平面向量数乘运算

1、优质资料欢迎下载平面向量的数乘运算一、知识精讲1向量的数乘运算(1)向量的数乘运算的概念：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，其长度与方向规定如下：|a|a|；当时，与a方向相同；a(a0)的方向当时，与a方向相反.特别地，当0或a0时，0a0或00.(2)向量数乘的运算律：(a)()a；()aaa；(ab)ab.(3)向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a，b，以及任意实数、1、2，恒有(1a2b)1a2b.2共线向量定理与向量a(a0)b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.小问题大思维1若a0，则0对吗？向量应为.例111(2a8

2、b)(4a2b)的结果是优质资料欢迎下载提示：不对当a0时，0或a0.2共线向量定理中ba，a若为0如何？提示：当a0时，则不存在(b0时)或者不唯一(b0时)3已知向量a，b不共线，则ma3b与n2a6b共线吗？提示：n2m，故m与n共线4与非零向量a共线的单位向量是什么？提示：由于单位向量的长度总等于1，所以与非零向量a共线的单位a|a|二、典例精析32()A2abB2baCbaDab答案B变式练习：1若abc，化简3(a2b)2(3bc)2(ab)()AaCcBbD以上都不对解析：3(a2b)2(3bc)2(ab)3a6b6b2c2a2ba2(bc)又abc，故原式a.答案：A形又BMB

3、C，CNCD，试用a，b表示OM，ON，MN.优质资料欢迎下载例2如图所示，四边形OADB是以向量OAa，OBb为邻边的平行四边1133变式练习：1、在本例条件中，试用a，b表示CM.E2、设D、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC2BD，CE2EA，AF2FB，则ADBFCF与BC()A反向平行B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直答案：A例3设两非零向量a和b不共线，如果ABab，CD3(ab)，BC优质资料欢迎下载2a8b.求证：A、B、D三点共线变式练习：已知e1，e2是两个不共线的向量，a2e1e2，bke1e2.若a与b是共线向量，求实数k的值解题高手：如图所示，已知

4、平行四边形ABCD的边BC、CD的中点分别为K、L，且AKe1，ALe2，试用e1，e2表示BC，CD.优质资料欢迎下载三、课后检测一、选择题mbn1已知两不共线的向量a，若对非零实数m，有manb与a2b共线，则n()C2A212优质资料欢迎下载B21D.m，.n2，n解析：manb(a2b)，m12答案：C2如图，向量OA，OB，OC的终点在同一直线上，且AC3CB，设OAp，OBq，OCr，则下列等式中成立的是()ArpqCrpq13223122Brp2qDrq2ppq.解析：AC3CB，AB2CB2BC，rOCOAABBC1322答案：A3在ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD

5、的中点，AE的延长线交CD于点F.若ACa，BDb，则AF()A.abB.abC.abD.ab1142112421331233DFABDC.CFDC.AFACCEaCDa(COOD)解析：如图DEFBEA.DFDE1ABEB3.1133232233a2a2bab.优质资料欢迎下载21121333答案：B4已知平面内有一点P及一个ABC，若PAPBPCAB，则()A点P在ABC外部C点P在线段BC上B点P在线段AB上D点P在线段AC上在eqoac(,5)ABC中，已知D是AB边上一点，若AD2DB，CDCACB，则得CDCA2(CBCD)CDCACB，所以.36在ABCD中，E，F分别在DC和A

6、B上，且DEDC，AFAB，则AE与CFDEDC，AFAB，AEADDEab，CFCBBFa1bAE.解析：由AN3NC，得4AN3AC3(ab)，AMab，所以MN(a解析：由PAPBPCAB，得ABPBPAPC，即APPAPC，2APPC.答案：D二、填空题13等于_解析：由AD2DB，1233232答案：1121313的关系是_解析：设ADa，ABb.112131311313答案：CFAE7在ABCD中，ABa，ADb，AN3NC，M为BC的中点，则MN_.(用a，b表示)1324b)(ab)ab.答案：abAGAD(ABBD)(ABBC)ab.答案：abtb，(ab)三向量的终点共线？

7、使atba(ab)，化简得(1)a(t)b.优质资料欢迎下载11124411448如图，在三角形ABC中，ABa，BCb，AD为BC边的中线，G为ABC的重心，用a、b表示向量AG_.解析：D是BC的中点，G是重心，2221333221213333三、解答题9已知a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，则实数t为何值时，a，13解：由已知，存在唯一实数，13233210，由于a，b不共线，故3，解得33t0，22t1，即t时，三向量的终点共线所以OBOE，|OB|OE|.1210设O是ABC内部一点，且OAOC3OB，求AOB与AOC的面积之比解：如图，由平行四边形法则，知OAOCOD，其中E为AC的中点所以OAOC2OE3OB.2233