(完整版)极值点偏移问题专题-对数平均不等式

1、 /6 /6极值点偏移对数平均不等式(本质回归)笔者曾在王挽澜先生的著作建立不等式的方法中看到这样一个不等式链：2aba+bbalblnba、；ab；eibalbIna1baJab丿不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题对数平均不等式：对于正数a,b，且a丰b，定义为a,b的对数平均值，且lnalnb有祐bab凹，即几何平均数对数平均数算术平均数，简记为lna一lnb2G(a,b)L(a,b)0,贝Uklnaklnb=ab,lnalnbklnaa=klnbb，构造函数f(x)=klnxx,贝0f(a)=f(b)由f(x)=一1得xf(k)=0，且f(x)在(0,k)上Z，在(k,+8)上,

2、x=k为f(x)的极大值点对数平均不等式即J乔k2k，这是两个常规的极值点偏移问题，留给2Iab】，则.abablnalnba+bTb(t1)lntb(t+1)2t1t+1optolnt242lntb,ae(b,+8)，则,aba-bolna-lnb*-追olna-lnb-密+竺0ina-lnbJbJaJbJa0，得f(a)在(b,)上，有记f(a)=Ina-lnb-等+*f，(a)=1一1一L=-a2yjab2/a2Jabf(a)b，则由(Ilnaexdx)(Ilna(ex)2dx)(Il一a)2C2一b2)(lna一lnb)，lnblnblnb2a-ba+blna-lnb2由fja1dxI

3、bx丿adxIbx2丿a12dx)得(ina-lnb)2bf1-1(a-b),Iba丿，亦a-blna一lnb证法5(几何图示法)过f(x)=1上点x作切线，由曲边梯形面积，大于直角梯形面积，可得(a-b)1Ia1dx=lna-lnb，即一出a+bbxlna一lnb22，即访口lna一lnb如上右图，由直角梯形面积大于曲边梯形面积，可得Idx=InJab(ja-bx由对数平均不等式的证法1、2即可看出，它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式再解前面举过的例题再解例1:f(x)=f(x)即xe-x1=xe-x2,lnxx=lnxx，则士Z=112121122lnx-lnx12

4、（正数x,x的对数平均数为1）,于是1，得xx2.12再解例2:f(x)=(x-2)ex+a(x-1)z=0即(2-x)ex=a(x-1)z0；由f(x)=f(x)=0得(2一x1匕=a$1一t，两式相减得1I(2一x)ex2a(x一1)2222+x一2)，2(2-x)ex1-(2-x)ex2=a(x-x)(x122T222121卜面用反证法证明x+x2.12右x+xn2，贝0(2x)exi(2x)ex21211220，(2-x)ex1(2-x)ex2，取对数得12In(2-x)+xln(2-x)+x，贝011ln(2-x)-ln(2-x)而由对数平均不等式得x-xln(2-x)-ln(211

5、，(2-x)-(2-x)12x)ln(2x)ln(2x)212(2-x)+(2-x)x+x矛盾再解例3：由xlnx11=xlnx=m得22x1lnx1mlnx2x-x+2lnx-lnx1x+x12lnxlnxlnx-lnx12m(lnx+lnx)12lnxlnx12Zlnxlnx12m+lnxlnx12-mm(lnx+lnxlnx+lnxln(xx)，得xx.121212e2由对数平均不等式得0,lnx0,lnx0)，1x-x再解练习1:由lnx-ax=lnx-ax得21122lnx-lnx121，则-1222-ae已证xxe2oInx+Inx2oax12121再解例4：同例1，不再详述再解例

6、5:同例1得到xx2212xxVxx1+Ina1+InbIna一Inba一b再解例7(2):易得=g(0,1)，则1,则aba一blna一lnba+b1212f(x)=0即ex=ax=lna+ln(x-1)，贝0 x=lna+ln(x-1)x=lna+ln(x-1)2-得x一x=(x一l)-(x-1)=ln(x一1)-ln(x一1)，则121212(x一1)一(x一1)ln(x-1)-ln(x-1)12=1（正数x-1,x-1的对数平均数为1）.12于是,j(x-l)(x-1)132_，得(x-1)(x-1)4.12+得x+x=2lna+ln(x-1)(x-1)2lna，所以Jxx73lna，

7、由此1212V122可得f4,x+x，x+2x=(xx+x)+x4+2612,lnx-lnxa2a12a12122aaa121,a+b2.2再解例8:2lnx一ax=2lnx一ax,2(inx-lnx)=a(x-x)，得再解练习2:原题结论抄写有误，应更正为广xx4nx+x212124顺带地，也有号岁nxxx+xo1112(x-1)(x-1)1.12xx12极值点偏移问题，多与指数函数或对数函数有关，解题的关键有以下几步：(1)根据f(x)=f(x)=0建立等量关系；12(2)等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数；(3)通过恒等变形转化出对数平均数(的值或仍用x,x表示)，代入对数平均不等式求12解.细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有局限性，也不是万能的(再解过程中漏掉了例6)，其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键，最后再举一例.例10设函数f(x)=Inx-ax2+(2-a)x的两个零点是，x，求证：20，且f(x)在(0,|丿上z上不妨设-10ox+x1222，构造函数aF(x)=f(x)-f-x可证.Ia丿证法2:由题意得lnx1-axi+(2-a)x1=0，两式相减得Inxax2+12a丿x=0222lnx-lnx-a(x+x)(x-x)+(2-a)(x-x)=0，12121212lnx-l