九年级相似三角形动点问题(学生)

1、九年级相似三角形动点问题 九年级相似三角形动点问题 相似三角形动点问题.选择题（共1小题）5X5.如图，小正方形的边长均为 1,每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图 的方格中，作格点三角形和 ABC相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（）A. 0.5 , 2.5 B, 0.5 , 5C. 1, 2.5D. 1,5解：如图所示， DEF和AGHI分别是面积最小和面积最大的三角形.因为DEF AGHI 和4ABC都相似，AB=/2, DE=1, GH=10, 所以它们的相似比为 DE AB=1:也，GH AB=qfl: V2,的面积为X 2X 1=1,

2、2又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而4 ABC故 DEF和AGHI面积分别为0.5, 5.故选B.填空题（共10小题）2.如图，P是RtABC斜边AB上的动点（P异于A、B）, / C=90 , / B=30 ,过点P的直线截 ABC使截得的三 角形与 ABC相似，当段=工或亚或至 时，截得的三角形面积为 ABC面积的BA 一2一 4 一4一4解：设P （lx）截得的三角形面积为 S, S4Saabc;则相似比为1: 2,4第1条l 1,此时P为斜边AB中点，1i/AG一第2条l 2,此时P为斜边AB中点，l 2/BG一 BA- 2第3条l 3,此时BP与BC为对应边，且世=!瓦同B

3、PBF一 区 E为顶点的三角形与 ABC相似时，运 动的时间是3秒或4.8秒.三.解答题(共19小题).如图，在 ABC中，AB=6cm AC=12cm动点M从点A出发，以1cm/秒的速度向点 B运动，动点 N从点C出发, 以2cm/秒的速度向点 A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻 t ,使得以点A、M N为顶点的三角形与 ABC 相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.动点型.分析：首先设经过t秒时，4AMN与4ABC相似，可得 AM=t, CN=2t, AN=12- 2t (0t6),然后分别从当 MN/ BC时, AM中ABC与当/AMN=C时，ANWABC去分析，根据相似

4、三角形的对应边成比例即可求得答案.解：存在t=3秒或4,8秒，使以点A、M N为顶点的三角形与 ABC相似(无此过程不扣分)设经过t秒时，4AMN与4ABC相似，此时,AM=t, CN=2t, AN=12- 2t (0t Z CDO令 PD& AOCD. / CDO= PED . CE=CD. COL ED . OE=OD OP= ED=OD=12九年级相似三角形动点问题 九年级相似三角形动点问题 若PC与边OA的反向延长线相交过P作PHL OA P业OB垂足分别为 H, N,. / PED / EDC令 PD曰 AODC. / PDEW ODC/ OEC= PED. / PDEW HCP.

5、PH=PN RtAPHC RtAPND. HC=ND PC=PD. / PDC=45/ PDO= PCH=22.5 / OPC=180 / POG / OCP=22.5.OP=OCi OP=X 贝U OH=ON=?k .HC=DN=ODON=1-叱2 K2HC=HO+OC= ,+x. .1.= J- x+x-.x=.:即OP题L 13.如图，矩形 ABCD43, AB=6cm AD=3cm CE=2cm动点P从A出发以每秒2cm的速度向终点 B运动，同时动点 Q也从点A出发以每秒1cm的速度向终点E运动.设运动的时间为 t秒.解答下列问题：(1)当0v tW3时，以A、P、Q为顶点的三角形能与

6、 ADE相似吗？(不必说理由)(2)连接DQ试求当t为何值时？ ADQ为等腰三角形.(3)求t为何值时？直线 P5分矢I形ABCD勺面积.分析：(1)不能相似，因为相似时，只能/ AQP=90 , Z QPA=30 ,而 ADE中的锐角不能为30 ;(2)分为三种情况： 当AD=AQ=3cm寸，当DA=DQ寸，过D作DMLAE于M 当QA=QD寸，求出 AQ长即可；(3)连接AC,取AC中点O(即AO=OC,当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABC曲面积，根据 ROC POA 求出CR=AP=2t得出RE=2t - 2, EQ=5- t,根据RQaPQAf导出照锲，代入求出即可.解：(1)不能

7、相似；(2)二.四边形 ABC皿矩形,.DC=AB=6cm/ADC=90 ,分为三种情况： 当AD=AQ=3cn0寸，此时t=3 ;当DA=DQ寸，过 D作DML AE于M,在 RtADE中，AD=3, DE=DO CE=6cm- 2cm=4cm 由勾股定理得： AE=5cm由三角形的面积公式得：Saade=1 x ADX dEaEX DM DM=r=cm,在RtADM中，由勾股定理得： AMq、？. JJ (cm),.DML AQ AD=DQ.AQ=2AM9cm (三线合一定理)，即t=;55当QA=QD寸，过Q作QNL AD于N,贝U AN=ND=J,2/ ADCW ANQ=90. QN/

8、 DC. DN=AN，EQ=AQAE=ix5cm=cm,即 t= 2 222综合上述，当t为3秒或基秒或互秒时，4ADQ是等腰三角形.52(3)连接AC,取AC中点0(即AO=OC,当直线PQ O时，直线PQ平分矩形ABCD勺面积,.四边形 ABCD矩形,DC/ AR :./OCR = OAF?在 ROC 和 APOA 中，f ZRCO=ZPAOOC=OA ,Izroc=Zpoa ROC POA( ASA ， CR=AP=2tRE EQ =. AP AQ CE=2 RE=2t- 2, EQ=5- t ,. DC/ AB,RQEAPQA2t - 2 5 - t解得：11=3, 12=0 (舍去)

9、.即t=3秒时，直线 PQ平分矩形ABCD勺面积.线段PCC的坐标.4.已知：RtAOAB在直角坐标系中的位置如图所示，P (3, 4)为OB的中点，点C为折线OAB上的动点,把RtOAB分割成两部分.在图上画出所有线段 PC,使分割得到的三角形与 RtOAB相似，并直接写出点九年级相似三角形动点问题 九年级相似三角形动点问题 分析：根据平行于三角形一边的直线分成的三角形与原三角形相似，可得PC/ AR PC/ OA时，分割得到的三角形与 RtAOAB相似，根据网格结构写出此时点C的坐标即可；又当PC!OB时，分割得到的三角形与 RtOAB也相似，根据网格结构，利用勾股定理求出OB的长度，然后

10、根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长度，再求出 AC的长度，从而得到此时点C的坐标.解：如图，PC/ AB时，OCWOAB此时点 C的坐标为(3, 0),PC/ OA时，PCBOAB此时点 C的坐标为(6, 4),PC!OB时，CPBOAB根据勾股定理得，OB旧不豆二10,- P (3, 4)为OB的中点，PB=J；OB=5 .第罂，即第胄， ZIJD m 1U o解得BC=,AC=A9 BC=8-义=卫4 4此时点C的坐标为(6, N),4综上所述，点C的坐标为(3, 0), (6, 4), (6, W).5.如图，已知矩形 ABCD勺边长AB=3cm BC=6cm某一时刻，动点 M从

11、A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点 N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：(1)经过多少时间， AMN的面积等于矩形 ABC而积的(2)是否存在时刻t ,使以A, M N为顶点的三角形与 ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.动点型.分析：(1)关于动点问题，可设时间为X,根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用， AMN的面积等于矩形 ABC面积的工作为相等关系；9(2)先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在.解：(1)设经过x秒后，4AM

12、N的面积等于矩形 ABC面积的工，贝U有：工(62x) x=-iX3X6,艮X2 3x+2=0, (2 分)29解方程，得xi=1, x2=2, (3分)经检验，可知xi=1 , x2=2符合题意,所以经过1秒或2秒后，4AMN的面积等于矩形 ABC而积的士.(4分)ACD相似,(2)假设经过t秒时，以A, M N为顶点的三角形与由矩形 ABCD可彳导/ CDAW MAN=90 ,因此有瑞嗡喘嘿（5分）12=-（ 6 分）解，得t= W；解，得t= (7分)25经检验，t= 或t=孝都符合题意,M N为顶点的三角形与 ACD相似.所以动点M N同时出发后，经过 秒或基秒时，以A,256. Rt

13、ABC中，/ C=90 , AC=6厘米，BC=8厘米，动点P从点A开始在线段AC上以1厘米/秒的速度向点C移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以2厘米/秒的速度向点 A移动，当一个动点先运动到终点时，整个运动过程结束.设点P、Q移动的时间为t秒.(1)设4APQ的面积为y (厘米2),请你求出y与t的函数关系式，写出自变量t的取值围，并求出当t为何值时, APQ的面积最大；(2)在整个运动过程中，是否会存在以点A P、Q为顶点的三角形与 ABC相似？若存在，请你求出此时 t的值;若不存在，请你说明理由.分析：(1)根据已知条件求出 AB的长，再过点 Q作QHLAG交AC与点H,的长QHAB

14、CA求出雪噂,即可求出BC ABQH的值，最后求 Saapq的值；(2)存在在以点 A、P、Q为顶点的三角形与 ABC相似，此小题要分两种情况进行讨论，当/APQ=90时，九年级相似三角形动点问题九年级相似三角形动点问题 APQAAB(C求出t的值；当/PQA=90时，APQsABC求出t的值，经检验它们都符合题意即可. 解：(1) BC=8 AC=q 彳A AB=10, .AP=t, CP=6- t , BQ=2t, AQ=10- 2t , 过点Q作QHL AG交AC与点H,.QH/VABCA.坦 J。- 2t , TOC o 1-5 h z BC AB 810 S aap牛二AP?QHt

15、(8 t) =4t -t2;235当t= J 3时，面积有最大值，是 4至-$X会2 4(2)当/APQ=90 时，APMABC 贝嘿寺.y，仁普当/PQA=90时，4AP64ABC则旭/？，则义二,解得t=-!,ACAB 6 -1013当t为吊或捐时，经检验，它们都符合题意，此时 AQP和 ABC相似，故存在以点 A P、Q为顶点的三角形与 ABC相似.7.如图，在正方形网格上有若干个三角形，找出与ABC相似的三角形.分析：可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题.解：观察可以发现 AC=：AB,故该三角形中必须有一条边与邻边的比值为

16、.EBF 中，BF/, EF=/10, BF=5,D旧中，DI=2, DB=2/2, BI=2近，HFE 中，HF=fl, HE=2, EF=/10,ABC 中，AB=1, AC=/2, BC二后计算对应边比值即可求得EBFADIBAHFEAABC8.如图，在梯形 ABCD43, AD/ BC AD=2 BC=1Q对角线 AC=4,动点E从点B出发，以2cm/s的速度向点 C运动, 运动时间为t (s) (0WtW5).那么当t为何值时，以 A、E、C为顶点的三角形与 ADC相似.分析：由于AD/ BG得/ DACW BCA若以 A E、C为顶点的三角形与 ADC相似，可得两种情况:AADS

17、ACEA此时应边 AD=AD则两三角形全等， AD=EC=2ADSCAE此时AD AC=AC CE,根据所得的比例式，即可求出CE的长；根据上述两种情况所得出的 CE的值，再除以B点的速度，即可求出时间 t的值.解：.AD/ BCZ DACW BCA当ADS ACEA时，过即 EC=AD=2 t=2+2=1s； ECAC当ADSCAE时，即 CE=aC+ AD=8 t=8+2=4s；故当t为1s或4s时，以A、E、C为顶点的三角形与 ADC相似.9.如图，在 RtABC中，/C=90 , AC=4cm BC=3cm动点M从点A出发，以每秒1cm的速度沿 AC向终点C移动， 同时动点P从点B出发

18、，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM设移动时间为t （单位：秒，0vtv2.5）.当 t为何值时，以 A, P, M为顶点的三角形与 ABC相似？分析：根据勾股定理求出 AB,根据相似得出两种情况，根据相似得出比例式，代入比例式求出即可.解：.如图，在 RtABC中，/ C=90 , AC=4cm BC=3cm，根据勾股定理，得 AB=;彳-=5cmi,以A, P, M为顶点的三角形与 ABC相似，分两种情况:当AMPABC 时,解得t=军.14当APWABC时,黑时即解得t噜综上所述，当t=25T西以A、P、M为顶点的三角形与 ABC相似.选作题.在 ABC 中，/ C=90(1

19、)如图1, P是AC上的点，过点P作直线截 ABC使截得的三角形与 ABC相似.例如：过点 P作PD/ BC交 AB于D,则截彳#的4 ADP与4ABC相似.请你在图中画出所有满足条件的直线.(2)如图2, Q是BC上异于点B, C的动点，过点 Q作直线截 ABC使截得的三角形与 ABC相似，直接写出满足 条件的直线的条数.(不要求画出具体的直线)分析：(1)根据平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，可以作DP/ BG PEE/ AB;又由有两个角对应相等的三角形相似，可以过点P作PGLAB交AC于点G,过点P作/PFChA即可；(2)本题需要根据 BQ的取值

20、围不同，所画的直线条数不同讨论即可.解：(1)如图所示：4条.已知：如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，点 A (6, 0), / BAO=30 .(1)求点B的坐标；(2)点P是线段AB上的动点，若使 POA为等腰三角形，求点 P的坐标；(3)在第一象限是否存在点 Q,使彳#以。B为顶点的三角形与 OAB相似？若存在，请求出所有符合条件的点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.九年级相似三角形动点问题0九年级相似三角形动点问题 分析：(1)在直角三角形 AOB中，由OA与tan30的值求出OB的长，即可确定出 B的坐标；(2) P为线段AB上的动点，若使 POA为等腰

21、三角形，则有 OP=PA PA=ACM种情况，如图1所示，当OP=P1A时，连接OP,作PiCiOA则Ci为AO的中点，PiCi为4AOB的中位线，求出 PiC与OC的长，确定出此时 Pi的坐标；当P2A=AO寸，连接。粒，彳P2C2 OA可彳#出P2A=AO=6 / P2A0=30 ,在RtPzAC中，求出P2c与AO的长，进而确定出0C的长，确定出此时 P2的坐标即可；(3)分三种情况考虑：当/ 0BQ为直角时，如图2所示，再分两种情况考虑：(DABQCAOAB若4BQ40AB 时，分别求出Q的坐标；当/CQB为直角时，如图3所示，再分两种情况考虑： 过。作OQL AB,此时4Q0匕40AB 若4QB40AB时，分别求出Q的坐标；当/BOQ为直角时，经检验不合题意，综上，得到所有满足题意 Q的坐标.解：(i)在 RtAOB中，0B=0A?tan30 =6X运涓,3则B坐标为(0, 2