2019-2020年高三期中考试数学文试卷含解析

1、2019-2020年高三期中考试数学文试卷含解析一、填空题：共14题1已知集合,则_.【答案】1,2,3【解析】本题考查集合的运算；由题意，得；故填1,2,3.2若复数满足,则的共轭复数是_.【答案】【解析】本题考查复数的运算和复数的概念；因为，所以，则；故填.3已知一组数据,那么这组数据的方差为_.【答案】2【解析】本题考查样本的数字特征；由题意，得该组数据的平均数为5，则方差为；故填2.4袋中有形状、大小都相同的4只球,其中有2只红球,2只白球,若从中随机一次摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为_.【答案】【解析】本题考查古典概型、排列组合应用题；若从4个小球中随机一次摸出2只球，共有种

2、不同的摸法，其中这2只球颜色不同有种摸法，则这2只球颜色不同的概率为；故填.5如下图,矩形由两个正方形拼成,则的正切值为_.【答案】【解析】本题考查正切函数的定义、两角差的正切公式；设正方形的边长为1，则；故填.6下图是一个算法流程图,则输出的的值是_.【答案】5【解析】本题考查程序框图中的循环结构；由题意，得；故填5.7若实数满足条件,则目标函数的最大值是_.【答案】【解析】本题考查简单的线性规划问题；将化为，作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），当直线向左上方平移时，直线在轴上的截距增大，即减小，由图象，得当直线过点时取得最大值，联立，得，；故填.8若双曲线)的一条渐近线经过点,则此双

3、曲线的离心率为_.【答案】【解析】本题考查双曲线的几何性质；因为双曲线)的一条渐近线经过点，所以，则此双曲线的离心率为；故填.9若,则_.【答案】【解析】本题考查同角三角函数基本关系式和诱导公式；因为，所以；故填.10在等腰梯形中,已知,点和点分别在线段和上,且,则的值为_.【答案】【解析】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算；由平面几何知识，得在等腰梯形中，,，因为,，所以；故填.11等比数列的首项为2,公比为3,前项的和为,若,则的最小值为_.【答案】【解析】本题考查等比数列、对数运算、基本不等式；因为等比数列的首项为2，公比为3，前项和为，所以，因为，所以，即，则=（当且仅当取等号），

4、所以的最小值为；故填.12在平面直角坐标系数中,点,若直线上存在点,使得,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】本题考查点到直线的距离公式、三角代换；设，因为，所以4，所以可化为，则，即，令，则，即实数的取值范围为；故填.13已知函数,若方程有两个不同的实根,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】本题考查分段函数、函数的零点以及数形结合思想的应用；方程有两个不同的实根，即函数和函数的图象有两个不同的交点，当时，函数成周期变化，函数的图象恒过点，在同一坐标系中作出两函数图象（如图所示），且，在点处的切线斜率，由图象得，实数的取值范围为；故填.14已知不等式对于任意的恒成立,其中是整数,则的取值集

5、合为_.【答案】【解析】本题考查不等式恒成立问题；当时，由得，在上恒成立，则不存在；当时由，可设，则，又因为是整数，所以或，即或；故填.二、解答题：共6题15在中,角的对边分别为,且.(1)求角的值;(2)若的面积为,且,求的周长.【答案】因为,由正弦定理得,即因为,所以所以因为B(0,),所以sinB0,所以,因为,所以(2)ABC的面积为,且由,所以周长【解析】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和两角和的正弦公式；(1)先利用正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公式进行求解；(2)利用三角形的面积公式、余弦定理得到关于另外两边的方程组进行求解.16在四棱锥中,平面

6、,点为的中点.(1)求证:平面平面;(2)求证:平面.【答案】证明: (1)因为PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD,又ACD90,则,而PAACA,所以CD平面PAC,因为CD平面ACD,所以,平面PAC平面PCD.(2)证法一:取AD中点M,连EM,CM,则EMPA.因为EM平面PAB,PA平面PAB,所以EM平面PAB.在RtACD中,AM=CM,所以CAD=ACM,又BACCAD,所以BACACM,则MCAB.因为MC平面PAB,AB平面PAB,所以MC平面PAB.而EMMCM,所以平面EMC平面PAB.由于EC平面EMC,从而EC平面PAB.证法二:延长DC,AB交于点N

7、,连PN因为NACDAC,ACCD,所以C为ND的中点而E为PD中点,所以ECPN因为EC平面PAB,PN平面PAB,所以EC平面PAB【解析】本题考查空间中垂直关系的转化、平行关系的转化；(1)先分别利用线面垂直的性质和直角证明线线垂直，再利用线面、面面垂直的判定定理进行证明；(2)构造三角形，利用三角形的中位线性质得到线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明.17如图,在半径为30的半圆形铁皮上截取一块矩形材料(点在直径上,点在半圆周上),并将其卷成一个以为母线的圆柱体罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗).(1)若要求圆柱体罐子的侧面积最大,应如何截取?(2)若要求圆柱子罐子的体积最大,应如

8、何截取?【答案】(1)如图,设圆心为O,连结,设,法一易得,故所求矩形的面积为=)(当且仅当,)时等号成立) 此时;法二设,; 则,所以矩形的面积为,当,即时,)此时;当截取的矩形铁皮的一边为为时,圆柱体罐子的侧面积最大(2)设圆柱的底面半径为,体积为,由得,所以,其中,由得,此时,在上单调递增,在上单调递减, 故当时,体积最大为,当截取的矩形铁皮的一边为为时,圆柱体罐子的体积最大【解析】本题考查圆柱的侧面积和体积公式、基本不等式及导数在研究函数最值中的应用；(1)设出有关变量，利用函数表达式，利用基本不等式或三角代换求其最值；(2) 设出圆柱的底面半径，列出其体积关于半径的函数表达式，再利用

9、导数求其最值.18如图,在平面直角坐标系中,已知是椭圆)上不同的三点,在第三象限,线段的中点在直线上.(1)求椭圆的标准方程;(2)求点的坐标;(3)设动点在椭圆上(异于点)且直线分别交直线于两点,证明为定值并求出该定值.【答案】(1)由已知,得解得所以椭圆的标准方程为(2)设点,则中点为由已知,求得直线的方程为,从而又点在椭圆上,由,解得(舍),从而所以点的坐标为(3)设,三点共线,整理,得三点共线,整理,得点在椭圆上,从而=所以为定值,定值为【解析】本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系以及平面向量的数量积运算；(1)设出椭圆方程，代点利用待定系数法进行求解；(2)利用线段的中点坐标

10、公式和点在椭圆上进行求解；(3)利用三点共线设出直线的两点式方程，求出相关点的纵坐标，再利用点在椭圆上和平面向量的数量积进行求解.19已知数列an和bn满足a1a2a3an=(nN*).若an为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.()求an与bn;()设cn=-(nN*).记数列cn的前n项和为Sn.()求Sn;()求正整数k,使得对任意nN*均有SkSn.【答案】()由题意a1a2a3an=(,b3-b2=6,知a3=(=8.又由a1=2,得公比q=2(q=-2,舍去),所以数列an的通项为an=2n(nN*).所以,a1a2a3an=()n(n+1).故数列bn的通项为bn=n(n+1)(nN*).()()由()知cn=-=-(-)(nN*),所以Sn=-(nN*).()因为c1=0,c20,c30,c40;当n5时,cn=-1,而-=0,得1,所以,当n5时,cn成立,求的取值范围.【答案】(1),当时,f(x)在上递增,f(x)无极值当时,时,f(x)递减;时,f(x)递增,所以f(x)有极小值综上,当时,f(x)无极值;当时,f(x)有极小值,无极大值(2),则因为,令,得,故h(x)在上递减,在上递增,所以h(x)有极小值,.且,联立可得令,得,故m(x)在上递增又m(1) = 0,所以,即,(3)不妨令,因为0a.所以=在1,2上