期权专题：期权对标的物价格的预测

1、一、背景介绍从金融资产价格中提取信息近年来越来越受国内外的重视，金融资产价格隐含了市场参与者对未来的预期。由于未来具有太多的不确定性，因此采用资产价格的分布去描述资产的未来预期是一种较好的方法。在传统研究中，主要会根据历史数据特征的应用，去预测未来价格的分布。但是这种方法需要一个十分严格的假设即资产的价格分布是稳态的。然而大量的实际数据表明，金融数据并不是稳态的且其变化具有随机性，因此，使用历史的数据去预测未来的分布的做法具有较大的局限性。近年来，越来越多的学者放弃了传统的研究方式，转而去使用期权的一些特性去估计资产价格的分布。这样做法的好处在于期权代表的是未来资产的价格，其中隐含了对未来的预

2、期。这样做也避免了要求资产价格需要有冗长的时间序列样本这一问题本文将从期权的价格的角度出发，通过期权价格所反映出来的一系列特性，去预测标的物本身的价格的概率分布。本文将从以指数 ETF 期权以及商品期权出发，去预测标的物的价格概率分布。商品期权即以商品期货作为标的物的期权，商品期权可以平衡期货头寸风险，并增加对底层资产进行投资的吸引力。值得一提的是，有部分商品期权为美式期权，其在文中的计算方式和欧式期权的计算方式存在差异。二、标的物介绍本文使用期权的标的物为 50ETF，300ETF 以及商品期货。上证 50ETF 作为上海市场最具代表性的蓝筹指数之一是境内首只交易型开放式指数基金（ETF）的

3、跟踪标的。其中股票的选取方法是根据总市值、成交金额对股票进行综合排名，取排名前 50 位的股票组成样本。沪深 300ETF 是以沪深 300 指数为标的的在二级市场进行交易和申购/赎回的交易型开放式指数基金。沪深 300 指数以规模和流动性作为选样的两个根本标准，并赋予流动性更大的权重，符合该指数定位于交易指数的特点。沪深 300ETF 分为华泰柏瑞版和嘉实版，文中使用的是华泰柏瑞版。本文中所使用的商品期货标的物主要有：沪金（AU2010），玉米（C2005），棉花（CF2005），铜（CU2003），铁矿石（I2005），橡胶（RU2003），豆粕（M2005），PTA（TA2004）。三、

4、BSM-model 介绍BSM-model 是以 Black，Scholes，Merton 三位经济学家名字缩写命名的期权定价模型，该模型被誉为现代期权定价理论的基础。该模型假设标的物本身遵循几何布朗运动即：d/ = + 其中，为无风险利率，为标的物的波动率。接着，构建一个无风险的投资组合（买入一份标的物的同时卖出一份该标的物对应的期权）并通过一系列数学推导可以得到 BSM-model 的 PDE 形式（如下）12+ 2 + 22 = 0其中为期权价值，为标的物价值。该 PDE 形式也包含了期权的几个重要希腊字母（Delta，Gamma，Theta）其中 Theta 对应 PDE 的第一项，表

5、明期权价格对剩余时间的一阶导数，也是期权的时间价值随时间流逝的速度。Gamma 对应 PDE 的第二项，是期权价格对标的物的二阶导数，也可以理解为 Delta 变化对期权价格变动的影响。Delta 为 PDE 的第三项，表明了期权价格对标的物价格的一阶导数，也可以理解为标的物价格变动对期权价格变动的影响。另外还有一个重要的希腊字母 Vega 是期权价格波动率的一阶导数，也可以理解为波动率变动对期权价格的变动影响。这些希腊字母是随着期权标的物和时间不同动态变化的。如下面四张图所示，分别是以起始日期为 2019 年 9 月 26 日和到期日为 2019 年 11 月 27 日的 50ETF 期权随

6、时间和行权价不同的三维图。图 1： 50ETF 期权Delta（2019-09-26 到 2019-11-27）图 2： 50ETF 期权 Gamma（2019-09-26 到 2019-11-27）数据来源：Ricequant 华泰期货研究院数据来源：Ricequant 华泰期货研究院图 3： 50ETF 期权Theta（2019-09-26 到 2019-11-27）图 4： 50ETF 期权 Vega（2019-09-26 到 2019-11-27）数据来源：Ricequant 华泰期货研究院数据来源：Ricequant 华泰期货研究院我们从图中可以看到，Delta 在每一个时间截面上呈

7、现的是钟形的结构，Delta 值越高，期权随着标的物价格的改变就越快。Theta 在到期日快来临时，其值迅速下降，也就是说期权的时间价值在快接近到期日时下降的很快。接下来我们会关注 BSM-model 的解析式。对于看涨期权，其解析式为：c(t, s) = 1(, ) ()2(, )对于看跌期权，其解析式为：p(t, s) = ()2(, ) 1(, )其中：ln () + ( +2)( )1 (, ) = 2 ln () + ( 2)( )2(, ) = 2 我们可以看到在 BSM-model 中，行权价（），期权的到期日（ ），无风险利率（），标的物的价格（）均为已知量，唯一没有确定的量为

8、，即标的物的波动率。因此，我们通过估算标的物的波动率就可以很好的计算期权的价格。但是往往我们很难去估计标的物的波动率。当我们估算的波动率的时候，估算数据的长度以及使用估算波动率的方法都会使得波动率的差异性较大，也就造成了对期权价格估算的不准确。实际上，我们更多的是在知道现有期权价格的基础上使用 BSM-model 去反推标的物的波动率，该波动率也被称为期权的隐含波动率。如下图 5，6 所示，分别为隐波动率随时间和行权价变化的 3D 图以及隐波动率随行权价变化的截面图。依据公式，隐波动率在每一个截面上应该是一条平行于行权价的线，但是实际上是一条两边向上弯曲的线（也被称为隐波动率的微笑）。从这个角

9、度也说明了很难通过对波动率的估计去对期权进行准确定价。图 5： 50ETF 隐波动率（2019-09-26 到 2019-11-27）图 6： 50ETF 隐波动率微笑（2019-11-25）数据来源：Ricequant 华泰期货研究院数据来源：Ricequant 华泰期货研究院另一方面，隐含波动率可以理解为资产所反映的，对未来一段时间价格的预期，如果市场是有效的，则隐含波动率反应的应该是对未来波动率的有效估计。比如在 2008 年金融危机时，隐含波动率就起到了很好的预警作用。下文我们将使用隐含波动率去估计标的物的统计分布情况。四、BAW-model 介绍BSM model 的弊端在于仅仅对欧

10、式期权进行了很好的定价，并不能对美式期权进行较好的定价，美式期权即在到期日前的任何时间段都可以行权。在我国的商品期权市场上，有较多的商品期权属于美式期权。在这里我们引入了 BAW model，该模型较好的解决了美式期权的定价问题。既然美式期权可以在到期日前的任意时间段都可以行权，相对于欧式期权来说这种行权时间的灵活性将产生一个溢价，所以美式期权的价格应该等于欧式期权的价格加上这部分溢价。在上面的 BSM model 介绍中我们已经知道欧式期权的定价是有解析式的。那么美式期权的定价核心就是解决这部分溢价的问题。我们继续从 BSM model 的偏微分方程出发，因为欧式期权和美式期权都满足该偏微分

11、方程，那么这部分溢价也应满足偏微分方程，所以有：(, ) = (, ) (, )12+ 2 + 22 = 0其中，(, )为美式期权价格，(, )为欧式期权价格。现在我们假设：(, ) = ()(, )将该表达式代入偏微分方程，经过一系列的数学变换，我们可以得到美式期权的 BAW 定价公式为：C(S, T) = (, ) + (/)2 , 11P(S, T) = S, 1其中 X 为行权价，为美式期权价格与立刻执行期权所获得收益相等时的值。1 = 1 ()1()/12 = 1 ()1()/2通过如上公式，我们在知道美式期权的市场价格的情况下，就可以反推出其隐含波动率了。五、使用隐波动率去估算标

12、的物的统计分布我们使用隐含波动率作为预估的未来标的物的波动率，采用蒙特卡罗模拟的方式去模拟标的物的布朗运动，从而估算标的物价格的分布情况。蒙特卡罗模拟也称为统计模拟方法和随机抽样技术。它以摩纳哥著名赌城 Monte Carlo 命名，是一种以概率统计为指导的一类非常重要的数值计算方法。蒙特卡罗模拟的基本思想是当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。我们简单的假设标的物的运动服从几何布朗运动，即：此处的为隐波动率。其解析形式为：d/ = + = 0exp ( 22

13、) + )因为，0，均为已知量，我们只需通过蒙特卡罗模拟即可模拟出未来标的物的价格。此处我们采用 box-muller 公式产生，其计算方式如下：其中1和2均为0,1的均匀分布X = cos (21)22Box-muller 算法实现简单，只需生成均匀分布的两个随机数即可得到标准正态分布。六、结果展示以 2020 年 2 月 11 日的 50ETF 期权为例。我们可以通过蒙特卡洛模拟估算出未来 50ETF的统计分布如下图所示：图 7： 50ETF 预测概率密度分布图 8： 50ETF 预测累计概率分布数据来源：Ricequant 华泰期货研究院数据来源：Ricequant 华泰期货研究院从累计

14、概率分布图可以看到，结合 2 月 11 日的收盘价，其下跌的概率为 48.99%，下跌 5%的概率为 17.24%，上涨 5%的概率为 20.11%。所以，后续情况上涨概率更大，但同时，右尾端上涨的概率比左尾端下跌的概率略大。接下来我们会关注 300ETF 期权。以 2020 年 2 月 11 日的 300ETF（510300）期权为例。采用如上所述的方法，得到的密度分布图以及累计概率图分别为如下所示：图 9： 300ETF 预测概率密度分布图 10：300ETF 预测累计概率分布数据来源：Ricequant 华泰期货研究院数据来源：Ricequant 华泰期货研究院从累计概率分布图可以看到，

15、结合 2 月 11 日的收盘价，其下跌的概率为 48.92%，下跌 5%的概率为 4.2%，上涨 5%的概率为 5.4%。后续情况主要以震荡为主。接着，我们会关注一些商品期权，在此只做展示，不做太多叙述。以 2020 年 2 月 11 日的沪金（AU2010）期权为例。采用如上所述的方法，得到的密度分布图以及累计概率图分别为如下所示：图 11：AU2010 预测概率密度分布图 12：AU2010 预测累计概率分布数据来源：Ricequant 华泰期货研究院数据来源：Ricequant 华泰期货研究院从累计概率分布图可以看到，结合 2 月 11 日的收盘价，其下跌的概率为 45.15%，下跌 5

16、%的概率为 25.35%，上涨 5%的概率为 34.75%。玉米期权（C2005）采用如上所述的方法，得到的密度分布图以及累计概率图分别为如下所示：图 13：C2005 预测概率密度分布图 14：C2005 预测累计概率分布数据来源：Ricequant 华泰期货研究院数据来源：Ricequant 华泰期货研究院从累计概率分布图可以看到，结合 2 月 11 日的收盘价，其下跌的概率为 45.51%，下跌 5%的概率为 4.35%，上涨 5%的概率为 8.07%。棉花期权（CF2005）采用如上所述的方法，得到的密度分布图以及累计概率图分别为如下所示：图 15：CF2005 预测概率密度分布图 1

17、6：CF2005 预测累计概率分布数据来源：Ricequant 华泰期货研究院数据来源：Ricequant 华泰期货研究院从累计概率分布图可以看到，结合 2 月 11 日的收盘价，其下跌的概率为 49.3%，下跌 5%的概率为 21.3%，上涨 5%的概率为 23.56%。铜期权（CU2003）采用如上所述的方法，得到的密度分布图以及累计概率图分别为如下所示：图 17：CU2003 预测概率密度分布图 18：CU2003 预测累计概率分布数据来源：Ricequant 华泰期货研究院数据来源：Ricequant 华泰期货研究院从累计概率分布图可以看到，结合 2 月 11 日的收盘价，其下跌的概率

18、为 48.90%，下跌 5%的概率为 1.50%，上涨 5%的概率为 2.48%。铁矿石期权（I2005）采用如上所述的方法，得到的密度分布图以及累计概率图分别为如下所示：图 19：I2005 预测概率密度分布图 20：I2005 预测累计概率分布数据来源：Ricequant 华泰期货研究院数据来源：Ricequant 华泰期货研究院从累计概率分布图可以看到，结合 2 月 11 日的收盘价，其下跌的概率为 50.81%，下跌 5%的概率为 32.74%，上涨 5%的概率为 32.50%。豆粕期权（M2005）采用如上所述的方法，得到的密度分布图以及累计概率图分别为如下所示：图 21：M2005

19、 预测概率密度分布图 22：M2005 预测累计概率分布数据来源：Ricequant 华泰期货研究院数据来源：Ricequant 华泰期货研究院从累计概率分布图可以看到，结合 2 月 11 日的收盘价，其下跌的概率为 47.76%，下跌 5%的概率为 15.34%，上涨 5%的概率为 19.85%。橡胶期权（RU2003）采用如上所述的方法，得到的密度分布图以及累计概率图分别为如下所示：图 23：RU2003 预测概率密度分布图 24：RU2003 预测累计概率分布数据来源：Ricequant 华泰期货研究院数据来源：Ricequant 华泰期货研究院从累计概率分布图可以看到，结合 2 月 1

20、1 日的收盘价，其下跌的概率为 50.36%，下跌 5%的概率为 17.06%，上涨 5%的概率为 17.91%。PTA 期权（TA2004）采用如上所述的方法，得到的密度分布图以及累计概率图分别为如下所示：图 25：TA2004 预测概率密度分布图 26：TA2004 预测累计概率分布数据来源：Ricequant 华泰期货研究院数据来源：Ricequant 华泰期货研究院从累计概率分布图可以看到，结合 2 月 11 日的收盘价，其下跌的概率为 49.94%，下跌 5%的概率为 18.42%，上涨 5%的概率为 19.70%。上述预测概率密度分布的四阶统计量如下表所示。表格 1:预测概率密度分布的四阶统计量资产类别平均值标准差偏度峰度50ETF2.87990.16180.1785-0.0131300ETF3.94750.11910.0507-0.1164AU2010363.174434.11450.27170.0734C20051931.425962.51080.071-0.043CF200513168.1395862.91830.1809-0.043CU200345624.74351095.63540.0727-0.022M20052669.3584143.04730.19780.067