动力学作业非线性

1、张新华:航天学院，西安交通大学10 月 11 日, 2012 西安交大动力学系统建模 非线性动态系统非线性动态系统的分析方法对于弱非线性系统：主要有两种研究方法Volterrra 级数方法 (上一讲的内容)非线性模态方法 (本一讲的内容)度非线性振动系统的非线性模态/Nonlinear多Normal Modes of the Multi-DOF Nonlinear Vibratory Systems背景介绍线性振动系统的特性之一就是其解满足叠加原理，这正是线性模态分析的理论基础。基于此原理，离散系统及弹性连续体系统的复杂动态响应才可以化简为一系列模态振子的动态响应的线性叠加，而后者的响应分析要

2、简单得多。一个自然是：能否将线性模态的概念及叠加原理推广到非线性系统中，亦即，非线性系统中是否存在非线性模态及非线性叠加原理？非线性模态 (概念与方法) 的创始人 R.M., Rosenberg背景介绍自从上个世纪 60 年代以来，始了对这一问题的探索。学者Rosenberg 就开Rosenberg, R.M., Normal Modes of Nonlinear Dual-Mode Systems, J. Appl. Mech., 1960Rosenberg, R.M., On the Nonlinear Vibrations of Systems with Many Degrees of

3、Freedom, Advanin Appd Mechanics, Vol. 9, 1966Rosenberg, R.M.,On the Existence of Normal Mode Vibrations in Nonlinear Systems, Quarterly Appd Mathematics, 1968, pp.403 406非线性模态的概念背景介绍Rosenberg 将非线性模态定义为Dynamically，当系统沿模态线运动时，所有质点将经历一种同步的周期运动，亦即，各质点在某一时刻同时达到各自的最大位移，而在另一时刻同时通过各自的平衡位置。Geometrically，系统位形

4、空间中通过坐标原点与系统能量曲面的直线（相似模态）或曲线（非相似模 态），即所谓的模态线。非线性模态的概念背景介绍Rosenberg: The normal mode vibration retains, even in nonlinear systems, aition of central importance because resonance occurshe neighborhood of normal mode vibrations, whether the system is linear or nonlinear.Szempliska-Stupnicka: 非线性弹性梁的响应：

5、用单非线性模态 Galerkin近所得结果大概是单线性模态 Galerkin近结果的二倍。非线性模态的概念背景介绍目前，非线性模态领域最具代表性的人物之一是希腊学者 Vakakis，他的研究小组深入系统地分析了若干低度保守振动系统的非线性模态。发现了：非线性模态局部化；模态分岔等新现象； Energy Pump 现象:ed EnergyTransfer, Nonlinear Energy Sink非线性模态的概念背景介绍另一组代表性人物是学者 Shaw 和Pierre，他们将（非内共振）非线性模态定义为系统状态空间中的一个二维不变子流形。保守系统的非线性模态（一种驻波）；非保守系统的非线性模态

6、（一种行波）。内模态：状态空间中的 2M 维的不变流形。NNM(Nonlinear Normal Mode): an NNM is defined as a motion which takes place on a two-dimenal invariant manifold in the systems phase space.This manifold has the following properties: it passes through a stable equilibrium poof the system and, att po, it is tangent to a pl

7、ane which is an eigenspace of the system linearized aboutt equilibrium.非线性模态的概念？线性系统：外激励的频率 = 系统的固有频率非线性系统(外)：外激励的频率 = 系统的线性化固有频率 内：假设系统的线性化固有频率分别为1, 2, , n，k( N) 阶内的定义为，存在k1, k2, , kn Z，使得下述关系式成立！k11 + k22 + + knn = 0这里 k = |k1| + |k2| + + |kn|非线性模态的概念非线性模态的定义 I Conservative SystemsNNM(Nonlinear No

8、rmal Mode): an NNM of an unded discrete or continuous system is defined as a synchronous periodic oscillation where all material pos of the system reach their extreme values or pass through zero simultaneously.线性系统的模态线：直线；非线性系统的模态线：直线：系统存在对称性；曲线：一般非线性系统；非线性模态的概念非线性模态的描述方法位形空间方法： 一种特殊的周期解 位形空间中通过坐标原点

9、的一条直线(相似模态) 或者曲线(非相似模态)； 一种驻波运动：各质点同步运动(同时通过原点、同时达到位移极大值)； 适用于保守系统！状态空间方法： 一种周期解 状态空间中通过坐标原点的一个 2 维 (非情形) 平面 (相似模态) 或者 2 维 (非情形) 曲面 (非相似模态)； 既可以描述驻波运动(保守系统)，也可以描述行波运动(非保守系统)； 适用于保守与非保守系统，即一般的非线性振动系统。非线性振动系例Figure: The 2-DOF nonlinear oscillator非线性振动系例系统的振动微分方程为33x + x+ x + k (x x ) + (x x ) = 01111

10、122 12133x + (1 + )x + (1 + )x + k (x x ) + (x x ) = 021 2131 212 212其中，1, 3 分别为系统的非对称参数。非线性模态的求解设 x2 = x2(x1)，则x2 = x x1,x2 = x”(x1)2 + x x1222代入原始方程33x + x + x + k (x x ) + (x x )1111 122 121= 0”233x (x) + x x + (1 + )x+ (1 + )x + k (x x ) + (x x )111 2131 212 21222= 0非线性模态的求解22由关系 x + x = 2T = 2(

11、h V)，1222x = 2(h V)/(1+ x )12式中，V = V(x1, x2) = V(x1, x2) 为系统的势能。进而，可由第一个方程求出 x1，代入到第二个方程之中，2 ”32(h V)/(1 + x )x + x f (x , x ) + (1 + )x + (1 + )x1 21 2132222+k1(x2 x1) + 2(x2 x1)3 = 0式中，f (x1, x2) 代表方程 x1 = f (x1, x2) 的右端项。如果令x2 = g(x1, x2)，则上述方程可简写为2 ”2(h V)/(1 + x )x + x f (x , x ) = g(x , x )1

12、21 2222非线性模态的求解非线性模态所满足的方程为2 ”2(h V)/(1 + x )x + x f (x , x ) = g(x , x )1 21 2222该方程是一个具有可动边界(Movable Ends) 的两点 BVP！该方程的边界条件为at x1 = 0 : x2 = 0 (passing throgh the origin) dx2at x1 = X10 := g/f (transversalersection condition)dx1横截性条件还可写为dx2 dx1= Vx /Vx21非线性模态的求解Galerkin 方法35设 x = a x + ax + a x +

13、21 13511代入到上述 BVP 的方程之中，分别乘以x1, x3, x5, ，然后进行积分，可以得到确定这些系11数的非线性代数方程组。求得这些系数之后，代入到上述假设表达式中，即可得到非线性模态表达式。将这些表达式代入到原始振动方程组中的第一个方程中，即到相应的非线性模态振动方程。2-DOF 非线性振动系统 (ernal Resonance)考虑如下二度非线性振动系统的内非线性模态系统的运动方程为3x= x k(x x) g x111201x2 = x2 k(x2 x1)2-DOF 非线性振动系统 (ernal Resonance)系统的一阶和二阶非线性模态Figure: The NNM

14、s of a 2-DOF systemHinged-Cled Beams考虑如下二度非线性振动系统的内非线性模态系统的运动方程为12w+ w= ww dssssssss0w(0, ) = wss(0, ) = w(1, ) = ws(1, ) = 0Hinged-Cled Beams非线性模态分岔Figure: 非线性模态的分岔Hinged-Cled Beams非线性模态 AFigure: 铰的非线性模态 IHinged-Cled Beams非线性模态 BFigure: 铰的非线性模态 IIHinged-Cled Beams非线性模态 CFigure: 铰的非线性模态 III非线性模态的几何意

15、义Figure: The NNMs of a 2-DOF system非线性模态的状态空间方法假设 n-DOF 非线性振动方程为xi + fi(x, x ) = 0,i = 1, 2, , n改写为如下形式的状态空间中的方程xi = yi, yi = fi(x, y),i = 1, 2, , n假设xi = Xi(x, y), yi = Yi(x, y), i = 2, , n代入到原系统的方程中，XXiiY y =f (x, X , , X , y, Y , , Y )nni122xyYYiiy +f (x, X , , X , y, Y , , Y )12n2nxy= fi(x, X2,

16、, Xn, y, Y2, , Yn),i = 2, , n非线性模态的状态空间方法非线性模态振动方程为x = y, y = f1x, X2(x, y), , Xn(x, y), y, Y2(x, y), , Yn(x, y) x + f1x, X2(x, y), , Xn(x, y), y, Y2(x, y), , Yn(x, y) = 0这里(1)(2)(3)(4)2X (x, y) = ax + ay + ax + axyiiiii(5)(6)(7)(8)(9)23223+ ay + ax + ax y + axy + ay + iiiii(1)(2)(3)(4)2Y (x, y) = b

17、x + by + bx + bxyiiiii(5)(6)(7)(8)(9)23223+ by + bx + bx y + bxy + by + , i = 2, , niiiii非线性模态的特性与线性模态截然不同的是，非线性模态有如下特点：（1）非线性模态的数目可能会超过系统的度数目；（2）非线性模态流形的形状依赖于系统的能量水平；Pierre 和 Shaw 的研究小组后来又发展了基于Galerkin 方法的更为精确的构造模态流形的方法，其实质是将系统的能量水平这一考虑了进来。此外，非线性模态方法还被众多的研究者以不同的方式推广应用到弹性梁等非线性连续体系统的分析之中。并与有限元方法相结合，用来分析大型非线性结构系统的动态响应问题