t1) 0g(2) 02)0,2,11 m 16；方程g(t) 0有三个根。2 3 121616 12 24因此所求实数m的范围为:11(11,16)天丽已知f(x)在给定区间

23、上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例题欣赏9|例9、已知函数八幻(1 )当瓶=4时,求函数人口的单调区间;(口)若函数y二代工)在区间(1,过(m为常数).+ g )上有两个极值点，求实数小的取值范围.1c 7 c解：函数的7E义域为 R (I)当 m = 4 时，f (x)= 3*32x2+10 x,f (x) =x27x+10,令 f (x) 0 ,解得 x 5,或 x 2.曲靖经开区一中2017届高三6、7班文科数学备考复习专题一导数及应用题型归纳主编：浦仕国2016年6月曲靖经开区一中2017届高三6、7班文科数学备考复习专题一导数及应用题型归纳主编：浦仕国2

24、016年6月令f (x) 0 ,解得2x5可知函数f(x)的单调递增区间为(，2)和(5, +8),单调递减区间为2,5(n) f (x) =x2(m + 3)x +m + 6,要使函数y=f(x)在(1, +8)有两个极值点， f (x) =x2(m +3)x+m + 6=0的根在(1, 十)4(m3)6) 0；m 6 0;,解得m3例题欣赏10aJ 10、已知函数f (x) ax3 -x2, (a 32R,a 0)(1)求f (x)的单调区间;.，、1 ,一(2)令 g(x) = -x4+f (x) (xC R)有且仅有43个极值点，求a的取值范围.解：(1) f (x) ax2 x x(

25、ax 1)1一， .一 1当a 0时，令f (x) 0解得x 或x 0 ,令f (x) 0解得 一x 0 , aa所以f(x)的递增区间为(，1) (0,)，递减区间为(1,0).aa1、1当a 0时，同理可得f(x)的递增区间为(0, 一)，递减区间为(，0)( 一，).aa(2) g(x) 1x4 ax3 1x2有且仅有3个极值点432,、32, 22g (x) x ax x x(x ax 1)=0 有 3 个根，则 x 0或 x ax 1 0, a 2方程x2 ax 1 0有两个非零实根，所以a2 4 0,a 2或 a 2而当a 2或a 2时可证函数y g(x)有且仅有3个极值点【导数基

26、础知识及各种题型归纳方法总结】第15页共22页请你欣赏一一典型题解析1、(最值问题与主元变更法的典例)已知定义在 R上的函数f(x) ax3 2ax2 b (a 0)在区间2,1511.(I)求函数f(x)的解析式；(n)若t 1,1时，f (x) tx 0恒成立，求实数x的取值范围.解：(I) Q f(x) ax3 2ax2 b, f (x) 3ax2 4ax ax(3x 4)人，、m八4八，令 f (x)=0，得 x1 0,x2 一2,13x2,000,1f (x)+0-f(x)极大因为a 0,所以可得下表:因此 f(0)必为最大值,. f (0) 5 因此 b 5, Qf( 2) 163

27、 5,f(1) a 5, f(1) f( 2), HYPERLINK l bookmark358 o Current Document 32即 f ( 2)16a 511, . a 1 ,f (x)x 2x 5. HYPERLINK l bookmark413 o Current Document 22(n) f (x) 3x 4x, f (x) tx 0 等价于 3x 4x tx 0,令g(t) xt 3x2 4x,则问题就是g(t) 0在t 1,1上恒成立时，求实数 x的取值范围，中 g( 1) 03x2 5x 0为此只需，即),g (1) 0 x2x 0解得0 x 1,所以所求实数x的取

28、值范围是0, 1.2、(根分布与线性规划例子). 2 。 o已知函数f (x) x ax bx c3(I )若函数f (x)在x 1时有极值且在函数图象上的点(0, 1)处的切线与直线 3x y 0平行，求f (x)的解析式；(n)当f(x)在x (0, 1)取得极大值且在x (1, 2)取得极小值时，设点M(b 2, a 1)所在平面区域为S,经过原点的直线 L将S分为面积比为1:3的两部分，求直线L的方程.解：(I).由f (x) 2x2 2ax b ,函数f (x)在x 1时有极值， 2a b 2 0【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第16页共22页曲靖经开区一中2017届高三6、7

29、班文科数学备考复习专题一导数及应用题型归纳(内部资料，仅供参考)主编：浦仕国2016年6月【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第17页共22页【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第 页共22页曲靖经开区一中2017届高三6、7班文科数学备考复习专题一导数及应用题型归纳(内部资料，仅供参考)主编：浦仕国2016年6月【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第17页共22页【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第 页共22页f(0) 1又 f(x)在(0, 1)处的切线与直线 3xy 0平行,(n)解法f (x)2x22ax b 及f(x)在x (0, 1)取得极大值且在(1,2)取得极小值，f

30、 (0) b(0) 2a4a令 M (x,y), 则23f(X) 3x2x23x(n )解法一：由(x)2x22ax bf (x)在 x(0, 1)取得极大彳1且在x(1,2)取得极小值，2y4y易得同时A(DE故点M所在平面区域S为如图 ABC,(0)Q)2a4a2,0),令 M (x, y), 则易得A( 2,0),B( 2,1),C(2,2), D(0,1),E(0,3 2),S ABC 2同时DE为ABC的中位线，S DEC3的方程为：x 02y4y故点M所在平面区域S为如图4ABC,另一种情况由于直线BO方程为B( 2,1),C(2,2), D(0,1),3E(0,2)S ABC由y

31、2y1-x2x 2得直线为ABC的中位线，SDEC1s四边形ABED3S ABC2,S _ DEC所求一条直线L的方程为：x 0yLSI边形ABED所求一条直线另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分，设直线L方程为ykx，它与所求直线方程为AC,BC分别交于F、G,则k 0 , S四边形DEGF 13、 (加!的个数间椒)已知函数f(x)3 ax12/bx (c3a 2b)x d (a 0)的图象如图所示。y2ykx得点F的横坐标为Xfy4ykx得点G的横坐标为xG2k 164k 10D(O.-1)C(2. -2)S四边形DEGFS OGES OFD解得：k综上，所求

32、直线方程为：4k 1 22k 11 即 16k2 2k 5 0(舍去)一、1故这时直线方程为：y x2求c、d的值;若函数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为3x y 11 0,求函数f ( x )的解析式;(出)若X05,方程f(x) 8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。解：由题知：f2(x) 3ax2bx+c-3a-2b)由图可知函数f ( x )的图像过点(0,3 )，且f 1 = 0.登d 33a 2b c3a2b 0曲靖经开区一中2017届高三6、7班文科数学备考复习专题一导数及应用题型归纳主编：浦仕国2016年6月【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第19页共22页

33、【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第 页共22页曲靖经开区一中2017届高三6、7班文科数学备考复习专题一导数及应用题型归纳主编：浦仕国2016年6月【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第19页共22页【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第 页共22页(n)依题意令(x)(a1 22)x12ax - ( 2 x 1) 612a4b 3a 2b8a4b 6a 4b(x)(2a1)x2a (x 2a)(x 1)所以(m)依题意f ( x ) = x3 - 6x2 + 9x + 3f ( x ) = ax3 + bx2 - ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 )令(x)0得x 2a或f x = 3ax2 + 2bx - 3a - 2b 由 f 5 = 0b = - 9a当2a满足 f ( 5 )8af ( 1 )由 得-25a + 38a 7a + 31a3此时，8a0,有一个交点;x2(2,1)1(x)一(x)8a 9 2a若方程f ( x ) =