数字信号处理第12讲例题

1、一例题例1、 直接计算下面两个序列的卷积和 n0 n N 1其他nh(n) 0 n n 0 nnx ( n ) 0n n 0 0用公式表示。分析：1、卷积求和式中m是哑元(n看作参量)，结果中n是变量。2、分为四步：翻褶(m)，移位(n)，相乘，相加。求得一个n的y(n)值。3、在n的不同时间段上求和范围不同，要分段求解。解：y ( n ) x ( n ) h ( n ) x ( m ) h ( n m）m （1）当 n n0时，y(n)=0。 n n0N 1 两序列部分（2）当 n0。因而nnm n0m n0 n my ( n ) x ( m ) h ( n m ) m n0n0n 1nm

2、n n0 n n01 m n0 n 1 n0n 1 n0 y(n) nn0 (n 1 n ) 0当 n n0 N 1时，两序列全，因而nx m h n m y ( n ) m n Nn 1nmm n 0 n mnn 0m n N 1m n N 1n 1n N 1 n n 01 NN n 1 n 0 Ny(n) N nn0 例2、判断下列序列是否周期性的若是周期性的确定其周期。x(n) A cosn 37（1）85 n 8jx(n) e（2）x ( n ) A cos( 0 )分析：当当的周期性判断方法，则x(n)的周期为N；220为整数时，如2 0 N0为有理数时，如 2 P Q，（P、Q为互

3、素的整数，则x(n)0的周期为P；2 0（3）当为无理数时 ，则x(n)为非周期序列。x (n ) A cos( 3 n )解：（1）由7820 237143所以x(n)是周期性的，周期为14。（2）由x ( n ) e 5 n 8j ) co s( 5 n) j sin ( 5 n88 co s( 5 n ) j sin ( 5 n )8820 28 58是无理数，5所以x(n)是非周期序列。y(n) x(n)2例3、判断系统是否为线性系统、是否为移不变系统。分析：利用定义来判断：（1）线性：满足可加性和比例性：Ta1 x1 (n) a2 x2 (n) a1Tx1 (n) a2Tx2 (n)

4、（2）移不变性：输入和输出的移位相同：Tx(n m) y(n m)y(n) x(n)2解：由y (n) Tx (n) x (n)2，111a(n) b(n) ax (n)2 bx (n)21212而T ax (n) bx(n) ax (n) bx (n)21212ax (n)2 bx (n)2 2abx (n) x (n)1212即Tax1 (n) bx2 (n) ay1 (n) by2 (n)所以，系统不是线性系统。又因为Tx(n m) x(n m)2 , y(n m) x(n m)2即Tx(n m) y(n m)所以系统是移不变系统。例4、对系统N 1y(n) k x n k , 其中0

5、,1 ,N 1为常数.k 0抽样响应h(n),并判断系统是否稳定？稳定的条件是什么？求其分析（1）当线性移不变系统的输入为(n)， 其输出h(n)称为抽样响应，h(n)=T(n)抽样响应，可用即（2）已知线性移不变系统的来判断稳定性。n p h(n)根据抽样序列的性质，0 n N 1其它h(n) n0N 1S n n0 0 ,1,N 1为常数.h(n)由此得因为n所以系统是稳定的。例5、以下序列是系统的抽样响应h(n)，判断该系统是否因果的、稳定的。 1 u(n)u(n) 1n!n3 u(n)（1）（2）（3）（4）3 u(n)nn2 n 3（5）n p h(n)分析：已知线性移不变系统的来判

6、断稳定性。抽样响应，可用h(n) 0, n 0，判断因果性。用解：（1）当n0时，h(n)=0，所以系统是因果的。因为 h(n)1n 2102112n 所以系统不稳定。n 0（2）当n0时，h(n)=0，所以系统是因果的。因为11 1 1 11h(n) 1n!0!1!21321nn0所以系统是稳定的。（3）当n0时，h(n)=0，所以系统是因果的。因为n n 0 30 31 32 3nh (n )所以系统不稳定。（4）当n0时，h(n) 0，所以系统是非因果的。因为n0h(n) n 3 2 31 32 303n所以系统是稳定的。（5）当n0时，h(n) 0，所以系统是非因果的。因为h(n) (

7、n 3) 1 nn所以系统是稳定的。例6、有一理想抽样系统，抽样角频率为s 6 ，抽样后经理想低通滤波器还原，其中 31H ( j) 2a 30现有两个输入 x1(t) cos(2 t); x2 (t) cos(5 t) ，输出信号y1(t), y2 (t)有无失真？为什么？分析： 要想时域抽样后能不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大f s2f h于2倍信号谱的最高频率 ，即满足解：根据奈定理： 2 3h1x (t ) cos 2 ty1 (t)由，频谱中最高角频率，所以1无失真。 5 3h1y2 (t)x 2 (t ) co s 5 t由，频谱中最高角频率，所以有失真。二Z变换 例题重要概

8、念：连续系统：变换变换变换Z变换离散系统：重点：Z变换收敛域， 零极点的概念，Z变换的基本性质取样响应h(n)的Z变换-系统函数和定理，H (z) h(n)Z nn与系统稳定性之间的关系。例1求以下序列的Z变换，并求出对应的零极点和收敛域：x(n) a n , a 1（1）nx(n) 1u n（2）（3）2 nx(n) u n 112x(n) 1 , n 1n（4）分析： Zx(n) x(n)zn中，n的取值范围是n的有值范围，z变换的收敛域是满足x(n)zn M 的z值范围。n解：（1）由z变换的定义可知：X (z) a n zn1 an zn an znnnn0 n1 az 1an zna

9、n zn1 az1 an0z1 a2(a2 1)z(1 az)(1 az1)a(z 1 )(z a)aa 1且 1 即z 1 aaz a z收敛域为z a, z 1az 0, z 极点为零点为（2）由z变换的定义可知：X (z) 1 nnnznu nz1122z1112nn0 1,即 z收敛域为：1 1122zz 12极点为z 0零点为：（3）由z变换的定义可知：X (z) n n11 u n 1 znnnz n1212n 2z 12n zn1 2z1z112 1即 z2z12收敛域为z 0z 12极点为零点为Xz z n（4）由z变换的定义可知：1nn1 (zn1) 1, z dX z 1

10、(n)z n11dznz z2n1n1X (z) ln z ln(1z) ln()z z1 1z与 dX z X (z)X (z)的收敛域相同，所以的收敛域是dzzz 0, z 1极点零点例2 假如 x(n)的z变换表示式为下式，问X (z)可能有多少不同的收敛域，它们分别对应什么序列？z211X (z) 41z2 1z2 z1154384分析：有限长序列的收敛域为0 , n1 n n2z0 , n1 0特殊情况：z右边序列的收敛域为 Rx-|z|Rx-|z|;因果序列左边序列的收敛域为 0 Rxz特例0 R, n n 0zx2 RxRxz双边序列的收敛域为有三种收敛域：圆内，圆外，环状。z

11、0, z （需单独。）解：对X(z)的分子和分母因式分解，得1z1 1z1 1122X (z) z1 zz21jz1 1jz1 1z1 1212 3 4从上式得出，X(z)的零点为 1/2, 极点为j/2, -j/2, -3/4。所以 X(z) 的收敛域为：z（1）为双边序列。1234z12（2）为左边序列 。（3）z3 4为右边序列 。例3用长除法，留数定理法，部分分式法求下列X z 的z反变换。z111X (z) 2 , z12z2114分析：长除法：对右边序列，分子分母都按z的降幂排列。对左边序列分子分母都按z的升幂排列。部分分式法：若X(z)用z的正幂表示，则按X(z)/z写成部分分式

12、，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z反变换x(n)。 z z X (z)zn（3）留数定理法：Re s( X (z)zn1)z zkz zkk1( z zk( z zk )抵消。要化成的形式与)围线内极点留数时不取 “”，围线外极点留数时要取 “”，解：（）长除法z1111X (z) 2,z2z1111412，故x(n)为因果序列 ，所以分子分z1可知极点z=1/2，而收敛域为2z1母按降幂排列。1z21214z11112z1112z112即nn0z1z2znX (z) 1x(n) 12121412nu(n)所以：1czn1dzx(n) 1 2 j（b）留数定理法：11z12设为z内

13、的逆时针方向闭合曲线。12n 0 时当11zn1zn1z 1z1122在内有1/2一个单极点，则znnx(n) Re s , n 012 z 12z 12又因为x(n)是因果序列，故n0z时x(n)=0，问相应的定理是什么？一个序列x(n)，其Z变换为X (z) 12X(z)的收敛域包括圆，试求其x(0)值。分析：求如何由双边序列z变换X(z)求序列初值x(0)。把序列分成因果序列和反因果序列两部分（它们求初值的表达式不同），分别求x(0)将两部分的x(0)相加即得所求。解：当序列满足n0，x n =0时有0X (z) x(n)zn x(0) x(1)z x(2)z2nlim X (z) x(

14、0)所以有z0若序列x(n)的z变换为 7 zX (z) 12241z1 z2(z 2)(z 1 )522zz114 3 X(z) X(z)12z 2z 12所以X(z)的极点为z 1=2， z 2=1/2由题知，X z 的收敛域包括圆，则其收敛域为z 212因而，x1 (n)为n 0时有值的左边序列， x2 (n)为n 0 时有值的右边序列。则z1x (0) lim X z lim 0411z2z 0z 0z1x (0) lim X(z) lim31322z 12zz得x2 (0) 13x1(n)和x2 (n)例5y(n)与另两个信号一的关系是y(n) x1(n3) x2 (n1)x (n)

15、 ( 1 )n u(n), x (n) ( 1 )n u(n)其中已知12a231anu(n) , z1 az1利用Z变换的性质求y(n)的z变换Y(z)。分析x(n) X (z),x(n) X (z1)（1）移位定理x(n m) zm X (z1)x(n m) zm X (z)（2）时域卷积定理y(n) x1(n) x2 (n)则Y (z) X1(z) X 2 (z)解：根据题目条件11x (n) x (n) 1z12z1111213又由移位定理得z3x1(n 3) ,z12z11121x (n) X(z1) z1,13221z13z1x2 (n 1) 1z , 3z13而y(n) x1 (

16、n 3) x2 (n 1)Y (z) x1(n 3)x2 (n 1)3z3所以z1z3 z 3 z z111z121122 3z12收敛域例6已知用下列差分方程描述一个线性移不变因果系统y(n) y(n 1) y(n 2) x(n 1)（1）求这个系统的系统函数，并其收敛域；（2）求此系统的抽样响应；（3）此系统为不稳定系统，请找出一满足上述差分方程的稳定的（非因果）系统的抽样响应。H (z) Y (z) / X (z) h(n)分析：系统函数求收敛域，要先求零极点。收敛域为z平面某个圆外，则为因果系统（不一定稳定）收敛域若包括圆，则为稳定系统（不一因果）。解：（1）对题中的差分方程两边作z变换，得Y (z) z1Y (z) z2Y (z) z1X (z)1Y (z)zz所以H (z) X (z)1 z1(z a )(z a ) z212z 0,z 可求得零点为z1 a1 0.5(15) 1.62, a2 0.5(15) 0.62极点为z21.62是其收敛域。z又因为是因果系统，所以因为z1zzH (z) a a z a(z a )(z az a)2 2 12111 n0an z n 111an z n11a a1 a z1 a za a11 n02 112121所以h(n) a ann