内积空间的基本概念

1、第四章 Hilbert空间-内积空间的基本概念设H是域K上的线性空间，对任意x,y g H,有一个中K数 (x, y)与之对应，使得对任意x,y,z e H ； a g k满足(x,y) 0 ； (x,y) =0,当且仅当 x = 0 ；(x,y) = (yx)；(ax,y) = a (x,y)；(x + y,z)=(x,z)+(y,z)；称(,)是H上的一个内积，H上定义了内积称为内积空间。定理1.1设H是内积空间，则对任意x，y e H有：l(x,y)zl (x,x)(y,y)。设H是内积空间，对任意x e h，命ll x ll= f(xx)则ll -ll是H上的一个范数。例 设H是区间,

2、b上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意x, y e H，定义(x, y) = J bX (t )y(tdta则与！da,b类似，(x,y)是一个内积，由内积产生的范数为ll x ll= (Jbl x(t)l2 dt)2a上一个内积介不是Hilbert空间。定理1.2设H是内积空间，则内积(x,y)是x,y的连续 函数，即时x x, y t y, (x，y) t (x,y)。定理1.3设H是内积空间，对任意x,y e H，有以下关 系式成立，平行四边形法则：II x + y 112+II x - y IL=2(II x IL + II y ll2)；极化恒等式：,、1(x,y) =( I

3、I x + y IL - II x 一 y IL + i II x + iy IL -一 4i II x 一 iy II2)定理1.4设X是赋范空间，如果范数满足平行四边形法 则，则可在X中定义一个内积，使得由它产生的范数正是x中 原来的范数。二正交性，正交系1正交性设H是内积空间，x，y e H,如果(x，y)=0,称x与y正 交，记为x上y。设M是H的任意子集，如果x e H与M中每一元正交， 称x与M正交，记为x 1M ；如果M，N是H中两个子集， 对于任意xeM，y eN，x 1 y,称M与N正交，记 M1N。设M是H的子集，所有H中与M正交的元的全体称为M的正交补，记为M -。定理2

4、.1设H是内积空间如果 x,y,z e H, x = y + z 且y z，则 II x ll2 =II y ll2+II z IL ；如果L是H的一个稠密子集，即L = H ,并且 x L，则 x = 0 ；M是H的任意子集，则M是H的闭子空间。定理2.2设M是内积空间H中的完备凸集，则对任意x e H，存在x e M，使得0II x 一 x II=d(x,M) = inf II x 一 y II0yeM定理2.3 (正交分解)设M是Hiert空间H的闭子空间，则 对任意x e H，存在唯一的x0 e M及y e M上，使得x = x + y02正交系设工, a e I是内积空间H中的子集，

5、如果aP时 a(x ,y ) = 0，称x ,a e 1 是中的一个正交系。设x ,a e 1是一个正交系，如果对每一上a e 1 JI xa II= 1称(x ,a e 1是 一个标准正交系。设工, ae 1是H的一个正交系，如果包含它的最小闭子 a空间是全空间H ,称x ,a e 1是的正交基。a定理2.4设。是内积空间H中的标准正交系，x e H ,na，,a是n个数，则当且当仅a = (x,e )(k =1，.,n)时，II x 一 Ea e H取最小值。 k k k=1定理2.5( Bessel不等式)设杞是内积空间H中的标准正n交系，则对任意x G H，有EI(x,e )I2II

6、x II2 k k=1定理2.6设e是内积空间中的一个标准正交系，则e 是完备的，当且仅当e 张成的子空间l在H中稠密。 n定理2.7设H是Hilbert空间，e 是H中的标准正交nn设H是Hiert空间，e 是H中的标准正交 n则存在x G H，使得& = (x, e )(k = 1,2,.)kk系，则e 是完备的，当且仅当e 是完全的。 n定理2.8系，化“ *并且 I & 12 =11 x II2 kk=1定理2.9 (正交化定理)设* 是内积空间H中的可数子集， n则在H中存在标准正交系e，使得x与。张成的子空间相同。3可分空间的同构定理2.10设H是任一可分的无穷维的Hilbert空

7、间，则存在H上到12同构映射9，且中保持内积。这个定理表示任何一个无穷维中分空间可以表示为“坐标形式”l 2三Riesz表示定理，Hilbert空间的共轭空间1 Riesz表示定理定理3.1( RiesZ表示定理)设H是Hiber空间，f是H上 任意有界线性泛函，则存在唯一的 y g H，使得对于每一个fx g h，有 f(x) = (x，y )，并且有iif ii=ii y II。ff2空间的共轴空间设H是Hiert空间，A g0 (H)，于是对任意y e H，易 见(Ax,y)(x e H)是H上的一个有界线性泛函，因此由Riesz 表示定理，存在唯一的z e H，使得(Ax, y) =

8、(x, z) (x g H)(1)定义By = z。定义设H是Hiber空间，A gP (H)，把(1)式确定的有 界线性算子B称为A的共轭算子。注意区别第三章第四节中定义H上的有界线性算子A的共轭 算子A*。以后说到Hilbert空间H上的有界算子的共轭算子A均指 定义的算子B，并且把它记为A*,即A的共轭算子A*是由下式定 义的算子：(Ax, y) = (x, A) (x, y e H)。定义 设H是Hert;空间，A是H上的有界线性算子，如果 a *=A，即对任意x, y e H(Ax, y) = (x, Ay)则称A是自共轭算子。设A是Hilbert;空间H的有界共轭算子，以下是算子A的一些 简单性质。对任意x e H, (A,x)是实的。IIA11= supl( Ax, x )11x11=1算子A的特征值是实的。对应于算子A的不同特征值七,七的特征向量xi,七是正交 的。四 Hilbert;空间中的自共轴紧算子引理4.1设H是Hilbert空间，A是H上的有界共轭算子， 如果存在x e H, 11 x |=1，使得泛函1甲(x)|=|(Ax，x)|在00 xo点达到极大，则由(x 0, y) = 0可推出(Ax ，y)=(x0, Ay)= 0。定理 4.2(Hilbert - Schmidt)设 A 是 Hilbert 空