21-22版 习题课　函数性质的综合问题

1、习题课函数性质的综合问题第三章函数的概念与性质1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件.2.掌握函数性质的综合应用问题.学习目标随堂演练课时对点练一、函数图象的对称性二、函数性质的综合应用内容索引一、函数图象的对称性问题1当函数yf(x)的图象关于直线xa对称时，会满足怎样的条件呢？提示如图所示，在xa两边取对称的两个自变量的值，如ax，ax，由对称性知它们的函数值相等，即f(ax)f(ax)；反之，若对定义域内任意x都有f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.问题2当函数yf(x)的图象关于点(a,0)对称时，又会满足怎样的条件呢？提示如图所示，在xa两边取对称的两个自

2、变量的值，如ax，ax，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f(ax)f(ax)；反之，若对定义域内任意x都有f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于点(a,0)对称.知识梳理1.函数图象关于直线对称yf(x)在定义域内恒满足的条件yf(x)的图象的对称轴f(ax)f(ax)直线xaf(x)f(ax)f(ax)f(bx)2.函数图象关于点对称yf(x)在定义域内恒满足的条件yf(x)的图象的对称中心f(ax)f(ax)(a,0)f(x)f(ax)f(ax)f(bx)f(ax)f(bx)c即f(1x)f(x)0.又yf(x)为偶函数，f(x)f(x)，f(1x)f(x)0，即f(1x)f

3、(x)，反思感悟解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法：图象法，根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论.性质法，根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题.注意：使用性质要规范，切不可自创性质！跟踪训练1若函数yf(x)在(0,2)上单调递增，函数yf(x2)是偶函数，则下列结论正确的是解析yf(x2)是偶函数，f(2x)f(2x).故yf(x)的图象关于直线x2对称，二、函数性质的综合应用(2)用定义证明f(x)在(1,1)上是增函数.证明任取x1，x2(1,1)，且令x1x2，1x1x21，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在(1,1)上

4、是增函数.(3)解不等式：f(t1)f(t)0.解f(t1)f(t)f(t).f(x)在(1,1)上是增函数，反思感悟奇偶性、单调性的综合应用利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值，解题时，一定要特别注意函数的定义域.跟踪训练2已知函数f(x)的定义域为(2,2)，函数g(x)f(x1)f(32x).(1)求函数g(x)的定义域.(2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)0的解集.解由g(x)0，得f(x1)f(32x)0，所以f(x1)f(32x).因为f(x)为奇函

5、数，所以f(x1)f(2x3).而f(x)在(2,2)上是减函数，1.知识清单：(1)函数的对称轴和对称中心.(2)函数奇偶性的综合应用.2.方法归纳：数形结合，等价转化.3常见误区：容易忽视奇函数中的隐含条件f(0)0.课堂小结随堂演练1.下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是12342.设f(x)是R上的偶函数，且在(0，)上单调递减，若x10，则A.f(x1)f(x2)B.f(x1)f(x2)C.f(x1)f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小关系不确定123412343.已知定义在R上的奇函数f(x)，且当x0，)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x1)f(1)0的解集是A

6、.(，1) B.(1，)C.1，) D.(，1解析因为函数f(x)是奇函数，所以不等式f(2x1)f(1)0等价于f(2x1)f(1).又当x0时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在R上为增函数，所以f(2x1)f(1)等价于2x11，解得x1.4.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x2)5的解集是_.(7,3)1234课时对点练基础巩固123456789101112131415161.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(2)的值是A.0 B.1 C.2 D.4解析由题意得f(02)f(2)f(0)0.12345678910

7、1112131415162.已知f(x)(m1)x22mx3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上A.单调递增 B.单调递减C.有增有减 D.增减性不确定解析由f(x)是偶函数，即f(x)f(x)，得m0，所以f(x)x23，画出函数f(x)x23的图象(图略)知，在区间(2,5)上单调递减.12345678910111213141516解析f(x)f(4x)，又函数f(x)为奇函数，4.已知偶函数yf(x)在区间0，)上单调递增，且图象经过点(1,0)和(3,5)，则当x3，1时，函数yf(x)的值域是A.0,5 B.1,5C.1,3 D.3,512345678910111213141516

8、解析偶函数yf(x)在区间0，)上单调递增，则函数在3，1上单调递减，且f(3)f(3)5，f(1)0，故函数的值域为0，5.12345678910111213141516解析偶函数满足f(x)f(|x|)，根据这个结论，123456789101112131415166.(多选)若函数yf(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是A.3个交点的横坐标之和为0B.3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关C.f(0)0D.f(0)的值与函数解析式有关123456789101112131415167.已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(4,4)，

9、且在(4,0上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)g(x)0的解集是_.(4，2)(0,2)12345678910111213141516解析设h(x)f(x)g(x)，则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，所以h(x)是奇函数，由图象可知，当4x0，g(x)0，即h(x)0，当0 x2时，f(x)0，即h(x)0，所以h(x)0的解集为(4，2)(0,2).123456789101112131415168.设f(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)的图象关于直线x 对称，则f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_.012345678910111213141516解析f(

10、x)是定义在R上的奇函数，f(0)0.12345678910111213141516即f(x)f(1x).f(2)f(11)f(1)f(1)0，f(3)f(12)f(2)f(2)0，同理，f(4)f(5)0.f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)0.123456789101112131415169.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)1 .(1)求f(2)的值.解根据题意，得函数f(x)为奇函数，12345678910111213141516(2)用定义法判断yf(x)在区间(，0)上的单调性.在(，0)上任取x1，x2，且x1x2，又由x110，x210，可得f(x1)

11、f(x2)0，即f(x1)f(x2).由定义可知，函数yf(x)在区间(，0)上单调递减.12345678910111213141516(3)求当x0时，f(x)的解析式.由函数f(x)为奇函数知f(x)f(x)，1234567891011121314151610.已知函数f(x)x2mx(m0)在区间0,2上的最小值为g(m).(1)求函数g(m)的解析式；12345678910111213141516即00时，h(x)g(x).若h(t)h(4)，求实数t的取值范围.12345678910111213141516解因为当x0时，h(x)g(x)，易知函数h(x)在(0，)上单调递减，因为定

12、义在(，0)(0，)上的函数h(x)为偶函数，且h(t)h(4)，所以0|t|4，解得4t0或0t4.综上所述，实数t的取值范围为(4,0)(0,4).12345678910111213141516综合运用12345678910111213141516解析函数yf(x2)为偶函数，则函数yf(x2)的图象关于y轴对称，函数yf(x)的图象关于直线x2对称，1234567891011121314151612.若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2R，有f(x1x2)f(x1)f(x2)1，则下列说法一定正确的是A.f(x)1为奇函数 B.f(x)1为偶函数C.f(x)1为奇函数 D.f

13、(x)1为偶函数解析对任意x1，x2R有f(x1x2)f(x1)f(x2)1，令x1x20，得f(0)1.令x1x，x2x，得f(0)f(x)f(x)1.f(x)1f(x)1f(x)1，f(x)1为奇函数.1234567891011121314151613.设定义在R上的奇函数f(x)在(0，)上单调递增，且f(1)0，则不等式xf(x)f(x)0的解集为A.x|1x1B.x|x1或0 x1C.x|x1D.x|1x0或0 x112345678910111213141516解析奇函数f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(x)，xf(x)f(x)0，xf(x)0，又f(1)0，f(1)0，从而

14、有函数f(x)的图象如图所示.则不等式xf(x)f(x)0的解集为x|1x0或0 x1.14.已知函数f(x) 若f(x1)0，则x0，f(x)(x)22xx22xf(x)，同理可得，当x0时，函数f(x)单调递增，所以不等式f(x1)f(2x1)等价于|x1|0，解得x0或x2.12345678910111213141516拓广探究1234567891011121314151615.已知函数f(x)是R上的偶函数，且对任意的xR有f(x3)f(x)，当x(3,0)时，f(x)2x5，则f(8)等于A.1 B.9 C.5 D.11解析根据题意，函数f(x)满足f(x6)f(x)，则f(8)f(2)，由函数f(x)为偶函数，得f(2)f(2).当x(3,0)时，f(x)2x5，则f(2)2(2)59.则f(8)f(2)f(2)9.1234567891011121314151616.定义在(，0)(0，)上的函数yf(x)满足f(xy)f(x)f ，且函数f(x)在(，0)上单调递减.(1)求f(1)，并证明函数yf(x)是偶函数；1234567891011121314151