八上期末复习《一次函数》压轴题含答案

1、一次函数综合题选讲及练习例1.如图所示，直线 L： y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于 A、B两点.(1)当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式；(2)在(1)的条件下，如图所示，设 Q为AB延长线上一点，作直线 OQ,过A、B两 点分别作 AM，OQ于M, BNOQ于N,若AM=Jj斤，求BN的长；(3)当m取不同的值时，点 B在y轴正半轴上运动，分别以 OB、AB为边，点B为直角 顶点在第一、二象限内作等腰直角 OBF和等腰直角 ABE,连EF交y轴于P点，如图 .问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想 PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若 不是，说明理由.v变式练习：

2、1.已知：如图1, 一次函数y=mx+5m的图象与x轴、y轴分别交于点 A、B,与函数y=-Wx的图象交于点C,点C的横坐标为-3. 3(1)求点B的坐标；(2)若点Q为直线OC上一点，且 S4QAC=3SAAOC，求点Q的坐标；(3)如图2,点D为线段OA上一点，/ ACD=/AOC.点P为x轴负半轴上一点，且点P到直线CD和直线CO的距离相等.在图2中，只利用圆规作图找到点P的位置；(保留作图痕迹，不得在图 2中作无关元素.) 求点P的坐标.例2.如图1,已知一次函数y=-2x+6分别与x、y轴交于A、B两点，过点B的直线BC 4交x轴负半轴与点 C,且OC=OB .2(1)求直线BC的函

3、数表达式；(2)如图2,若4ABC中，ZACB的平分线 CF与/ BAE的平分线 AF相交于点F,求证：ZAFC=1Z ABC ;2(3)在x轴上是否存在点 P,使 ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由.变式练习：2.如图，直线l： y=x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称.动点 4P、Q分别在线段 AC、AB上(点P不与点A、C重合)，满足/ BPQ=/BAO.(1)点A坐标是, BC=.(2)当点P在什么位置时， APQCBP,说明理由.(3)当4PQB为等腰三角形时，求点 P的坐标.课后作业：1.已知，如图直线 y=2x+3与直线y=

4、-2x-1相交于C点，并且与两坐标轴分别交于A、B两点.(1)求两直线与y轴交点A , B的坐标及交点 C的坐标；(2)求4ABC的面积.2.如图，直线y= - x+1分别与坐标轴交于2A , B两点，在y轴的负半轴上截取 OC=OB(1)求直线AC的解析式；(2)如图，在x轴上取一点 D (1, 0),过D作DELAB交y轴于E,求E点坐标.圉图Z3.如图，直线L： y= - Jx+2与x轴、y轴分别交于 A、B两点，在y轴上有一点C (0, 4),动点M从A点以每秒1个单位的速度沿 x轴向左移动.(1)求A、B两点的坐标；(2)当M在x轴正半轴移动并靠近 0点时，求ACOM的面积S与M的移

5、动时间t之间的 函数关系式；当M在O点时，ACOM的面积如何？当 M在x轴负半轴上移动时，求ACOM 的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；请写出每个关系式中 t的取值范围；(3)当t为何值时 COMAOB,并求此时 M点的坐标.B0:/例1.【考点】一次函数综合题.【分析】(1)当y=0时，x= - 5;当x=0时，y=5m ,得出A ( - 5, 0), B (0, 5m),由OA=OB ,解得：m=1,即可得出直线 L的解析式；(2)由勾股定理得出 OM的长，由AAS证明 AMO0ONB,得出BN=OM ,即可求出 BN的长；(3)作EKy轴于K点，由AAS证得 ABOA BEK，得

6、出对应边相等 OA=BK , EK=OB , 得出EK=BF ,再由AAS证明 PBFA PKE,得出PK=PB ,即可得出结果.【解答】解：(1) ,对于直线 L： y=mx+5m ,当y=0时，x= - 5,当x=0时，y=5m , .A (-5, 0), B (0, 5m), OA=OB ,5m=5,解得：m=1 , .直线 L 的解析式为：y=x+5 ;OA=5 , AM=T .由勾股定理得：OM=6屋-AM 2=J 5* -(旧)2二Wa,. / AOM+ ZAOB+ ZBON=180 , / AOB=90 , . . / AOM+ / BON=90 ,. / AOM+ Z OAM=

7、90 , . BON= / OAM ,在 AMO 和 OBN 中，Vbon=zoai，NAHO=/BNO90* , QA二 OBAMO ONB (AAS) . BN=OM= 2点；PB的长是定值，定值为 W;理由如下：2作EKy轴于K点，如图所示：二点 B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF和等腰直角 ABE , AB=BE , / ABE=90 , BO=BF , / OBF=90 , . . / ABO+ / EBK=90 ,ZEBK=Z0AB. / ABO+ Z OAB=90 , . EBK= / OAB，在 ABO 和 BEK 中， /ACB:/BKE=9Q , ,AB二BEAB

8、OA BEK (AAS), . OA=BK , EK=OB , . EK=BF ,2=8,223解得a=- 12 (正值舍去)，Q (-12, 8);当 Saqao=2Szaoc 时，1OA?yQ=2 RoA?yc, yQ=2yc,即 | 一 2a|=22=4 ,223解得a=6 (舍去负值)，.二Q (6, - 4);综上所述，Q (T2, 8)或(6, -4).(3)如图2,以点A为圆心，AC长为半径画弧，该弧与 x轴的交点即为P;如图 3,作 PF，CD 于 F, P1ELQC 于 E,作 P2HLCD 于 H, P2G，QC 于 G.C (-3, 2), A ( 5, 0), . AC

9、=-3- C-5) 2+(2-oY 2=2, TOC o 1-5 h z Z ACD= Z AOC , /CAQ=/DAC, . CAQsAC , 鸣二3反，AD=-, 2V2 55.OD=5 -=,则 D (- , 0).5 55f 1717+b 二。设CD解析式为y=kx+b，把C ( - 3, 2), D (-号，0)分别代入解析式得*5,5- 3k+b=2II二国解得” ,函数解析式为y=5x+17 ,设P点坐标为(a, 0),lb=17根据点到直线的距离公式， 5, 0 1J = 牛+? 1,两边平方得， (5a+17) 2=2 Ma2,753+12 也 3解得 a=5史&,P1 (

10、- 5-272, 0), P2 (5+2血，0).【点评】本题考查了一次函数综合题，涉及坐标与图象的关系、待定系数法求函数解析式、 角平分线的性质、点到直线的距离、三角形的面积公式等知识，综合性较强，值得关注. 法二：试题解析；(!):炫的数=一,的图像上，点C的摘坐标为3,，下=一：乂-3) = 2，二C( 3,2) T一次函数. = 3 + 5出过点C，2 = 3而+5M，一打=1 ,一次区I数为: y - r + 5 ,在尸=十5中，令x=0,得：、=5，二E，5) j2);点Q为直线0C上一点，且皿358 ,有两种借况：若Q在线段0C的延长线上，则工.=4Sj_4w ,0Q=40C,设

11、Q 时f -G制)+ 2:,解得二机二=144.* tn 0，穆=一】2 ,Q (12j S) 若Q在线段CO的延长线上，则又的=二八2.，口0=28,设Q (中,一彳，)C加 0 ),则 |加+ 2口 ,解得：物士 = 3$，叨 0 ,掰=6 ,.一 三5=-4 j Q4)三.Q C 12, S)或 Q (6, - 4) j（3）作/3D的第平分线交，轴负半轴于点P或作NMF的角平分线交工轴负半轴于点P，$作/OCD的角平分线交工轴负半轴于点P,在）工，十5中，令卜二。,ffl： r = -5，A（-5, 3 ,二3=5, AC=忒-3 + 5尸Q =2近、ZAOC=ZACD7 /DCP=/

12、FCQj . ZACD+ZDCP=ZPCO+ZAOC,艮口 /ACF=/APCj .AP=AC=272，二0P=5-26 _Pf-5十2&，0）5若作/ACF的通平分线交工轴负半轴于点F J Zpz cx/p cd, /.Zaoc+Zcp7。二Np ca+N尤d, /Zacd=Zaoc,二/CP 0=ZPy CA,P A=AC=25 P S5,JP （ -5-242 ，0） $* *P （5 + 22 ，。）或（-5-2 j。）考点：一次函数综合题.例2.【考点】一次函数综合题.【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得 A、B、 C点的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据角

13、平分线的性质， 可得/ FCA=J / BCA , / FAE=Az bae ,根据三角形外角的关系，可得/ BAE= / ABC+ / BCA , / FAE二2ZF+ZFCA,根据等式的性质，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，分类讨论：AB=AP=10 , AB=BP=10 , BP=AP,根据线段的和差，可得 AB=AP=10时P点坐标，根据 线段垂直平分线的性质， 可得AB=BP=10时P点坐标；根据两点间的距离公式， 可得BP=AP 时P点坐标.【解答】解：（1）当x=0时，y=6,即B （0, 6）,当y=0时，且x+6=0 ,解得x-8,即A4(8, 0)；由 OC=JoB,

14、得 OC=3,即 C ( 3, 0);2设BC的函数解析式为，y=kx+b ,图象过点B、C,得，-3k+b=0,解得，b二 6k=2kb=6直线BC的函数表达式y=2x+6 ;（2）证明：一/ ACB的平分线CF与/ BAE的平分线AF相交于点F,./ FCA=_1/BCA , /FAE=/BAE. / BAE 是 ABC 的外角，/ FAE 是 FAC 的外22角,BAE= /ABC+ /BCA , / FAE= / F+/ FCA . .1. 1Z ABC+1Z BCA= Z F+lz BCA , 222ABC= / F; 2 （3）当 AB=AP=10 时，8- 10= - 2, P1

15、 （2, 0）, 8+10=18, P2 （18, 0）;当 AB=BP=10 时，AO=PO=8 ,即 P3 （ 8, 0）;设 P （a, 0）,当 BP=AP 时，平方，得 BP2=AP2,即（8a） 2=a2+62化简，得16a=28,解得a=l, P4 （10）,44综上所述：P1（ - 2, 0）,P2（18,0）,P3（ -8,0）;P4（工0） .4【点评】本题考查了一次函数综合题，（1）利用了函数值与自变量的关系求出 A、B、C的值又利用了待定系数法求函数解析式； （2）利用了角平分线的性质， 三角形外角的性质，（3） 利用了等腰三角形的定义，分类讨论是解题关键.变式练习：2

16、.【考点】一次函数综合题。【分析】（1）把x=0和y=0分别代入一次函数的解析式，求出A、B的坐标，根据勾股定理求出BC即可.（2）求出/ PAQ=/BCP, /AQP=/BPC,根据点的坐标求出 AP=BC，根据全等三角形的判定推出即可.（3）分为三种情况：PQ=BP ,BQ=QP,BQ=BP,根据（2）即可推出，根据三角形外角性质即可判断 ，根据 勾股定理得出方程，即可求出 .【解答】解：（1） =丫=?*+6,当x=0时，y=6,当y=0时，x= - 8,即A的坐标是（8,40）, B的坐标是（0, 6）, C点与A点关于y轴对称，C的坐标是（8, 0）,OA=8 ,OC=8 , OB=

17、6 ,由勾股定理得：BC=&7=10,故答案为：（-8, 0）, 10.（2）当 P 的坐标是（2,0）时，APQCBP,理由是：,OA=8,P（2,0）,，AP=8+2=10=BC , ./BPQ= /BAO, / BAO+ / AQP+/APQ=180, Z APQ+ Z BPQ+ Z BPC=180 , ./ AQP= ZBPC,. A和C关于y轴对称，/ BAO= / BCP,在APQ 和 CBP 中， ZBA0=ZBCP , APQA CBP （AAS）, 当 P 的坐标是（2, AP=BC0）时，AAPQACBP.（3）分为三种情况： 当 PB=PQ 时，二由（2）知，AAPQAC

18、BP, PB=PQ,即此时 P 的坐标是（2, 0）; 当 BQ=BP 时，则/ BPQ=/BQP, / BAO= / BPQ, . / BAO= / BQP,而根据三角形的外角性质得：/ BQP /BAO ,此种情况不存在； 当QB=QP时，则/ BPQ= Z QBP= Z BAO ,即BP=AP ,设此时 P的坐标是（x, 0）,在 RtOBP 中，由勾股定理得：BP2=OP2+OB2,，（ x+8） 2=x2+62,解彳导:x= Z，即此时P的坐标是（-I, 0） . 当4PQB为等腰三角形时，点 P的坐标是（2, 0）或（-4【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰

19、三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，难度偏大.课后作业：.解：（1）当 x=0 时，y=2x+3=3 ,则 A （0, 3）;当 x=0 时，y= - 2x - 1 = - 1,贝U B （0, -1）解方程组产2x+3得产一1 ,则c点坐标为（1, 1）；y= - 2x - 1尸2) AABC 的面积=4X (3+1) M=2.22.解：（1） y= - L+1,当 x=0 时，y=1,当 y=0 时，x=2,则点 A 的坐标为（2, 0）,点 B2的坐标为（0, 1）,二在y轴的负半轴上截取 OC=OB, .点C的坐标为（0, - 1）,设直线（2k+b=0kf 1