因式分解的应用与探究(含答案)

1、因式分解的应用与探究【温馨提示】分解因式一章中，我们主要学习了分解因式的概念、会用两种方法分解因式，即 提公因式法、平方差公式和完全平方公式(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数 是正整数)。具体要求有：1、经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体(整式乘法与因式分解) 联系。2、了解因式分解的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式(直接用公 式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数)。3、通过乘法公式：(a+b) (ab) = a2b2, (a b) 2= a2 2ab+b2的逆向变形，进 一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理思考及语言表达能力。在中考中，除

2、了考查对一个整式进行分解因式等常规题型外，因式分解作为一种重要 的解题方法和工具，经常出现于各种题型中，以下几种就值得引起注意。范例精讲 TOC o 1-5 h z 212例11构造求值型】【山西04已知x+ y=1,那么x2 xy y2的值为: HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 2分析：通过已知条件，不能分别求出x、y的值，所以要考虑把所求式进行变形，构造出 x+ y 的整体形式，即 x2 xy y2 = (x2+ 2xy+ y2) = (x+ y) 2=.在此过 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document

3、 22222 1、 ，一，一一，,，一一程中，我们先提取公因式 1,再用完全平方公式对原式进行因式分解，产生x+ y的整体2形式，最后将x+ y= 1代入求出最终结果.例21构造求值型】已知 x2+2x+y2+6y+10= 0,求xy的值.答：xy=3例31构造求值型】已知： a= 10000, b=9999,求a2+b22ab6a + 6b+ 9的值。解：a2+b2-2ab-6a+6b+ 9= ( ab) 22X (ab) x 3+32= (ab3) 2= 4例41构造求值型】【广西桂林04】计算：2 22 23218 219 220 :分析：为了便于观察，我们将原式“倒过来”，即原式=22

4、021921823 222= 219(2 1)2182322 2_ 2192伤2322=218(2 1)2322=2182322=22+2=4 + 2=6此题的解题过程中，巧妙地用到了提公因式法进行分解因式，使结构特点明朗化，规 律凸现出来。此题解法很多，比如，我们还可以采用整体思想，把原式看作一个整体，利用方程与提公因式法分解因式相结合的方法解答此题。218 HYPERLINK l bookmark27 o Current Document 设 M= 2 2223 HYPERLINK l bookmark29 o Current Document -M= 2 22 23218M 2(1 2

5、22218 219)21 ( M 4-2 219 220) 2M例5【探索规律型】观察下列各式:219220,则21922021 (2 22218 219)6 ,即 M 2M - 6 ,解得 M = 6.12 + ( 1X 2 ) 2 + 22 = 9 = 32 , 22+ (2 X 3 ) 2 + 32 = 49 = 72 , 32+ (3 X 4 ) 2 + 42= 169= 132,你发现了什么规律？请用含有n (n为正整数)的等式表示出来，并说明其中的道理。例6【探索规律型】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1 + x+X (1+X)+x (1 + X)2= (1+X)1+x

6、+X (1 + X)=(1 + X)2 ( 1 + X)=(1 + X)3上述分解因式的方法是 ,共应用了 次；若分解 1+x + x(1 + x)+x(1 + x) 2+x(1 + x) 2004,则需应用上述方法次，结果是;分解因式：1+x+ x(1 + x) + x(1+x) 2+x (1 + x) n (n 为正整数).例71开放创新型】【四川03】多项式9x2 + 1加上一个单项式后，使它能成为一个整 式的完全平方，那么加上的单项式可以是(填上一个你认为正确的即可)； 分析：根据完全平方公式 a22ab+b2= (a土 b) 2的特点，若9x2+ 1表示了 a2+b2 的话，则有a=

7、3x, b=1,所以，缺少的一项为 2ab=2,3x 1 = 6x,此时，9x2 + 1 6x= ( 3x 1) 2;如果认为 9x2+ 1 表示了 2ab+b2 的话，则有 a = 4. 5x2, b=1,所以， 缺少的一项为 a2= ( 4.5x) 2= 20.25x4,此时，20. 25x4+ 9x2+ 1 = ( 4. 5x2+ 1) 2.从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的 多项式，也可以是单项式.注意到9x2= (3x) 2, 1 =仔，所以，保留二项式 9x2+1中的任 何一项，都是“一个整式的完全平方”，故所加单项式还可以是 1或者9x

8、2,此时有9x2+ 11 = 9x2= ( 3x) 2,或者 9x2+ 1 9x2= 12.综上分析，可知所加上的单项式可以是土6x、20.25x4、 1或者9x2.例81开放创新型】【福建南平03】请你写出一个三项式，使它能先提公因式，再运 用公式来分解.分析：利用整式乘法与因式分解的互逆关系，可以先利用乘法公式中的完全平方公式,写出一个等式，在它的两边都乘一个因式，比如：2m (m+n) 2 = 2m (m2+2mn+n2) = 2m3+4m2n+2mn2;3a (2x 5y) 2 = 3a (4x220 xy+25y2) = 12ax2 60axy + 75ay2,等等.于是编写的三项式

9、可以是2m3+4m2n +2mn2,分解因式的结果是 2m (m + n) 2;或者编写的三项式可以是12ax2 60axy+75ay2,分解因式的结果是 3a ( 2x 5y) 2,等等.例91数形结合型】【陕西02,桥西0203如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形(ab),把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是(22222(A) a b (a b)(a b) (B) (a b) a 2ab b(C) (a b)2 a2 2ab b2(D) (a 2b)(a b)例101数形结合型】【福建福州05】如图，在边长为a的正

10、方形中剪去一个边长为b的小正方形(ab),把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的 面积，验证了公式 a2b2= ( a+ b) (a b) ;例111数形结合型】【济南02】请你观察右下方图形， 依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个 你非常熟悉的公式，这个公式是(x+ y) (xy)=个一y2或 x2 y2= (x+y) (xy) 或(x y) 2=x22xy+y2 .a2 ab 2b2y表中所列四种方案能拼成边长为( a + b)的正方形的是(A )X方案7量(张),(A)112(B)111(C)121(D)211分析：此题的本意就是判断哪些卡片的面积之和是(

11、a+b) 2例121数形结合型】【山西03】有若干张如图所示的正 方形和长方形卡片，则因为a2+2ab+b2= (a+b) 2,对照如图所示的正方形和长方形卡片，可知三种卡片的面积分别为a2、b2和ab,它们分别需要1张、1张、2张，由此可选出正确答案为(A)例131数形结合型】【山西太原03如图是用四张全等的矩形纸片 拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b 的恒等式(a+b) 24ab= ( ab) 2babb为4ab,中间的空白部分的面积为（a- b） 2.于是，可以列出等式（a+ b)2 4ab= (a b） 2.对于它的正确性，可以用因式分解的方法证明:(

12、a+b) 2 4ab = a2 + 2ab+ b2 4ab = a2 2ab + b2 = ( ab) 2.例141数形结合型】给你若干个长方形和正方形的卡片，如图所示，请你运用拼图的方法， 下载相应的种类和数量的卡片，拼成一个矩形，使它的面积等于a2 + 5ab + 4b2,并根据你拼成的图形分解多项式a2 +5ab+ 4b2.解：由a2+5ab+4b2知，可用1张大正方形，5张长方形，4张小正方形,拼成的矩形如下图所示，根据图形的面积可得a2 + 5ab+4b2= (a+b) ( a+ 4b)分析：外框围成的大正方形面积为（a+b） 2, 4个矩形的面积之和优化训练选择题:101100 一

13、.计算(2)( 2)结果为()(A) 2100(B) -2(C) 0(D) -21002 TOC o 1-5 h z .已知4x x m是一个关于x的完全平方式，则 m的值为()(A) 4(B) 4(C) (D) 1616.已知4x2 1 mx是一个关于x的完全平方式，则 m的值为()(A) 4(B) 4(C) 16(D) 44.设 m= 2002+2001X 2002+2001X 20022+ . + 2001 X 20022000, n= 20022001,则正确的关系是()(A) m=nx 2001(B) m = n (C) m=n+2002(D) m=n+2002二、 填空题：已知x、

14、y为正整数，且 x2=y2+37,则x=;方程x2y2= 29的整数解为 ;有若干个大小相同的小球一个挨一个摆放，刚好摆成一个等边三角形(如图1)；将这些小球换一种摆法，仍一个挨一个摆放，又刚好摆成一个正方形(如图2),则这种小球最少有 个；三、解答题：图1图220023 2 20022 2000计算： 32；20023 20022 20039 求 x2 4xy 5y2 2y 2004 的最小值.观察：1 X 2X 3X 4+ 1 = 52, 2X 3X 4X5+ 1 = 112, 3X 4X 5X 6+ 1 = 192,请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；根据，计算 2000X 2001

15、X 2002X2003+ 1的结果（用一个最简式子表示）.一个自然数a恰等于另一个自然数 b的平方，则称自然数a为完全平方数，如64=82,64就是一个完全平方数.若a=20022+20022X 20032+20032,求证：a是一个完全平方数，并写出 a 的平方根12公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个年轻人，他们在交谈，老人说：“我们俩的年龄的平方差是195”不等老人说完，青年人就说：“真巧，我们俩年龄的平方差也是195。”这时一对中年夫妇也凑过来说： “真是巧极了，我们俩年龄的平方差也是 195。” 现在请你想一想， 这三对人的年龄各是多少？其实符合年龄平方差为 195 的应有

16、4 对，如果你有余兴，不妨把第 4 对人的年龄也找出来。a1 = 12 + 12X 22+ 22= 32= ( 1 X 2+ 1) 2答案2）,则这种小球最少有 36 个;选择题:.101100 一.【桥西0102】计算(2)( 2)结果为(D )(A) 2100(B) 2(C) 0(D) 21002.已知4x x m是一个关于x的完全平方式，则 m的值为(C )(A) 4(B) 4(C) (D) 1616.已知4x2 1 mx是一个关于x的完全平方式，则 m的值为(D )(A) 4(B) 4(C) 16( D) 4.【重庆 02 竞赛】设 m=2002+2001 X2002+ 2001X 2

17、0022 + + 2001 X 20022000, n = 20022001,则正确的关系是（ B ）(A) m=nx 2001(B) m=n (C) m=n + 2002( D) m=n+2002二、 填空题：5.【桥西0203已知x、y为正整数，且x2= y2+37,则x= 19 TOC o 1-5 h z x 15x 156.方程x2- y2= 29的整数解为_；y 14y 147.有若干个大小相同的小球一个挨一个摆放，刚好摆成一个等边三角形（如图1）;将这 些小球换一种摆法，仍一个挨一个摆放，又刚好摆成一个正方形（如图三、解答题： TOC o 1-5 h z 32、20022 2002

18、2000. 计算： 32；2002200220033222002 2 2002 200020022000 2000解：原式= =20022002200320022003 2003一 一 一2一_ 2000(20022 1)2000T _ _ 2T 2003(20021)2003. 求 x24xy+5y22y+2004 的最小值.解：原式=(x- 2y) 2+ (y 1) 2+2003,当x=2, y=1时，原式取得最小值 2003.【黄冈02竞赛，桥东0304】观察：1X 2X 3X4+ 1 = 52, 2X 3X 4X 5+ 1 = 112, 3X4X 5X 6+1= 192,请写出一个具有

19、普遍性的结论，并给出证明；根据，计算 2000X 2001X 2002X2003+ 1的结果(用一个最简式子表示).解：结论：n (n+1) (n+2) (n+3) +1= (n2+3n+1) 2,证明：n (n+1) (n+2) (n+3) + 1=(n2+3n) (n2+3n+2) +1=(n2+3n) 2 + 2 (n2+3n) +1=(n2+ 3n+ 1) 2;2000X 2001 X 2002X 2003+ 1= ( 20002+3X 2000+ 1) 2=40060012;.一个自然数a恰等于另一个自然数 b的平方，则称自然数a为完全平方数，如64=82, 64就是一个完全平方数.

20、若a = 20 022 + 20 022 X 20 0 3 2 + 20 032,求证：a是一个完全平方数，并写出a的平方根.解：先从较小的数字探索：a2 = 22 + 22X 32+ 32= 72= ( 2X 3+ 1) 2,a3 = 32 + 32X 42+42= 132= ( 3X 4+ 1 ) 2,a4 = 42 + 42 X 52+ 52= 212= (4X5+1) 2,于是猜想：a = 20022 + 20022X 20032+ 20032= ( 2002X 2003+1) 2= ( 4010007) 2,证明采用配方法(略) 推广到一般，若 n 是正整数，则a= n2+ n2 (

21、 n+ 1) 2+ ( n+ 1) 2 是一个完全平方数n (n+ 1) + 1 2.解题策略 ： 猜想是数学中重要的思想和方法之一。 较大的数字问题可仿较小数字问题来处理， 实现了以简驭繁的策略。 在解题时， 如果你不能解决所提出的问题， 可先解决 “一个与此有关的问题” 。你能不能想出一个更容易着手的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？你能否解决这个问题的一部分？这就是数学家解题时的“绝招” 。12公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个年轻人，他们在交谈，老人说：“我们俩的年龄的平方差是195”不等老人说完，青年人就说：“真巧，我们俩年龄的平方差也是195。”这时一对中年夫妇

22、也凑过来说： “真是巧极了，我们俩年龄的平方差也是 195。 ”现在请你想一想，这三对人的年龄各是多少？其实符合年龄平方差为 195的应有 4 对，如果你有余兴，不妨把第 4 对人的年龄也找出来。解：由 x2-y2= 195= 3X5X13,可得x+y=195x+y = 65x+y=39x+y=15xy=1，x y = 3，xy=5，xy=13，A” 曰x= 98x= 34x= 22x= 14解得,y = 97, y=31, y=17, y=19) an 2 18an 81an 210 ) (x y 2z)2 (x 2y 3z)29) an 2 18an 81an 210 ) (x y 2z)2 (x 2y 3z)2初一因式分解竞赛(2006-11-21)班级 姓名 学号2 4n2322 31) x y 12) 5x y 15x y 20 x y22八x y 5xy 242_2x 6xy 16y5) 2x4 17x2 96)7)4x2_ 2_ 3_28) 8x y 2x 8xy,22、22 211) (x y ) 4x y12_ 2 2_2_ 22_ 412 ) -(x22y2)22(x22y )y2y43214 ) x x x x2. 2222, 213) (a b c ) 4ab、2 , , 215) x4 xy 4 4 y3216 ) x 3x 3x 917) x4 3x