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1、全国高中数学联赛模试题 2 第一试时间： 80 分钟满分： 120 分 2 的最小一、填空题（本大题共8 小题,每道题 8 分,共 64 分）1. 函数ysinxcosx1的值域是 _. sinxcosx12.设 a, b, c 为RtABC的三边长 , C900点m, n在直线 ax+by+c=0 上. 就 m 2+n值是 _. 3. 设 a , b , c 是实数,如方程 x 3ax 2bx c 0 的三个非负实根构成公差为 1 的等差数列,就 a b 3 c 的最大值是 . 4已知数列 a 满意 a 1 m m N * , a n 12 a n a n 为偶数 ,如 a 4 7,就m全部

2、可3 a n 1 a n 为奇数 能的取值为 .5三棱锥 A-BCD 中, BCD 、 ACD 均为边长为 2 的正三角形 , BCD 在平面 内,侧棱 AB= 3 现对其四个顶点随机贴上写有数字 1 至 8 的 8 个标签中的 4 个,并记对应的标号为 f , 取值为 A、B、C、D,E 为侧棱 AB 上一点如 |BE|: |EA|=fB ：fA ,就二面角E-CD-A 的平面角 大于 的概率为 . 4n 1 n6. 正整数 n 2022 满意：关于复变量 z 的方程 3 z z 1 0 有模长为 1 的复根,就这样的正整数 n 的个数为 . 7. 已知 ABC 的外接圆半径为 R ,如 a

3、 cos A b cos B c cos C a b c,就 ABC 的a sin B b sin C c sin A 9 R外形为 . b 18. 设 函 数 f x | lg x 1 |,实 数 a , b a b 满 足 f a f ,b 2f 10 a 6 b 21 4 lg 2,就 ab .二、解答题（本大题共 3 小题,共 56 分）29（16 分） 设数列 a n 满意 a 0 N , a n 1 a n.a n 1求证：当 0 n a 0 1 时, an a 0 n . 其中 x 表示不超过 x 的最大整数 210（20 分） 如 a 、 b 、 cR ,且akabccab 2ab4c2,求 k 的最大值 .b11（20 分） 已知Em ,n 为抛物线y22pxp0内肯定点, 过 E 作斜率分别为k1,k2的两条直线,与抛物线交于A ,B ,C,D,且M ,N分别是线段AB,CD的中点 . 1当n0,且k1k201时,求EMN 面积的最小值；2如k1k2.证明：直线 MN 过定点 . 其次试（时间： 150 分钟；总分： 180 分）1. （40 分）对任意给定的整数 n 2,求最大的 C ,使得对任意的正实数 a 1 , a 2 , , a n,都有 a 1 2 a 2 2 a n 2 a 1 a 2 a n 2C n a 1 a

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