考试点点睛高等数学专项练习之常微分方程

1、高等数学专项练习之常微分方程第一部分 学习目的2第二部分 学习重点2第三部分 学习难点2第四部分 内容提要3第一节 微分方程模型3 微分方程的产生和发展3二 微分方程模型4第二节 基本概念9第三节 微分方程的类型及其解法10 一阶微分方程10二 高阶微分方程20第四节 微分方程公式运用表29 一阶微分方程29二 可降阶的高阶微分方程29三 线性微分方程30第五节 微分方程的简单应用31 在几何中的应用31二 在力学中的应用33微分方程是高等数学中理论和应用都较强的一部分,是微积分学的一个直接延续.它包括两个主要方面:第一方面是求给定常微分方程的解;第二方面是常微分方程的应用.第一部分 学习目的

2、理解微分方程的一般概念;1.熟练掌握分离变量方程、方程、一阶线性方程、方程、全微分方程的2.解法;掌握可降阶的三种二阶特殊类型的微分方程的解法;3.深刻理解二阶线性方程解的结构;4.3) 阶常系数线性齐熟练掌握二阶常系数线性与非方程的解法,了解5.次与非方程的解法;掌握用微分方程解决实际问题的步骤.6.第二部分 学习重点微分方程的一般概念,可分离变量的方程,一阶线性方程,二阶常系数线性方程.第三部分 学习难点识别一阶微分方程的各种类型; 二阶常系数线性非方程的特解的求法.第四部分 内容提要第一节微分方程模型 微分方程的产生和发展常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，

3、又成为现代科学技术分析问题与解决问题的强有力工具。该课程是与微积分一起成长起来的学科是学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用。300 多年前，Newton 与 Leibniz 奠定微积分基本的同时,就正式提出了微分方程的概念.17 世纪末到 18 世纪，常微分方程研究的中心问题是如何求出通解的表达式.19 世纪末到 20 世纪处,主要研究解的定性理论与稳定性问题.20 世纪进入新的阶段,定性上升到理论,进一步发展分为法、几何方法、数值方法.方法:是把微分方程的解看作是依靠这个方程来定义的

4、自变量的函数.几何方法:(或定性方法)把微分方程的解看作是充满平面或空间或其局部的曲线族.数值方法:求微分方程满足一定初始条件(或边界)条件的解的近似值的各种方法.微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就过微分方程的近似解。在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来数学家、法国数学家、日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了

5、非常有力的工具。研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家和英国天文学家使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。二 微分方程模型微分方程是数系实际问题的重要之一,将实际问题建立成微分方程模型最初并不是数学家做的,而是由化学家、生物学家和社会学家完成的。抽求实际问题的信数学数学模型验证实际例 1 物体冷却过程

6、的数学模型将某物体放置于空气中，在时刻t 0 时，测得它的温度为u0 150 ，10 分钟后测得温度为u1 100 .确定物体的温度与时间的关系,并计算 20 分钟后物体的温度.假定空气的温度保持为ua 24 .解 设物体在时刻t 的温度为u u(t) ,由(Newton)冷却定律解du k (u u )(k 0, u u )(1.1)aadt这是关于未知函数u 的一阶微分方程,利用微积分的知识将(1.1)改为du kdt(1.2)u ua两边积分,得到ln(u ua ) kt cc 为任意常数令ec kt c ,进而 u ua ce(1.3)根据初始条件, 当t 0 时, u u0 ,得常数

7、c u0 ua kt于是u ua (u0 ua )e(1.4)再根据条件t 10 分钟时, u u ,得到u u (u u)e10k11a0a1 ln u0 uak 10u1 ua将u0 150, u1 100, ua 24 代入上式,得到k ln1.66 0.051从而, u 24 126e0 051t(1.5)由方程(1.5)得知,当t 20 分钟时,物体的温度u2 70 ,而且当t 时, u 24 .温度与时间的关系也可通过图形表示出来.如图(1.1). 可解释为：经过一段时间后，物体的温度和空气的温度将会没差别了.事实上，经过 2 小时后，物体的温度已变为24，与空气的温度已相当接近.

8、法律破案判断尸体的时间就是用这一冷却过程的函数关系来判断的.例 2 动力学问题物体由高空下落,除受重力作用外,还受到空气阻力的作用,空气的阻力可看作与速度的平方成正比,试确定物体下落过程所满足的关系式.解 设物体质量为 m ，空气阻力系数为 k ，又设在时刻t 物体的下落速度为v ,于是在时刻t 物体所受的合外力为 F mg kv2 ,建立坐标系,取向下方向为正方向,根据第二定律得到关系式m dv mg kv2dt(1.6)而且, 满足初始条件t 0 时, v 0(1.7)例 3 电力学问题在如图(1.2)所示的 R L C 电路,它包括电感 L 、电阻 R 和电容C .设 R 、 L 、C

9、均为常数,电源e(t) 是时间t 的已知函数,建立当开关 K 合上后,电流 I 应满足的微分方程.L dIdt、 RI 和 Q ，其中Q 为电解 经过电感 L 、电阻 R 和电容C 的电压降分别为：C量，由第二定律得到e(t) L dI RI Q（1.8）dtC因为 I dQ ，于是有dtd 2I R dI I 1 de(t)（1.9）dt 2L dtLCLdt这就是电流 I 应满足的微分方程.如果e(t) =常熟，得到d 2I R dI I 0（1.10）dt 2L dtLC如果又有 R 0 ，则得到d 2I I 0（1.11）dt2LC例 4模型英国统计学家（Malthus）在 1798

10、年提出了闻名于世的 Malthus模型的基本假设是：在自然增长的过程中，净相对增长率（时间内的净增长数与总数之比）是常数，记此常数为 r （生命系数）.在t 到t t 这段时间内数量 N N (t) 的增长量为N (t N (t) ）N (t ) rN (t)t （ t 1, r 于是 N (t) 满足微分方程dNdt rN（1.12）将上式改写为dNN rdt于是变量 N 和t 被“分离”，两边积分得ln N rt cN cert（1.13）其中c ec 为任意常数.（因为 N 0 也是方程（1.17）的解.如果设初始条件为t t0 时, N (t) N0（1.14）代入上式c N ert0

11、 ，.即方程（1.17）满足初值条件（1.19）的解为0)（1.15）如果r 0 ，上式说明总数 N (t) 将按指数规律无限增长.将时间t 以 1 年或 10 年离散化，那么可以说，数是以er 为公比的等比数列增加的.当总数不大时，生存空间、资源等极充裕，总数指数的增长是可能的.但当人口总数非常大时，指数增长的线性模型则这样一个事实；环境所提供的条件只能供养一定数量的生活，所以 Malthus 模型在 N (t) 很大时是不合理的.荷兰生物学家 Verhulst 引入常数 Nm （环境最大容纳量）表示自然资源和环境条件所N (t) 容纳的最大数，并假设净相对增长率为 r 1 ，即净相对增长率

12、随 N (t) 的增加Nm 而减少，当 N (t) Nm 时，净增长率 0 .按此假定，增长的方程应改为dNdtN r 1 N N（1.16）m rN 2这就是 Logistic 模型.当 Nm 与 N 相比很大时，与 rN 相比可以忽略，则模型变为NmrN 2Malthus 模型；但 Nm 与 N 相比不是很大时这一项就不能忽略，增长的速度要Nm缓慢下来.用 Logistic 模型.来地球未来人数，某些学家估计自然增长率为r 0.029, 而统计得世界在 1960 年为 29.8 亿，增长率为 1.85%，由 Logistic 模型.29.8108 （1.21），有0.0185 0.029

13、1N 82.3108 ，即世界容量 ，mNm82.3 亿，以（1.21）式右端为二项多项式，以 N 为顶点，当 N Nm 时Nm增长率22Nm增长率减少，即增长到 Nm 41.15108 时增长率将逐渐减增加；当 N 时22少.这与在 20 世纪 70 年代为 40 亿左右时增长率最大的统计结果相符.小结：从以上的可以看出，将实际问题转化为数学模型这一事实，这正是许多应用数学工作者和工程应用模拟方法解决物理或工程问题的理论根据.以上只举出了常微分方程的一些简单的实例,其实在自然科学和技术科学的其它领域中，都提出了大量的微分方程问题.所以说，社会的生产实践是微分方程理论取之不尽的基本源泉.此外，

14、常微分方数学的其它分支的关系也是非常密切的，它们往往互相联系、互相促进.例如，几何学就是常微分方程理论的丰富的源泉之一和有力工具. 考虑到常微分方程是一门与实际联系比较密切的数学基础课程，自然应该注意它的实际背景与应用；.而作为一门数学基础课程，又应该把重点放在应用数学方法研究微分方程本身上.因此，在学习中，不应该忽视课程中所列举的实际例子以及有关的习题，并从中注意培养解决实际问题的初步能力.但是，按照课程的要求，要把主要精力集中到弄清常微分方程的一些基本理论和掌握各种类型方程的求解方法这两方面来，这是本课程的重点，也是解决实际问题的必要工具.而解决的过程为：（1）建立方程;（2）求解方程;（

15、3）分析问题.关键的是第一步，即对所研究问题，根据已知定律公式以及某些等量关系列出微分方程和相应的初始条件.如果了由微分方程所确定的未知函数的求法，那么未知量间的关系便找到了.寻求微分方程所确定的未知函数是微分方程理论的基本问题.第二节 基本概念1. 微分方程：凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程. 未知函数是一元函数的叫做常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.附注：本章仅限于常微分方程.2. 微分方程的阶：微分方程中未知函数的最高阶导数(或微分)的阶数，称为微分方程的阶.3. 微分方程的解：代入微分方程能使其两端成为恒等式的函数，称为微分方程的解（这

16、个函数的图形，称为该微分方程的积分曲线）.4. 微分方程的通解：如果微分方程的解中含有独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则这样的解称为微分方程的通解.y (x, C ,C,含有 n 个独立常数附注：所谓函数n ，是指存在nCn 12 0Cn12n )n )n )Cn（x, C,n）的某个邻域，使得行列式12，其中k表示对 x 的 k 阶导数.5微分方程的初始条件：确定微分方程通解中任意常数所给出的条件，称为定解条件.如果这样的定解条件是在同一时刻给出的，称为微分方程的初始条件.6微分方程的特解由初始条件定出通解中的任意常数后得到的解，称为微分方程的特解.附注：有的参考书上将

17、微分方程的特解定义为：由初始条件定出通解中的任意常数后得到的解或不含任意常数的解，称为微分方程的特解. 这个定义比上更广泛些. 例如， dy 2y 2 sin( yx C) .易证函数 y 1也是该方程对于微分方程 dx ，其通解为的解，但它不能由通解中取适当的常数得到. 按照的定义，它就不是特解.第三节 微分方程的类型及其解法 一阶微分方程（1）可变量分离的微分方程.形如 x)g( y) 或 dy f (x g y)dx f (,y) 分别是 x, y 的连续函数.的微分方程，称为可变量分离的方程. 这里假设(当时，方程（1）可写成 1 dy f x dx)(两端分别积分得到原方程的通解.(

18、若存在 y0 使得，则0 也是该方程的解.0附注：0 这种形式的解，有时可能包含在通解中（即可在通解中取适当的常数得到），有时不包含在通解中（即在通解中取任意常数都得不到这种解）. 另一方面，若只求方程的通解，可不考虑这种形式的解.22 yy 的通解.例 1 求方程y1 时，分离变量得解：当ydydx3x 21 y 2，两边积分ydydx3x 21 y 2，即13x 1 y2C，或13xy 2 C 01.这就是所求的通解. #y 1 也是原方程的解且不包含在通解中. 如果题目改成求方程的解，则除了注意：（2）1dy f x dx)(1)求出通解外，还需求出这样的解.（2）微分方程y可以写成 x

19、 的函数，即x, y) 中的(y如果一阶微分方程，则称这方程为方程.yx ，u u求解方法是作变量代换后将其化为可分离变量方程，然后求解. 令即，y x于是将此代入(3)得u u ) ，即du dxx，两边积分du dxx，y求出积分后，再用 x 代替 u 便得方程的通解.dydxxyx0 y例 2 求方程满足的特解.yx ，得u 解：这是方程. 令1 u 2u1du dx x x 1 u 2u 3或两边积分1 u 21du dx xu 3得(3)x, y) y x 1 lnCln122u即12u 2xu Ceyu C1. 代回x ，得原方程的通解其中x2 C2 y 2x22 y 2C 1由初

20、始条件得. 故所求特解为. #（3*）可化为微分方程的方程对于形式为 a1yc ybc 2(4) 0 时是的微分方程，当方程，否则不是微分方程. 在非方程情11 0时，作代换 x , y Y k ，其中X为新自变量， Y 为新未知形，当,X 和 Y函数，为待定常数，将方程(4)化为关于的方程，求出这方程的通解，再11 0换回原变量，即为方程(4)的通解；当时，作适当的变量代换，将方程化为可分离变量方程，在其通解中换回原变量，即为方程(4)的通解.dy 2例 3 解方程 dx4.x 3 y 1解：因为，所以解代数方程组，得到. 作变2 3 131 ， 即dY量变换 dXY X，则原方程化为. 这

21、是方程. 令u YX ，则此方程变为du u1 dX 1u ，化简并变量分离，得到u1 du 1 dXu2 1X，两边积分，得到ln11(u2)arctan ln|1.2u Y化简并用X 代入，得到arctan YX .eX因此原方程的通解为y1arctanx3)21)2 ex(.#（4）一阶线性微分方程形式为yPxx(5)的方程，称为一阶线性微分方程.( 当时，则(5)为(x y ，(6)称为一阶线性微分方程.方程(6)的解法： Pd C(i) 分离变量法；(ii) 公式法：(6)其中记号 Pd)(表示的某个原函数.(x y 当不成立时，则(5)为一阶线性非微分方程. 此时称为它所对应的线性

22、微分方程.设(5)为一阶线性非微分方程. 则它的通解结构：设(5)所对应的线性方程(6)的y *.通解为 Y ，方程(5)的一个特解为 y * ，则方程(5)的通解为方程(5)的解法 Pd C(i)常数变易法 求出它所对应的线性方程(6)的通解；将通解中的任)(意常数C 换成函数，设 Pedx(7)()(为方程(5)的解，将(7)代入(5)，求出（其中包含任意常数）；把求出的代入(7)，便得(5)的通解.(ii)公式法 P PddeQy dx Cx e(8)方程(5)的通解也可以写成x P dx0t P de x0 xx0y dt Ct其中 x0 , 为 P(,x) 的连续区间）， C 为任意

23、常数.（ I附注: 与非线性方程不同,线性方程的通解包含了方程的所有解.dydxn 1 xy 1)e(x1的通解，这里 n 为常数.例 4 求方程解：将原方程改写为dynn x1() edxx 1.先求它所对应的齐线性方程为dynydxx 1dynydxx 1的通解. 由，经变量分离后得到此齐线性方程的通解为)n .#x)n 并将它代(x (x其次，应用常数变易法求原非齐线性方程的通解. 为此，设入到原方程dydxn 1 xy 1)e(x1，得到dyu dxnn 1nn x )n(x 1) ex)(u()x 1dxdx化简后，得到u xd exdx，两边积分，得到xuC ，这里C 是任意常数.

24、 于是原方程的通解为1)nex (C.#附注: 也可直接套用公式求方程) dy)n 1exy xxndx的通解如下：dx nn dxx 1xnx 1nxx ) edx (e1)eC.方程(5)形式为 yP(xx) yn ( n 0 ,1 )的方程称为 Bernoulli 方程.1n，可以将 Bernoulli 方程化为以 z 为未知函数的Bernoulli 方程的解法：作代换一阶线性方程z1( n)P(x) 1( )Q(x) .求出这方程的通解后，再将 z 换成 y1n ，即为方程(9)的通解.(x x ) y 求y(1 例 5的解.x ) y 解：方程(x们可将它改写为不是以 y 为未知函数

25、, x 为自变量的 Bernoulli 方程, 但我dxdy23xx.它是以 x 为未知函数, y 为自变量且 n 2 的 Bernoulli 方程. 于是它的通解为 12y 2y 2(C2.2y(1 2( 代入,得到C 0 . 于是所求的解为将初始条件:.#(6)全微分方程.x, y) 写成对称形式当把一阶微分方程d Q(xd 0P(x(10)y dx Q(x y时，如果其左边 P(xdy 恰好是某个二元函数(y的全微分，即du(x y P(x y dx Q(x y dy ,则称(10)为全微分方程.P , Q命题：设 yx在单连通区域 G 内连续，则(10)为全微分方程的充分必要条件是(9

26、)P Qyx在G成立.注意：凡是可分离变量的方程一定是全微分方程.全微分方程的解法：(y(i)凑全微分法 将所给的方程重新组合，使之左边是某个二元函数的全微分，右边为零，则所给方程的通解为 u(x.( , ) P(dx Q(ii)不定积分法 要找函数u(使得 du,)dy ，即uxy), u ,(y)Pxy.u由 x(xP y对 x 求不定积分u( P(dx ( y)(11)其中y起不定积分中积分常数的作用；u对 y 求偏导数，代入 y(xQ y中，定出. 再将代入(11)即得(yyy将所给全微分方程的通解.(iii)曲线积分法（公式法） 设 P(x全微分方程，取曲线积分Q(x 0 是定义在单

27、连通区域G 内的dd(u(x, y) P s t)ds Qs t)dt(000(点. 则u(x是区域G 中的一个给定的其中便是方程所求的通解.03( x26xy2 dx6x2 y 4 y3 dy )0 的通解.例 6 求方程x26xy 2 , Q( ,x2 y4 y3 .则解：记 P( ,P 12xy, Q 12xyyx，ux2236x(, 0,0)因 此 方 程 为 全 微 分 方 程 .取00， 令且uy6x234，于是x0223226xy )dx y x3xu(x, y3x y.u代入到等式 y6x234322为确定得到 xy ，将 u(x y3x中，224 y3 ， 6( y yd()

28、dy 4 y344() 于 是 ， 积 分 后 ， 得 到将代 入 到 .u(x y x3 y3x中，得到32 yu(x y 3y.因此，方程的通解为32 yy C ，3其中C 为任意常数.#在某些情况下，形如d Q(xd 0P(x(12)P Q的微分方程虽然不是全微分方程(这里 yx在G成立)，但用不恒等于零的函数 (乘以(12)的左边后能将其化为全微分 (dx (du(PQ(dy ，这时 P(x y dx (dy 0 就是全微分方程了. 象这样的函数(Q( (称为方程(12) 的积分因子.方程(12)的解法：积分因子法 先求出积分因子 (. 一般地，求非全微分方程的积分因子是的，没有一般的

29、规律可循，但对具有某些特殊性质的微分方程，还是可以求出积分因子的. 如P QP Qyxyx )(QQ仅为 x 的函数）时，则可取(i) 当（即表达式) e fd(x,为积分因子；Q PQ Pxyxyyg仅为 y 的函数）时，则可取PP(ii) 当（即表达式) e gd(x,为积分因子. 再用求出的积分因子去乘(12)的左边，则(12)就变成全微分方程了，求出该方程的通解，且此也为原方程(12)的通解.注意：积分因子不是唯一的，因而通解可能有不同的形式；要注意增根和减根，使函数 ( ,x的函数若不满足原方程时，则产生增根，应舍去此解；此外，1 duu 0d Q(xdP(x，因使 x(由的函数也满

30、足原方程，故应将此解补上.二 高阶微分方程(1) 可降阶的高阶微分方程nx()(13)方程(13)的解法：经过 n 次积分，就到方程(13)的通解.y )(不显含未知函数 dpdx () )，则方程(14)的解法：设(即，方程(14)化为dpdx f (这是以 x 为自变量， p 为未知函数的一阶微分方程. 利用一阶微分方程求解方法，如(14)x, y)果求得通解（联系 p 与 x 的等式），解出p 即y ，再积分一次便得原方程(14)的通解.2x2 dy dyy x dx dx2例 7 求方程的解.dyp 解：设dx ，则原方程化为x2 22x y.dyp 两端关于 x 求导并用dx 代入，

31、得到dpdxdp 2xxpdx或 dp 021xp dx.dpdx 由此得或.dpdx 从解得 C ，x2 22x y并将它代入得到原方程的通解x2 22x y.又从解得x2 .p x2 22yx将它代入得到原方程的一个解x2 4y ，x2 22x y且此解不能由通解取适当的C 得到. 所以原方程的解：通解及一个x2 4y 解.# y, y) (不显含自变量 x )y dp dp dyp dpdy ，方程(15)化 yp x) )，则dxdy dx方程(15)的解法：设(即为p dp f (),dy这是以 y 为自变量， p 为未知函数的一阶微分方程. 利用一阶微分方程求解方法，如p 与y 的

32、等式），解出p 即y ，分离变量并积分，便得原方程(15)的通果求得通解（联系解. dy 3dydxy 02x例 8 求方程 dx 的解.dydxdy 0p 时，解出 x ，并令dx ，则原方程化为解：当3x 2 p.1dxpdy 代入，得到两端关于 y 求导并用2 dp dpdy3dy 2 p2()1p或yp3)dppdy 0 .经检验，它是一个全微分方程，经分项组合后，得到通解42 yp ,(15)即4y 2 p.3x 2 p将它代入，得到3p34 34 p22 px 2 p.因此，原方程的参数形式的通解为xC4 p23 p24p )C123y 2 pp,或xC4t 23 t 24t )C

33、123y 2tt.当 p 0 时，由方程直接推知 y 0 也是方程的解此解不能由通解取适当的C 得到.(2) 二阶线性微分方程y PyxQyx( )(16)( ,当(16)右端时，则(16)为y P( ) Q(17)(17)称为二阶线性微分方程.方程(17)的通解结构：设 y1 和 y2 是方程(17)的两个线性无关的特解，则方程(17)的通yC1y2 .解为方程(17)的解法：在简单的情况下，若由观察得一特解 y1 ，则求另一线性无关的特解y2 可用降阶法，即设u xu x)(，其中为待定函数. 将代入(17)可求1 Pd 2d)(，从而可求出 y2 ，也可以用公式y1求出 y2 ，于是可求

34、出方出程(17)的通解.解的线性无关的判定y,n ) 次可微函数，则称行列式n 是定义在区间 I 上的 n 个设yny nn )yn1122n )1n ) 2y,x为n 的伏基行列式，记为.(y,(若不成立， 则n 线性无关.注意： 若，不能肯定y,n 线性相关. 例如，设 0 x x 0 ，2y2 y1 2，(,则易证明，但却是线性无关的.y,n 是 n 阶线性当微分方程x y n )(y ax y 0nn11n(的解时，由能推出它们是线性相关的. 于是有下面的判断方法y,n 是 n 阶线性命题：当微分方程x y n )(y ax y 0nn11n(的解时，若不成立，则它们线性无关；否则线性

35、相关.特别地，对于两个函数，只要看它们的比，若比不恒等于常数，则它们线性无关；否则线性相关.(当(16)右端不成立时，则(16)为二阶线性非微分方程，其通解结构： C1设(16)所对应的方程(17)的通解为 Yy2 ，且方程(17)的一个特解为y * ，y *.则方程(16)的通解为f (x f 2x) ，且 y1 * 与Qyx f1y2 * 分别是方程若方程(16)的右端1yPyxx与yP( )Qyx f 2x的特解，则就是方程(16)的特解.可用常数变易法求方程(16)的通解.先求出(16)所对应的方程(17)的通解Y C1y2 ，(18)把(14.18)中的C1 与C2 分别换成x与.

36、设12y C1 Cyx(19)1y为方程(16)的解，将(19)代入(16)时，为了不使与出现二阶导数，求出12后令C11 Cyx 0 ，再求 y ，代入(14.16)得2C1 (x1 (x) y2 0(x) y )(C11 C由此求出与；12把求出的与（包含任意常数）代入(14.19)便得方程(14.16)的通解.12二阶常系数线性微分方程0y py qy ，(20)其中 p 和 q 均为常数.用特征根法求方程(20)的通解.(i)写出(20)的特征方程；(ii)求出方程(21)的两个根r1 和 r2 ；(21)2pq 0(iii)根据r1 和 r2 的不同情形，按下表写出(20)的通解.上

37、述求方程(20)的方法及通解形式可推广到 n 阶常系数线性微分方程，其一般形式为n )n pn y ,1 yn1(22)pi ,2,) 为常数.其中(22)的特征方程为n1 n1r pn,0r np1(23)根据特征方程(23)的根的不同情形，得出方程(22)通解中不同的对应项：若 r 是单实根，则有一项对应项： Cerx ；erx (CC xk 1 )kk若 r 是重实根，则有项对应项：；21k ,若ex (是 一 对 共 轭 复 根 ， 即，则 有 两 项对 应 项 ：11 cos C2 sin x) ； 是一对 k 重共轭复根，则有 2k 项对应项：若1ek 1）sin x ；C而方程(

38、22)的通解则是上述这些解的线性组合. 5 y 4()2例 9 求方程的通解.解：特征方程为r 22是r r 02,对应的特解为,1x ；特征根对应的特解为3.r1 、 r2方程(20)的通解两个不相等的实根 r1 、 r2yC1 12 e 2两个相等的实根y x e 1一对共轭复根 1 y ex (cos C sin x)12x cos 2, ex sin 2x .y CC xe x (cos 2 C sin 2x) ，因此原方程的通解为2134C1, C4 为任意常数. #其中二阶常系数线性非微分方程 y py qy f x) 其中 p 和 q 均为常数.方程(24)的解法：先求出方程(2

39、4)所对应的微分方程(20)的通解Y C1y2 ，y *.再求出方程(24)的一个特解 y * ，则方程(24)的通解为y * 的求法：)(y * .(i) 待定系数法 当方程(24)的右端为某些特殊类型函数时，用待定系数法求x Pfx() 型，其中 为常数，)(为 x 的 m 多项式. 方程(24)的特解mm设为x)ex ，k Qm(25)x其中 k 按 不是特征方程(21)的根、是单根或二重特征根分别取为、或2；m是与的同次多项式.my * .将(25)代入(24)，比较两端 x 的同次幂的系数，求出的各项系数便可求出my 2 y xx的通解.例 10 求方程 1 ，设其特解的形式为2 0

40、 有二重根*解： 特征方程2axb ex .23( ax b)ey *将代入原方程得到，比较两端系数得到，于是2* e3 x C xex3. 另一方面，对应的方程的通解为，因此原方程的21(24)通解为23y Cx3 xC xe. #f (x) ex P ( ) cos P (x) sin x 型，其中 、 均为常数， P、x分lnln别为 x 的 l 次、 m 次多项式，其中有一个可为零，方程(24)的特解设为其中 k 按 i ( 或 i) 不是特征方程(21) 的根或是单根分别取为 0 或 1 ，x maxml, n.为 x 的 m 多项式是与mm将(26)代入(24)，比较两端同类项的系

41、数，求出y * .和中各项系数便可求出mm上述结论可推广到 n 阶常系数线性非微分方程. 这时(25)中的 k 是特征方程含根 的重复次数(26)中的 k 是特征方程含根 i (或 i )的重复次数.(ii) 常数变易法 此法不如待定系数法方便，常数变易法需要积分，而待定系数法只)(需求导. 因此，一般来说只有当不属于前面过的两种特殊类型函数时，才利用常y * .数变易法求(3)（Euler）方程：方程的一般形式为)( 1 xy 1)pn y f x),xn1 x(27)pi ,2,) 为常数.其中 ln），将(47)化为以 t 为自变量， y 为未知t（即方程(47)的解法：作代换函数的常系

42、数线性微分方程，求出这方程的通解后，把 t 换成 ln x 即得原方程的通解.数学高等数学考点精讲（数学一） HYPERLINK http:/w/course/15414.html http:/w/course/15414.html数学高等数学考点精讲（数学二） HYPERLINK http:/w/course/15413.html http:/w/course/15413.html(26)y* x e Q (x) cosx sin mm第四节 微分方程公式运用表 一阶微分方程判断特征： dy f (x, y)dx类型一dy g(x)h( y) （可分离变量的方程）dxdy g(x)dx ，然

43、后两边同时积分。解法（分离变量法）：h( y)类型二dy P(x) y Q(x) （一阶线性方程）dx解法（常数变易法）： y e)dy dx类型三f (x, y) f (tx, ty) （一阶性方程解法（换）： 令u y 类型一x类型四： dy P(x)y=Q(x)yn （dx方程）解法（同除法）y n dy P(x) y1n Q(x) 类型二dx二 可降阶的高阶微分方程类型一： y(n f (x)解法（多次积分法）： 令u y( n1) du f (x) 多次积分求f (x)dx类型二： y f (x, y )解法： 令p y dp f (x, p) 一阶微分方程dx类型三： y f (

44、y, y )解法： 令p y dp dp dy p dp f ( y, p) 类型二dxdy dxdy三 线性微分方程类型一y P(x) y Q(x) y 0 （二阶线性微分方程）解法：找出方程的两个任意线性不相关特解： y1 (x), y2 (x)则： y(x) c1 y1 (x) c2 y2 (x)类型二： y P(x) y Q(x) y f (x) （二阶线性非微分方程）解法：先找出对应的微分方程的通解： y3 (x) c1 y1 (x) c2 y2 (x)方程的任意特解 yp (x) ，则y(x) yp (x) c1 y1 (x) c2 y2 (x)再找出非类型三y py q 0 （二阶线性常系数微分方程） p p2 4q解法（特征方程法） p q 0 21,22 p 4q 0 y c e1x c e2 x（一21212 0 y (c c x)ex（二1212（三） 0 i , i y e x (c cos x c sin x)1212类型四： y py q f (x) (二阶线性常系数非微分方程)解法（待定系数法）：（1） f (x)