大一大二大一数学复习4

1、工科数学分析基础西安交通大学理学院hqlee第章无穷级数第一节常数项级数函数项级数幂级数 Fourier级数第二节第三节第节幂级数2010-12-62/47四四第三节幂级数3.13.23.33.4幂级数及其收敛半径幂级数的运算性质函数展开成幂级数幂级数的应用举例习题4.32，4 (3) (5) (6), 9(1) (3) (5),10（2）,11幂级数2010-12-63/47.幂级数及其收敛半径xa aa x aLLnx2n形如n0nn0an或的函数项级数称为幂级数，n0n0n都是实常数.其中0与系数令 x x ta tnn0ann0n0n 0以下主要研究形如 an0t n的级数 .n幂级数

2、2010-12-64/47定理 3.1(Abel 定理 )对于级数xan ，下列命题成立：nn0（1）若在x0 0处收敛，则当时，该级数绝对收敛;时，该级数发散;0（2）若在x1 0处发散，则当1nnxxn Nn(1 nxan证明nn0 xx00nxNn收敛 xan收敛.收敛得证.(2) 用反证法可证nx0 xxx 收敛xx 发散发散发散00112010-12-65/47幂级数Q xan收敛, lim a xn ,0n0nn0N ,当n 时， xn 1n0幂级数的 收敛半 径幂级数xa定理3.2n的收敛性仅有三种可能nn0,（1）对于任何它都收敛，且绝对收敛。（2）仅在x=0 收敛.(3 R:

3、 R时收敛,当,当时发散(-R,R):收敛收敛半径.收敛区间xRR发散发散2010-12-66/47幂级数设有幂级数 xan若a,0并且定理3.3nnan存在或为，则收敛半径为limn an1若R=0,则级数仅在x=0 收敛.若R ，则级数在 )上收敛证利用正项级数检比法，n1 lim an1xaxn1Qlimnanxannnanan当x lim时,级数收敛; 当x lim时,级数发散n an1n an1anR limn an1幂级数2010-12-67/47R lim ann an1求下列幂级数的收敛域:例xnnxn2n12(1) (1n1n2();1)n ( x )n .n1(3n1 n!

4、nan lim n 1 1(Q R lim解n an1nn)n级数为n1当x 时,该级数收敛n1当x 时,级数为该级数发散nn 1故收敛域是 ,1.幂级数2010-12-68/47xn2n122();1)n ( x )n .n1(3nn1 n!an(2) R lim lim(n 1) 解 敛域 )n an1nann 1 1(3) R lim limnn an12n2x 1 1 收敛,x (0,1 收敛即221当x ,时级数为发散n故收敛域为(0,1.n1)n当x 级数为,时收敛nn1幂级数2010-12-69/47nx例 求幂级数n1的收敛区间.2n应用判别法解nx2n1 1n1 limlim

5、n2x,nxn2n2n当1 x2 ,1即x 级数收敛,2时,2当1 x2 ,1级数发散,x即时2R ,2).,2敛区为幂级数2010-12-610/47设 cn ( 1) 在n 3发散，求例 3 n)n c该级数的收敛半径；讨论的收敛性n 2 令x 1 t解 t 2时绝对收敛 2处收敛n在则级数 cn在t 2处发散 在t 2时发散 R 2敛区为 ,3)3 3 nQ,2)级数)n c收敛2n 2 幂级数2010-12-611/473.2若a0幂级数的运算及性质 s ( xxn, R )定理3.4n111bxn s ( x , R )n2220记R minR , R 则(1) (a b ) xn

6、s ( x) s ( x), (, R)nn120an ) x ) n n(2)a b xR)nnjin0 i 00baa bx a b a b ) x2 L(01100210(a b a b a Lb a b ) xn L1n1n1020n幂级数2010-12-612/47c 2级数的乘积34 xa5xaxaaa x2xaL345012b0a2345aaaa000102030405b1 xa b xx4x62x 3bax5baababa1013151112142xb2a3567aaaa4a220232521243xb34567aaaaa8a33031323334354xb479a56a8aa

7、aa44043454142445xb6795aaa10a8aa5515254505553Ln ) bn ) n0 xn a0i xbnnnnij02010-12-613/47幂级数c 6c 5c 4c 3c1c0定理3.5 （内闭一致收敛性）设幂级数 xan的收敛半， 则它在其收径为n0敛区间(上都是一致收敛的 .内任何闭子区间 r R令 max, b ,则证从而ra即ran绝对收敛,n收敛.nnn0n0nan x ann)又当时由M判别准则，级数 an0n在 r上一致收敛从而在上一致收敛.n幂级数2010-12-614/47定理.幂级数xan 的和函数sx(1)在收敛区间nn 0 RR)内连

8、续.任取x0 R R),证,0使 r R,必存在0由内闭一致收敛定理，级数 an在 连续数S(r上一致收敛于)nn0)在 根据定理.23，和函r上连续因而在x0处连续.幂级数2010-12-615/47（2）幂级数xan 的和函数sx在收敛区间nn 0 R并可逐项求导. 即 R)内可导,R), 有 n1s(n1 .) xnn0naxannnn0(收敛半径不变)（3）幂级数xan 的和函数s( x )在收敛区间nn 0)内可积,且可逐项积分，即对R)，有anx n 1xn1 .xxs( x)dx dx nnan xand000n0n0(收敛半径不变)n0幂级数2010-12-616/47n1n例

9、( x ) x n n1 x1 1 x x 11 x211 x n1)Sn1xx )1 (0 S) ln( x1(x幂级数2010-12-617/47nxn xnn1 n1n1xn 2 2xn n x nn1n1xn( nn1S n n1 n1例 xn1n1 x n1n1 n0nn(n0 21n)xnn nx2 x n0 1 x n0 nxn1 n1 x)nn0n n0 n0 1 ,1) 1 x 收敛区间为幂级数2010-12-618/47S( 1)nxn1n1nn)求n1例的和.2n解n , nn1)考虑级数(-1,1),收敛区间 x xn1 n1n 1) xn则s(n12 xx 2 x()

10、 1 x,(1 x)3) 1.8 s() 2故2nn1幂级数2010-12-619/47xn3x L.例7求级数的和函数。n!3n1n an1 )! QR limlim解!1nnn1xn x3n1!3LL.S设)(n!x3dS!3x),S (xS) C1 lndx)SS(0 x) Cx C1）（ ex 1 C 1 S( x幂级数2010-12-620/471n1n1x例求级数的和函数。nn2xna2令 x x 2R limn解nn an1n1 n2 1n112 2则 (x n1 1 n122 xdt x (0) ln1.2 t020 x 012xx 0 x 21 n12x n2n xx 21

11、)n1 ln(2且x 0且x 0 xx幂级数2010-12-621/47小结a或 xa1.幂级数的概念:nnn0nn1n12.幂级数的收敛半径和收敛域:an limR lim或收敛区间(-R,R)，nn an1n 首项 xn(3.幂级数的运算及求和1 x 1)nn n1 nx x x ,n1 n1 xn1xn x S( x xn1n1(nn) n幂级数2010-12-622/47n思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？思考题解答不一定.xnxn1 n1(例2nnn1 1)n2()( , 它们的收敛半径都是1,nn2,11, ,11), (,11)但它们的收敛域各是幂级

12、数2010-12-623/47幂级数第二讲习题 4.3(A)6(2)(4)(7), 7, 8(5), 14幂级数2010-12-624/473.3函数的幂级数展开收敛nax R x f ( x )n000n0展开问题1若 问题2能表达成右端的幂级数 ，an ?f x 满足什么条件时，才能 表达成右端的幂级数，或者右端的幂级数收敛 于f .幂级数2010-12-625/47首先回答问题1 x xnR x x0 R导。x0f如果n0n0则)(在收敛区间内任意阶可f x0 a1f x a f ()n1,n x xn01 2f ()n2n n 1)( x xn01f x !2a xLL0220!2(

13、x a n 1)L( k 1)( x xkf)n01k kak xf0k!n0n0n!nx0 R x x0 R)( 0幂级数2010-12-626/47Taylor级数的定义x0在处任意阶可导，则称如果f为在0点的 Taylor级数x0 0时的Taylor级数 x 11 f 0 x2 L0Lxf!2f n 0n!n0称为f(x)的Maclaurinnxn!（林）级数幂级数2010-12-627/47n n00 n0n!再研究第2个问题，即：f(x)满足什么条件时，k 0k收敛于f(x)。xxk!0k 0如果f 在区间(Rx0 R 内n 1阶可导，定理0则)(在该区间可以表示为k 0 n1 n

14、n1kxfxxn !100k!k 0 Pn x Rx0 xc介于 x 与之间，nn x由于n1x Rn 0f所以n1幂级数2010-12-628/47设)(在区间（ x0 R，定理3.7）任意阶0R，x0 R）内能展开为可导，则 f它在x0点的在（0级数的充要条件是 n1n1lim Rnx 0limxxn 0nnx0 R x x0 Rx 与 x0c介于之间，幂级数2010-12-629/47推论x 在区间（ x0 R，x0 R）任意阶如果f可导，f在（ x R，xR）内一致有界，n0与0即K ,0使对（x0 R，x0 R）,都有那么 在（ x0 R，x0 R）内必能nf( x展开为它在 x0点

15、的级数n1 Kn n1n1x x0 x x0Rn证n Kn 0 收敛n1Rn 收敛 0Rn幂级数2010-12-630/473.4函数展开成幂级数1.直 接法(级数法) f nx求an 0(;步骤:n! (M( n)(2)lim或0fx),nn)则级数在收敛区间内收 敛于幂级数2010-12-631/47例1x 展开成Maclaurin 级数.f将 e x(0) 1.(n 0,1,2,L)nn解(f 1 x21 xnx 1 LL!2n!对任何有限数 x , 其余项满足en1 0n )xnn )! 1 x 2 L 1 xnx )x 1 L!2n!幂级数2010-12-632/47例2将(f )x

16、的幂级数.nsin( n), ( f 0nn )(f)sin ,解2,1,2,L)2( 2n1) (0 f(n(0,1)n ,n fsin( x n) 1x )n且2n1 1 1sin x L3x 1)!3!5x )幂级数2010-12-633/47 (例3) n ( 1)L )(1 ny(1 特别地， 1 :（1 Ln 1xx x2x3 Ln011123Lx x :2)n (2n 3)! xnL,1( n) !幂级数2010-12-634/472.间接法根据唯一性, 利用常见展开式,通过变量代换,四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.(sixnx 例co如s)n1 1

17、1Qsin x x Ln 1)!3!512n 1cos 12Lx!2!4n)!x (,)幂级数2010-12-635/47dxL dxxx1 2arctan x1 x200n1 1 1 xLx3x5n 1x ,1dxx x) (1 x0ln(nn11 x n00n 1 1 x2Lx 23n,1幂级数2010-12-636/47 5处的Taylor展开式例4 求)(令x 5 t解 1t1x ft 2 tt 23 t n t n 11)n )n t 2 3 2 32 n0n0 n0 11 n 5n 2)(32幂级数2010-12-637/471 )n xn1nx 1 1 x 1 n0例5 把cos

18、x展开为（ x )的幂级数4 令 则cos解4 2x cos( t ) (cossin)42nt 2n2tnn) ) ( n 2(n)!n0n0 t 2 t 6 t 77!2t1 t L2!2!3!4!5!6 )4( x 24x ) L24!2!3!4幂级数2010-12-638/47例6Maclaurin 展式写出下列函数的1 x1 ;2cosln(cosx);arctan21 x解2nx 21 1 n (x1 (1) f ( x) )22(2n)!2 x )n01n 11211 (21) nlnf( ln( x12x 11 1 1 n1 1 x x nxn13()nx2( n1)n x2n

19、1) f 1 x2f 4( x 1)n0 )n 0 xn( x x)n 4幂级数2010-12-639/473.5式的主要应用1、求函数的近似值，且可估计误差。sin x1dx04的近似值，并使误差不超过例7计算x0 x3!3L7!Q sin解!5x 2sin x 1L1xsin x!31 !57!111dx L1x!1!0 104!sin x11dx 1 0.9461x!0幂级数2010-12-640/472.用小o求极限x2cos2limx0例8求4xx4 分析：cosxx2 2 224 1 1 e2!22 1 1 x 11 1原式 lim !4x08 解x4!4812幂级数2010-12-641/473.求高阶导数x xn , n0fn0n0n!an幂级数2010-12-642/47 f n (a0n( n0(10)例9 设f ( xarctan x ),