专题01 因动点产生的等腰三角形问题

1、备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题01因动点产生的等腰三角形问题【类型综述】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思

2、想和数形结合思想进行准确的分类.【方法揭秘】我们先回顾两个画图问题：1已知线段AB5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2已知线段AB6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类如果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三种情况解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算

3、哪些题目适合用几何法呢？如果ABC的A（的余弦值）是确定的，夹A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法如图1，如果ABAC，直接列方程；如图2，如果BABC，那么12ACABcosA；如图3，如果CACB，那么12ABACcosA代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来【例1】抛物线yx2bxc与x轴交于A-1,0），B（5,0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，（图1图2图3【典例分析】29点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P

4、不与C,D重合）过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F1求抛物线的解析式；2当VPCF的面积为5时，求点P的坐标；3eqoac(,当)PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标思路点拨AB1把（-1,0），（5,0）代入函数,利用交点式求解即可.P2先求出点C，设点（2，m），然后得函数PB的表达式为：y1mx5m，根据CEPE，33，求出直线CE的表达式为yx2，联立并解得：得故直线CE表达式中的k值为3m36mm，求出F2,0，利用VPCF的面积为5，求出m即可；x232m2m3y（x1）x-5x24x5x2x.222，3由点F的坐标得：CP2（2m），CF2（2m）4,PF2（

5、2m）m2分别算出CPCF，33CPPF，CFPF时的m即可.满分解答21将抛物线化为交点式：y2x2bxc=（xh）xk99AB将（-1,0），（5,0）代入可得22281099999故抛物线解析式为y=-x2x2810999.C22抛物线的对称轴为x1，则点（2，），P设点（2，m），将点P,B的坐标代入一次函数表达式：ysxt并解得：1函数PB的表达式为：ymx35m3，QCEPE故直线CE表达式中的k值为将点C的坐标代入一次函数表达式，3m，x2故点F2,0同理可得直线CE的表达式为：y2m联立并解得：x232m33m6mPCDF（2m)225，SVPCF2m311223P2,3或2,

6、2解得：m5或3（舍去5），P故点（2,-3）;2考点伸展CP2（2m）2，CF2（2m）24,PF2（）2m2，第（3）问的解题过程是这样的：由2确定的点F的坐标得：2m33CPCF时，即：2m4，解得当2m23m0：或365（均舍去），CPPF时，2m2m当2m232，解得：m32或3（舍去3），当CFPF时，同理可得：m2（舍去2），P2,或2,2故点32【例2】如图1，抛物线yax2bxc经过A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点eq

7、oac(,M)，使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由图1思路点拨1第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时PAC的周长最小2第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性满分解答所以点P的坐标为(1,2)图2（3）点M的坐标为(1,1)、(1,6)、(1,6)或(1,0)考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如图3，当MAMC时，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此时点M的坐标为(1,1)如图4，当AMAC时，AM2AC2解方程4m210，得m

8、6此时点M的坐标为(1,6)或(1,6)如图5，当CMCA时，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6当M(1,6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)图3图4图5【例3】如图1，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由图1思路点拨1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验2本题中等腰

9、三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起满分解答（3）抛物线的对称轴是直线x2，设点P的坐标为(2,y)当OPOB4时，OP216所以4+y216解得y23当P在(2,23)时，B、O、P三点共线（如图2）当BPBO4时，BP216所以42(y23)216解得yy2312当PBPO时，PB2PO2所以42(y23)222y2解得y23综合、，点P的坐标为(2,23)，如图2所示由y3x(x4)(x2)2)，得抛物线的顶点为D(2,图2图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么DOA与OAB是两个相似的等腰三角形323236633因此tanDOA233所以DOA30，ODA120【

10、例4】在平面直角坐标系xOy中，已知A(0,2)，动点P在y接AP，过点P作PQAP，交x轴于点Q，连接AQ33x的图像上运动（不与O重合），连（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动过程中，QAP是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由（3）当OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标思路点拨（1）作AHOP，由点P在y3x的图像上知：HOQ30，求出AH，即可得解；3（2）当点P在第三象限时，当点P在第一象的线段OH上时，当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，分别证明Q、P、O、A四点共圆，即可求得QAP=30；（3）分OPOQ，POPQ，QOQP三种情况，分别求解即可满分

11、解答（1）作AHOP，则APAH点P在y3x的图像上3HOQ30，HOA60A(0,2)，AHAOgsin603AP3（2）当点P在第三象限时，由QPAQOA90，可得Q、P、O、A四点共圆，PAQPOQ30当点P在第一象的线段OH上时，（3）设P(m,33m6m)，则lAP：y2由QPAQOA90，可得Q、P、O、A四点共圆，PAQPOQ180，又此时POQ150PAQ180POQ30当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，由QPAQOA90，可得APQAOQ180，Q、P、O、A四点共圆，PAQPOQ3033mPQAP，k2PQ3mmlPQ：y3m23mQ(4m23,0)33(xm)m34

12、2162164OP2m，OQ2m3m39934242162164当POPQ时，则424244PQ2m3m993当OPOQ时，则mm3m3993整理得：m243m30解得：m233Q(234,0)，Q(234,0)1244mm3m3993整理得：2m23m30解得：m3或m32当m3时，Q点与O重合，舍去，2m3，Q(23,0)则16216442Q(23,0)33当QOQP时，44m3mm3m993993整理得：m23m0解得：m34【例5】如图1，在矩形ABCD中，AB8，AD10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G

13、（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且DMNDAM，设AMx，DNy写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；是否存在这样的点M，使VDMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由思路点拨1由翻折可知：ADAF10.DEEF，设ECx，则DEEF8x.在RtVECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题2证明VADMVGMN，可得ADMGAMGN，由此即可解决问题有两种情形：如图31中，当MNMD时.如图32中，当MNDN时，作MHDG于H.分别求解即可解决问题满分解答（1）如图1中，四边形ABCD是矩形，ADBC10，ABC

14、D8，BBCD90，由翻折可知：ADAF10DEEF，设ECx，则DEEF8x在RtVABF中，BFAF2AB26，CFBCBF1064，在RtVEFC中，则有：8x2x242，x3，EC3（2）如图2中，ADCG，ADDE，CGCE105，CG3AD10CG6，BGBCCG16，在RtVABG中，AG8216285，在RtVDCG中，DG628210，ADDG10，DAGAGD，DMGDMNNMGDAMADM，DMNDAM，ADMNMG，VADMVGMN，AM，MGGNx，85x10yy145x2x10105当x45时，y有最小值，最小值2存在有两种情形：如图3-1中，当MNMD时，DMMD

15、NGMD，DMNDGM，VDMNVDGM，MN，DGGMMNDM，DGGM10，xAM8510如图3-2中，当MNDN时，作MHDG于HMNDN，MDNDMN，DMNDGM，MDGMGD，MDMG，BHDG，由VGHMVGBA，可得GH5DHGH5，MG，GBAGMG，1685MG552，xAM855511522综上所述，满足条件的x的值为8510或1152【例6】如图1，已知eqoac(,Rt)ABC中，C90，AC8，BC6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从ABC方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（1）在运动过程中，求P、Q两点

16、间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间eqoac(,t)，使得PQC为等腰三角形若存在，求出此时的t值，若（不存在，请说明理由52.24，结果保留一位小数）图1思路点拨1过点B作QP的平行线交AC于D，那么BD的长就是PQ的最大值2线段PQ扫过的面积S要分两种情况讨论，点Q分别在AB、BC上3等腰三角形PQC分三种情况讨论，先罗列三边长满分解答图2图3图4（2）如图2，当点Q在AB上时，0t5，SABD15)2所以Seqoac(,S)AQP15()2t2由AQPABD，得eqoac(,S)AQPeqo

17、ac(,S)ABD(APADt355因为eqoac(,S)CQPCQCP(162t)(8t)(t8)2，如图3，当点Q在BC上时，5t8，eqoac(,S)ABC241122所以Seqoac(,S)ABCeqoac(,S)CQP24(t8)2t216t40（3）如图3，当点Q在BC上时，CQ2CP，Ceqoac(,90)，所以PQC不可能成为等腰三角形当点Q在AB上时，我们先用eqoac(,t)表示PQC的三边长：易知CP8t所以QPQPAPQPt如图2，由QP/BD，得，即BDAD355355t如图4，作QHAC于H在RtAQH中，QHAQsinAt，AHt6在eqoac(,Rt)CQH中，

18、由勾股定理，得CQQH2CH2(t)2(8t)26855855如图8，当点Q在AB上时，PQQH2PH2(t)2(tt)26图5图6图7考点伸展第（1）题求P、Q两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：855355t当Q与B重合时，PQ最大，此时t5，PQ的最大值为35如图9，当点Q在BC上时，PQCQ2CP2(2CP)2CP25(8t)当Q与B重合时，PQ最大，此时t5，PQ的最大值为35综上所述，PQ的最大值为35图8图9【变式训练】1矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B(23,2)，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P

19、作PDPC，交x轴于点D下列结论：OABC23；当点D运动到OA的中点处时，PC2PD27；在运动过程中，CDP是一个定值；当ODP为等腰三角形时，点D的坐标为,0其中正确结论的个数是（233）A1个B2个C3个D4个【答案】D【详解】解：四边形OABC是矩形，B(23,2)，OABC23；故正确；点D为OA的中点，1ODOA3，22PC2PD2CD2OC2OD222（3）7，故正确；如图，过点P作PFOAA于F，FP的延长线交BC于E，PEBC，四边形OFEC是矩形，EFOC2，2设PEa，则PFEFPEa，BE在RtBEP中，tanCBOPEBE3PE3a，OC3BC3，CEBCBE233

20、a3(2a)，QPDPC，CPEFPD90，QCPEPCE90，FPDECP,，QCEPPFD90，CEPPFD，PECP，FDPDa3(2a)FD2a，FDa3，tanPDCPCPDa3a，3PDC60，故正确；QB(23,2)，四边形OABC是矩形，OA23,AB2，QtanAOBAB3OA3，OD3AOB30，当ODP为等腰三角形时，、ODPD，DOPDPO30o，ODP60o，ODC60o，23OC33、OPODODPOPD75o，QCODCPD90o，OCP105o90o，故不合题意舍去；、OPPD，PODPDO30o，OCP150o90o故不合题意舍去，233,0当ODP为等腰三角

21、形时，点D的坐标为故正确，故选：D2如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB4，EF2，设AEx当VPEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是（）当x0（即E、A两点重合）时，P点有6个当0 x422时，P点最多有9个当P点有8个时，x222当VPEF是等边三角形时，P点有4个A【答案】B【详解】BCD当x0(即E、A两点重合)时，如图1，分别以A、F为圆心，2为半径画圆，各2个点P，以AF为直径作圆，有2个P点，共6个，所以，正确；当0 x422时，如图2、图3所示，此时P点最多有8个，故错误；当点P有8个时，如图2、图3

22、所示，此时0 x422，故错误；如图eqoac(,4)，当PEF是等边三角形时，有两个P点关于BD对称的位置，共有4个，故正确；综上，不正确的是，一定正确的是，故选B.3如图，在矩形ABCD中，AD3AB310，点P是AD的中点，点E在BC上，CE2BE，点M、N在线段BD上若PMN是等腰三角形且底角与DEC相等，则MN_【答案】6或158【详解】分两种情况：MN为等腰PMN的底边时，作PFMN于F，如图所示：则PFMPFN90，Q四边形ABCD是矩形，ABCD，BCAD3AB310，AC90，ABCD10，BDQ点P是AD的中点，AB2AD210，PD1AD31022，PFPD，即PF2，Q

23、PDFBDA，PDF:BDA，310ABBD1010解得：PF32，NFQCE2BE，BCAD3BE，BECD，CE2CD，QPMN是等腰三角形且底角与DEC相等，PFMN，MFNF，PNFDEC，QPFNC90，PNF:DEC，CE2，PFCDNF2PF3，MN2NF6；MN为等腰PMN的腰时，作PFBD于F，如图所示，由得：PF3，MF3，2设MNPNx，则FN3x，RtVPNF中，(3x)2x2，在322解得：x1515，即MN，88综上所述，MN的长为6或158.4如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO,CO分别在x轴，y轴上，A点的坐标为(8,6)，点P在矩形ABOC的内部，点

24、E在BO边上，满足PBECBO，当APC是等腰三角形时，P点坐标为_，)或(4，326【答案】(553)PE【详解】解：点P在矩形ABOC的内部，且APC是等腰三角形，P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示：PEBO，COBO，PE/CO，PBECBO，四边形ABOC是矩形，A点的坐标为(8,6)，点P横坐标为4，OC6，BO8，BE4，PBECBO，BEPE4，即，COBO68解得：PE3，点P(4,3)；P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，过点P作PE

25、BO于E，如图2所示：COBO，PE/CO，PBECBO，四边形ABOC是矩形，A点的坐标为(-8,6)，ACBO8，CP8，ABOC6，BCBO20C2826210，BP2，PBECBO，PEBEBPPEBE2，即：，COBOBC6810点P(，)；综上所述：点P的坐标为：(，)或(4，；326故答案为：(，)或(4，32668解得：PE，BE，55832OE8，55326553)553)55）5在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），点B（5，0，有一动点P在直线AB上，APO是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A2个B3个C4个D5个【答案】C【详解】如图，（1）AP1=AO；（

26、2）AP2=AO；（3）OA=OP3；（4）AP4=OP4.因此，满足条件的点P共有4个.故选C.。6如图，点A、B、P在O上，且APB=50若点M是O上的动点，要使ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有()A1个B2个C3个D4个【答案】D【详解】类推论：当MA=MB，则M为AB的垂直平分与圆的两交点，这时两个等腰三角形的顶角分别为50，130；当AM=AB，以A为圆心，AB为半径交O于M，此时等腰三角形只有一个，且底角为50；同理当BM=BA，满足条件的等腰三角形也只有一个eqoac(,解：)ABM为等腰三角形，当MA=MB，则M为AB的垂直平分与圆的两交点，这时两个等腰三角形的顶角分

27、别为50，130，如图；当AM=AB，以A为圆心，AB为半径交O于M，此时等腰三角形只有一个，且底角为50；同理当BM=BA，满足条件的等腰三角形也只有一个，如图，所以满足条件的等腰三角形有4个故选D，7如图，AB是O的直径，BC是弦，AB10cm，BC6cm若点P是直径AB上一动点，当VPBC是等腰三角形时，AP_cm【答案】2.8、4或5【详解】解：B为顶点即BCBP时，APABAP，11106，4C为顶点即CPCB时，RtVBAC中：ACAB2BC28，VABC1S1ACBCABCD，22CD4.8，BDBC2CD23.6，APABBPAB2BD2.822P为顶点即CPBP时，P与D重合

28、，APr53综上AP为2.8，4或5cm故答案为：2.8，4或5cm8如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），AON30，当A_时，AOP为等腰三角形【答案】30或75或120【详解】试题解析：当点O为等腰三角形顶点时，A=75，当点A为等腰三角形顶点时，A=120，当点P为顶点时，A=30，故答案为30或75或1209如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个恰动点，把EBF沿EF折叠，点B落在B处，若CDB为等腰三角形，则DB的长为.【答案】16或4.【详解】（1）当BD=BC时，过B点作GHAD，则BGE=90，当

29、BC=BD时，AG=DH=DC=8，由AE=3，AB=16，得BE=13由翻折的性质，得BE=BE=13，EG=AGAE=83=5，BG=12，BH=GHBG=1612=4，DB=；（2）当DB=CD时，则DB=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）；（3）当CB=CD时，EB=EB，CB=CB，点E、C在BB的垂直平分线上，EC垂直平分BB，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去综上所述，DB的长为16或故答案为：16或10如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（5，4），点P为线段BC上动点，当POA为等腰三角形时，点p坐标为_【答案】（25，4

30、），（3，4），（2，4）【详解】当PA=PO时，P在OA的垂直平分线上，P的坐标是（25，4）；当OP=OA=5时，由勾股定理得：CP=OP2CP2=3，P的坐标是（3，4）；当AP=AO=5时，同理BP=3，CP=5-3=2，P的坐标是（2，4）11在RtABC中，ACB=90，AC=12点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形若点G为DE的中点，求FG的长若DG=GF，求BC的长（2）已知BC=9，是否存在点D，使得DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由【答

31、案】（1）,12；（2）等腰的腰长为4或20或或理由见解析.【详解】（1）在正方形在中，中，,如图1中，正方形中，设，在中，解得，在中，（2）在如图2中，中，当点在线段，设，则上时，此时只有，则，整理得：，解得腰长或5（舍弃）如图3中，当点在线段，的延长线上，且直线，的交点中上方时，此时只有，设，则，解得腰长或（舍弃），如图4中，当点在线段设，则的延长线上，且直线，的交点中，下方时，此时只有，过点作，解得或（舍弃）腰长，如图5中，当点在线段的延长线上时，此时只有，作于设，则，解得或（舍弃），腰长，综上所述，等腰的腰长为4或20或或12在ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个

32、动点（点P不与点A，O，C重合）过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当ABC=90时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CFAE|=2，EF=23，当POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长【答案】（1）OF=OE；（2）OFEK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62或【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，233.AEBE，CFBE，AECK，EAO=KCO，OA=OC，AOE=COK，AOECOK，OE=OK，EFK是直角三角形，OF=12EK=OE

33、；（2）如图2中，延长EO交CF于K，ABC=AEB=CFB=90，ABE+BAE=90，ABE+CBF=90，BAE=CBF，AB=BCeqoac(,，)ABEBCF，BE=CF，AE=BF，AOECOK，AE=CK，OE=OK，FK=EF，EFK是等腰直角三角形，OFEK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PHOF于H，|CFAE|=2，EF=23，AE=CK，FK=2，在eqoac(,Rt)EFK中，tanFEK=33，FEK=30，EKF=60，EK=2FK=4，OF=12EK=2，OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在eqoac(,

34、Rt)PHF中，PH=12PF=1，HF=3，OH=23，OP=1223262.OP=3如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，POF=PFO=30，BOP=90，23OE=，33综上所述：OP的长为62或233.13如图1，抛物线y原抛物线相交于点D316x2平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影；（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OMt，试探求：t为何值时MAN为等腰三角形；为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少16=12；（

35、2）t【答案】（1）平移后抛物线的解析式y15小值为23x2bx，92，当3时，PN取最【详解】（1）设平移后抛物线的解析式y316x2bx，将点A（8，,0）代入，得y333x2x=(x4)23，162168mn0mn6所以顶点B（4,3），所以S阴影=OCCB=12；（2）设直线AB解析式为y=mx+n，将A（8，0）、B（4，3）分别代入得3，解得：4，4mn33所以直线AB的解析式为yx6，作NQ垂直于x轴于点Q，48t243t当MNAN时，N点的横坐标为，纵坐标为，28243t8t2，解得t,8（舍去）.2NQMQ由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得OMOP8t6938t，AQ4

36、8tMQ当AMAN时，AN8t,由三角形ANQ和三角形APO相似可知NQ8t555，3NQMQ8t5，t68t由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：5OMOP解得：t12（舍去）；当MNMA时，MNAMAN45故AMN是钝角，显然不成立,故t92；得点N的横坐标为XN=，即t2xNt+36xN=0，tt2由MN所在直线方程为y=x，与直线AB的解析式y=x+6联立，66722t292tx）0，得xN6或xN14，由判别式=xeqoac(,2N)4（3692N又因为0 xN8，所以xN的最小值为6，此时t=3，当t=3时，N的坐标为（6，），此时PN取最小值为15214如图，在平面直角坐标系中

37、，抛物线y=ax2+bx2与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，2），OB=4OA，tanBCO=2（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，同2时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，当点M、N中的一点到达终点时，两点同时停止运t动过点M作MPx轴于点E，交抛物线于点P设点M、点N的运动时间为（s），当t为多少时，PNE是等腰三角形？【答案】（1）A（1，0）；（2）y=12x232x2；（3）当t=1eqoac(,时，)PNE是等腰三角形【详解】（1）C（0，2）

38、，OC=2，由tanBCO=OCOB=2得OB=4，16a4b2023则点B（4，0），OB=4OA，OA=1，则A（1，0）；（2）将点A（1，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx2，ab20得：，1a解得：，b2抛物线解析式为y=123x2x2；2（3）设点M、点N的运动时间为t（s），则AN=2t、BM=PEx轴，PEOC，BME=BCO，5t，2则tanBME=tanBCO，即BEME=2，BEBE22=，即5=，tBM552则BE=t，OE=OBBE=4t，PE=1133（4t）2（4t）2=（4t）2+（4t）+2，22225点N在点E左侧时，即1+2t4t，解得t，3此时NE=

39、AO+OEAN=1+4t2t=53t，PNE是等腰三角形，PE=NE，即123（4t）2+（4t）+2=53t，2整理，得：t211t+10=0，解得：t=1或t=1053（舍）；当点N在点E右侧时，即1+2t4t，解得t又5t25且2t5，255t，32此时NE=ANAOOE=2t1（4t）=3t5，13由PE=NE得（4t）2+（4t）+2=3t5，22整理，得：t2+t10=0，53，解得：t=-1-412-1+4150，舍去；或t=，舍去；22综上，当t=1eqoac(,时，)PNE是等腰三角形15抛物线y=6623x2x+6与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D

40、3是该抛物线的顶点（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PFx轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+12EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接eqoac(,CH)，将OBC沿直线CH翻折至eqoac(,O)2B2C的位置，再将eqoac(,O)2B2C绕点B2旋转一周在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，eqoac(,N)那么，在O2B2C的整个旋转过程中

41、，是否存在恰当的位置，使AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由；（2）26+33（3），O2M的长或6或22+6或226【答案】（1）26633【详解】（1）如图1，过点D作DKy轴于K，当x=0时，y=6，C（0，6），x2x+6=-（x2)2，y=6623646363D（-2，463），DK=2，CK=46CD=DK2CK2（2）2+(66-6=，3326)233；（2）在y=-623623x2x+6中，令y=0，则-x2x+6=0，3663解得：x1=-32，x2=2，A（-32，0），B（2，0），C（0，6），易得直线AC

42、的解析式为：y=3x+6，3设E（x，33x+6），P（x，-6623，x2x+6）3PF=-66233x2x+6，EF=x+6，33RtACO中，AO=32，OC=6，AC=26，CAO=30，AE=2EF=23x+26，3PE+1262331EC=（-x2x+6）-（x+6）+（AC-AE），633223=-=-6666123x2-3x+26-（x+26），3x2-3x-x，3=-646（x+22）2+，63当PE+12EC的值最大时，x=-22，此时P（-22，6），PC=22，O1B1=OB=2，要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小，如图2，将点P向右平移2个单位

43、长度得点P1（-2，6），连接P1B1，则PO1=P1B1，再作点P1关于x轴的对称点P2（-2，-6），则P1B1=P2B1，PO1+B1C=P2B1+B1C，连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1，B1（-22，0），将B1向左平移2个单位长度即得点O1，此时PO1+B1C=P2C=(26)2(2)2=26，对应的点O1的坐标为（-322，0），四边形PO1B1C周长的最小值为26+32；（3）O2M的长度为理由是：如图3，63或6或22+6或22-6H是AB的中点，OH=2，OC=6，CH=BC=22，HCO=BCO=30，ACO=60，将CO沿CH对折后落在直线A

44、C上，即O2在AC上，B2CA=CAB=30，B2CAB，B2（-22，6），如图4，AN=MN，MAN=AMN=30=O2B2O3，由旋转得：CB2C1=O2B2O3=30，B2C=B2C1，B2CC1=B2C1C=75，过C1作C1EB2C于E，B2C=B2C1=22，C1E2=B2O2，B2E=6，O2MB2=B2MO3=75=B2CC1，B2O2M=C1EC=90，eqoac(,C)1eqoac(,EC)B2O2M，O2M=CE=B2C-B2E=22-6；如图5，AM=MN，此时M与C重合，O2M=O2C=6，如图6，AM=MN，O2M=1AO2=；B2C=B2C1=22=B2H，即N

45、和H、C1重合，CAO=AHM=MHO2=30，633如图7，AN=MN，过C1作C1EAC于E，NMA=NAM=30，O3C1B2=30=O3MA，C1B2AC，C1B2O2=AO2B2=90，C1EC=90，四边形C1EO2B2是矩形，EO2=C1B2=22，C1EB2O22，EM=6，O2M=EO2+EM=22+6，综上所述，O2M的长是63或6或22+6或2263316如图：一次函数yx3的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数yx3（0 x4）图象44上任意一点，过点P作PMy轴于点M，连接OP.（1）当AP为何值时，OPM的面积最大？并求出最大值；（2）当BOP为等腰三角形时，试确

46、定点P的坐标.【答案】（1）AP=54123；（2）点P的坐标为(，)或(2，)5252【详解】（1）令点P的坐标为P(x0，y0)QPMy轴，S112OMPMOPM2x0y0OPMxx3x4xx22将yx3代入得S4020408821333330000当x02时，OPM的面积，有最大值Smax32，即：PM2，PM/OB，APPMABOB即APABPMOBQ直线AB分别交两坐标轴于点A、B，A0,3，B4,0，OA3，OB4，AB5，AP52；QPM/OB，（2）在BOP中，当BOBP时BPBO4，AP11APPMABOB4MP，54312将MP代入代入yx3中，得OM545412P(，)；

47、155在BOP中，当OPBP时，如图，过点P作PNOB于点NQOPBP，1ONOB2233将ON2代入yx3中得，NP42点P的坐标为P2,，)或2,32123即：点P的坐标为(4，52517已知抛物线F：yx2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（33，0）（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y33x+m（m0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m43，设点A是点A关于原点O的对称点，如图2判断eqoac(,AA)B的形状，并说明理由；平面内是否存在点P，使得以点A、B、

48、A、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由x；2）y2y13m（m0）；（3）等边三角形；点P的坐标为（23，）、（【答案】1）yx233（223310）和（23，23333【详解】，2）c0(1)抛物线yx2+bx+c的图象经过点(0，0)和(33c03b13，解得：3，bc033，0)，抛物线F的解析式为yx233x；(2)将y33x+m代入yx2x，得：x2m，33解得：x1m，x2m，3mm，y23mm，y11133y2y1(1123mm)(3mm)3m(m0)；333(3)m4，)，点B的坐标为(23223，点A的坐标为(3333，2)，)；A(2322

49、3，)，B(，)，AA=，33333点A是点A关于原点O的对称点，点A的坐标为(AAB为等边三角形，理由如下：232，2)，A(3333323232222823233282AB=3332323223，2283323AB=，3x23x(i)当AB为对角线时，有，解得：2，y2y323232AAABAB，AAB为等边三角形；AAB为等边三角形，存在符合题意的点P，且以点A、B、A、P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为(x，y)23232333332点P的坐标为(23，)；32323xx(ii)当AB为对角线时，有，解得：y222y1033310点P的坐标为(23，)；33，23x3(iii)当

50、AA为对角线时，有y2223323x，解得：3，y2点P的坐标为(233，2)2综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为(23，)、310)和(23，23333，2)18已知一次函数ykxb的图象与反比例函数ym的图象交于点A，与x轴交于点B(5,0)，若xOBAB，且S2OAB15.（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，ABP是等腰三角形，求点P的坐标.，yx；（2）P(0,0)、P(10,0)，P(13,0)，P,0 x4448【答案】（l）y2731565123【详解】（l）过点A作ADx轴于点DSOAB1521115O

51、BAD5AD222AD3B(5,0)ABOB5在RtABD中，BDOD9A(9,3)AB2AD252324ymm经过点A3m27x9反比例函数表达式为y27x49kb3b155kb0一次函数表达式为y3ykxb经过点A，点B3k解得415x44（2）本题分三种情况12当以AB为腰，且点B为顶角顶点时，可得点P的坐标为P(0,0)、P(10,0)3当以AB为腰，且以点A为顶角顶点时，点B关于AD的对称点即为所求的点P(13,0)44当以AB为底时，作线段AB的中垂线交x轴于点P，交AB于点E，则点P即为所求4由（1）得，C0,15在RtOBC中，BCOC2OB2521524254254254BC

52、BPcosABP4cosOBC54BEOB252565BPOP5BP48884P465,0819如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C0,2，点A的坐标是2,0，P为抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x1.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE14OD，求PBE的面积PBE；（3）存在，M55428将点C(0，-2)代入得：8a2，解得：a1（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的下方，是否存在点M，使BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由11520255【答案】

53、（1）yx2x2；（2）S,【详解】(1)点A的坐标是2,0，抛物线的对称轴是直线x1，则点B4,0，所以设函数的表达式为：yax2x4ax22x8，4，4x2故抛物线的表达式为：y112x2；n2(2)设直线BC的解析式为y=mx+n，4mn0将点B(-4，0)、C(0，-2)分别代入得，解得：m12，2x2，n2所以直线BC的表达式为：y1设点Dx,0，则OD=-x，点Px,4x21112x2，点Ex,2x2，PE=122x2x24x2x，4x11124OD，PE14x2x=1x4，解得：x0或x=-5(舍去x0)，点D5,0，PE=54，BD=-4-(-5)=1，S11552PEBD1P

54、BE248；(3)由题意得：在x轴下方，BDM是以BD为腰的等腰三角形，只存在：BDBM的情况，BM=BD=1，B(-4，0)、C(0，-2)，OB=4，OC=2，BOC=90，BC=OB2OC2=5，sinABCOCBC1555，设M的坐标为(xM，yM)，BMsinABC15则yM555，则x5M2025，M55故点20255,.20AB与O相切于点A，直线l与O相离，OBl于点B，且OB5，OB与O交于点P，AP的延长线交直线l于点C（1）求证：ABBC；（2）若O的半径为3，求线段AP的长；（3）若在O上存在点G，使GBC是以BC为底边的等腰三角形，求O的半径r的取值范围【答案】（1）

55、见解析；（2）AP655；（3）O的半径r的取值范围为：5r5【详解】（1）证明：如图1，连接OA，AB与O相切，OAB90，OAPBAC90，OBl，BCABPC90，OAOP，OAPOPABPC，BACBCA，ABBC；（2）解：如图1，连接AO并延长交O于D，连接PD，则APD90o，OB5，OP3，PB2，BCAB0B2OA24，在RtPBC中，PCPB2BC225，DAPCPB，APDPBC90，VDAPVPBC，APADAP6，即，PBPC225解得，AP655；则OE1（3）解：如图2，作BC的垂直平分线MN，作OEMN于E，11BCAB52r2，222由题意得，O于MN有交点，

56、1OEr，即52r2r，2解得，r5，直线l与O相离，r5，则使GBC是以BC为底边的等腰三角形，O的半径r的取值范围为：5r521已知在平面直角坐标系xOy中，直线l分别交x轴和y轴于点A3,0,B0,3.1(1)如图1，已知eP经过点O，且与直线l相切于点B，求eP的直径长；1(2)如图2，已知直线l:y3x3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l上的一个动点，以Q为22圆心，22为半径画圆.当点Q与点C重合时，求证:直线l1与eQ相切；设eQ与直线l1相交于M,N两点，连结QM,QN.问:是否存在这样的点Q，使得QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)eP的直径长为32；(2)见解析；存在这样的点Q(32,632)和1Q(32,632)，使得QMN是等腰直角三角形.2【详解】（1）如图3，连接BC，BOC=90，点P在BC上，P与直线l1相切于点B，ABC=90，而OA=OB，ABC为等腰直角三角形，则P的直径长=BC=AB=32(2)如图4过点C作CEAB于点E，图4将y0代入y3x3，得x1，点C的坐标为1,0.AC4，CAE45，CE2AC22.2点Q与点C重合，又eQ的半径为22，直线l1与eQ相切.假设存在这样的点Q，使得QMN是等腰直角三角形，直线l1经过点A3,0,B0,3，l的函数解析式为y=x+3.记直