2022年全等三角形及其应用含解答

1、全等三角形及其应用专题辅导 1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形； 两个全等三角形中,相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫对应边,相互重合的角叫对应 角； 2. 全等三角形的表示方法：如 ABC 和 A B C是全等的三角形,记作 “ ABC A B C 其中,“”读作“全等于”；记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上； 3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等,对应角相等； 4. 查找对应元素的方法 （ 1）依据对应顶点找 假如两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边； 通常情形下,两个三角形

2、全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便 可写出对应的元素； （ 2）依据已知的对应元素查找 全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边； （ 3）通过观看,想象图形的运动变化状况,确定对应关系； 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观看和分析,可以看出其中一个是由另一个经过以下各 种运动而形成的； 翻折 如图（ 1）, BOC EOD, BOC 可以看成是由 EOD 沿直线 AO 翻折 180 得到的； 旋转 如图（ 2）, COD BOA , COD 可以看成是由 BOA 围着点 O 旋转 180 得到的； 平移 如图（ 3）, DEF AC

3、B , DEF 可以看成是由 ACB 沿 CB 方向平行移动而得到的； 5. 判定三角形全等的方法： （ 1）边角边公理,角边角公理,边边边公理,斜边直角边公理 （ 2） 推论：角角边定理 6. 留意问题： （ 1）在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等； （ 2）不能证明两个三角形全等的是, a: 三个角对应相等,即 AAA ； b :有两边和其中一角对应相等, 即 SSA； 全等三角形是争论两个封闭图形之间的基本工具,同时也是移动图形位置的工具；在平面几何学问 1 / 5 第 1 页,共 5 页应用中,如证明线段相等或角相等,或需要移动图形或移动图形元素的位置,常需要借助全等三角形的

4、学问； 7. 全等三角形学问的应用 （ 1） 证明线段（或角）相等 例 1：如图,已知 AD=AE,AB=AC. 求证： BF=FC 分析 ：由已知条件可证出 ACD ABE ,而 BF 和 FC 分别位于 DBF 和 EFC 中,因此先证明 ACD ABE ,再证明 DBF ECF,既可以得到 BF=FC. （ 2）证明线段平行 例 2：已知：如图, DE AC ,BF AC ,垂足分别为 E, F, DE=BF , AF=CE. 求证： AB CD 分析 ：要证 AB CD,需证 C A ,而要证 C A,又需证 ABF CDE. 由已知 BF AC , DE AC ,知 DEC BFA=

5、90 ,且已知 DE=BF , AF=CE. 明显证明 ABF CDE 条件已具备,故 可先证两个三角形全等,再证 C A, 进一步证明 AB CD. D CA E F B （ 3）证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等 例 3：如图,在 ABC 中, AB=AC ,延长 AB 到 D,使 BD=AB ,取 AB 的中点 E,连接 CD 和 CE. 求证： CD=2CE 分析 ： 折半法：取 CD 中点 F,连接 BF,再证 CEB CFB.这里留意利用 BF 是 ACD 中位线 这个条件； 2 / 5 第 2 页,共 5 页（）加倍法 证明：延长 CE 到 F,

6、使 EF=CE ,连 BF. C41A E 23B DF 说明 ：关于折半法有时不在原线段上截取一半,而利用三角形中位线得到原线段一半的线段；例如 上面折道理题也可这样处理,取 AC 中点 F,连 BF 如图 （ B 为 AD 中点是利用这个方法的重要前提）, 然后证 CE=BF. 4 证明线段相互垂直 例 4：已知：如图, A , D, B 三点在同一条直线上, ADC , BDO 为等腰三角形, AO , BC 的大 小关系和位置关系分别如何？证明你的结论； 分析 ：此题没有直接给出待证的结论,而是让同学们先依据已知条件推断出结论,然后再证明所得 出的结论正确；通过观看,可以估计： AO=

7、BC , AO BC. CA O E B D3 / 5 第 3 页,共 5 页中考点拨 例 1如图,已知 ABC 为等边三角形,延长 DE. 求证： EC=ED BC 到 D,延长 BA 到 E,并且使 AE=BD ,连接 CE, 分析 ：把已知条件标注在图上,需构造和 AEC 全等的三角形,因此过 D 点作 DF AC 交 BE 于 F 点, 证明 AEC FED 即可； E F A B CD题型呈现 例 1 如图, ABC 中, C 2B, 1 2；求证： AB AC CD 分析 ：在 AB 上截取 AE AC,构造全等三角形, AED ACD,得 DE DC,只需证 DE BE 问题便可

8、以解决 剖析 ：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种,一种是截长法（即在长线段上截取 一段等于两条短线段的一条,再证余下的部分等于另一条短线段）；如作 AE AC 是利用了角平分线是 角的对称轴的特性,构造全等三角形,另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段,再证明延 长的部分与另一条短线段相等）,其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题,实际上仍是 构造全等三角形,这种转化图形的才能是中考命题的重点考查的内容 4 / 5 第 4 页,共 5 页实战模拟 1. 以下判定正确选项（） （ A ）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 （ B ）有两边对应相等,且有一角为 30的两个等腰三角形全等 （ C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 （ D ）有两角和一边对应相等的两个三角形全等 2. 已知：如图, CD AB 于点 D, BE AC 于点 E, BE, CD 交于点 O,且 AO 平 F C1NB 分 BAC求证： OB OC 3. 如图,已知 C 为线段 AB 上的一点, ACM 和 CBN 都是等边三角 M形, AN 和 CM 相交于 F 点, BM 和 CN 交于 E 点；求证： CEF 是等边三 E 2角形； A 4.如图,在 ABC 中, AD 为 B