一元二次方程的解法

1、标准形式一元一次方程的标准形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是（，为 HYPERLINK /view/122755.htm t /_blank 常数，为 HYPERLINK /subview/1017552/16596129.htm t /_blank 未知数，且）。其中是未知数的 HYPERLINK /view/960.htm t /_blank 系数，是常数，是未知数。未知数一般设为,。方程特点（1）该方程为 HYPERLINK /view/314056.htm t /_blank 整式方程。（2）该方程有且只含有一个未知数。（3）该方程中未知数的最高 HYPERLINK /v

2、iew/653919.htm t /_blank 次数是1。满足以上三点的方程，就是一元一次方程。判断方法要判断一个方程是否为一 HYPERLINK /subview/6673/6324750.htm t /_blank 元一次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为的形式，则这个方程就为一元一次方程。里面要有等号，且分母里不含未知数。变形公式（，为 HYPERLINK /view/122755.htm t /_blank 常数，为未知数，且）求根公式一元一次方程的标准形式：ax+b=0 (a0)其求 HYPERLINK /subview/41444/5672668.ht

3、m t /_blank 根公式为：x=-b/a一元一次方程只有一个根通常解法去分母去括号移项合并同类项x系数化为1（即化为x=a的形式）两种类型（1）总量等于各分量之和。将未知数放在等号左边，常数放在右边。如：。（2）等式两边都含未知数。如：，。方程举例3b=-15a+2=52x=1都是一元一次方程。方程起源“方程”一词来源于中国古算术书 HYPERLINK /view/17765.htm t /_blank 九章算术。在这本著作中，已经列出了一元一次方程。法国数学家 HYPERLINK /view/4704.htm t /_blank 笛卡尔把未知数和常数通过 HYPERLINK /view

4、/711485.htm t /_blank 代数运算所组成的方程称为 HYPERLINK /view/428926.htm t /_blank 代数方程。在19世纪以前，方程一直是 HYPERLINK /view/79404.htm t /_blank 代数的核心内容。主要用途一元一次方程通常可用于做应用题，如工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、球赛积分表问题、电话（水表、电表）计费问题、数字问题等。12补充说明 HYPERLINK /link?url=2PO1iZnvMVi1JvxAKlBo4TKzYaZMjjjGtdFyvKAHKDx5x-qSjZigtgobIgx1Mo6ZdzZ1L

5、3sc8MPkOMcXX1RlaK o 编辑本段 编辑合并同类项（1）依据： HYPERLINK /view/126677.htm t /_blank 乘法分配律（2）把所含字母相同且相同字母的指数也相同的项合并成一项； HYPERLINK /view/122755.htm t /_blank 常数计算后合并成一项（3）合并时次数不变，只是 HYPERLINK /view/960.htm t /_blank 系数相加减。移项（1）依据：等式的性质1（2）含有未知数的项变号后都移到方程左边，把常数项移到右边。（3）把方程一边某项移到另一边时，一定要变号（如： HYPERLINK /view/56

6、1697.htm t /_blank 移项时将+改为-，改为）。等式性质 HYPERLINK /view/194373.htm t /_blank 等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个 HYPERLINK /view/328867.htm t /_blank 整式，等式仍然成立。等式的性质二：等式两边同时乘或除以一个不为零的代数式，等式仍然成立。等式的性质三：等式两边同时 HYPERLINK /view/532153.htm t /_blank 乘方（或 HYPERLINK /view/594735.htm t /_blank 开方），等式仍然成立。 HYPERLINK /

7、view/793482.htm t /_blank 解方程都是依据等式的这三个 HYPERLINK /view/644615.htm t /_blank 性质。解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，也可以说是满足方程的一个数值一、去分母做法：在方程两边各项都乘以各分母的 HYPERLINK /view/341375.htm t /_blank 最小公倍数；依据：等式的性质2二、去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，可根据 HYPERLINK /view/126677.htm t /_blank 乘法分配律（记住如括号外有减号或除号的话一定要变号）依据：乘法分配律三、移

8、项做法：把方程中含有未知数的项都移到方程的一边（一般是含有未知数的项移到方程左边，而把常数项移到右边）依据：等式的性质1四、合并同类项做法：把方程化成ax=b（a0）的形式；依据：乘法分配律（逆用乘法分配律）五、系数化为1做法：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a。依据：等式的性质2.解方程口诀去分母，去括号，移项时，要变号， HYPERLINK /view/313812.htm t /_blank 同类项，合并好，再把系数来除掉。同解方程如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做 HYPERLINK /view/867224.htm t /_blank 同解方程。同解原理（1

9、）方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。（2）方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。求根公式由于一元一次方程是 HYPERLINK /view/4207550.htm t /_blank 基本方程，故教科书上的解法只有上述的方法。但对于标准形式下的一元一次方程：ax+b=0 (a0)。可得出求根公式。函数解法由于一元一次函数都可以转化为ax+b=0（a，b为常量，a0）的形式，所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个函数值为0时，求相应的自变量的值。从图像上看，这就相当于求直线y=kx+b（k，b为常量，k0）与x轴交点的横坐标的值。4

10、解法举例例（1）题目：已知ax=b是关于x的方程（a、b为常数），求x的值。分析：要牢牢抓住一元一次方程的定义，进行分类讨论。解：当a0时，。当a=0，b=0时，方程有无数个解（注意：这种情况不属于一元一次方程，而属于恒等方程）当a=0，b0时，方程无解（注意：此种情况也不属于一元一次方程）例（2）题目：解方程分析：按照一元一次方程的解法顺序一步步进行，计算要细心。解：去 HYPERLINK /view/298946.htm t /_blank 分母，得 HYPERLINK /view/1937302.htm t /_blank 去括号，得 HYPERLINK /view/561697.htm

11、 t /_blank 移项，得 HYPERLINK /view/313935.htm t /_blank 合并同类项，得 HYPERLINK /view/2009318.htm t /_blank 系数化为1，得检验：把代入原方程左边=右边=左边=右边是原方程的解等式性质若a=b，则a+c=b+c，a-c=b-c（等式的性质1）。若a=b，则ac=bc，ac=bc (c0)（等式的性质2）25解应用题做一元一次方程 HYPERLINK /view/967722.htm t /_blank 应用题的重要方法：（1）认真 HYPERLINK /view/5675584.htm t /_blank

12、审题（审题）（2）分析已知和 HYPERLINK /view/11599920.htm t /_blank 未知量（3）找一个合适的 HYPERLINK /view/1276750.htm t /_blank 等量关系（4）设一个恰当的未知数（5）列出合理的方程 （列式）（6）解出方程（解题）（7） HYPERLINK /view/64218.htm t /_blank 检验（8）写出答案（作答）6学习实践 HYPERLINK /link?url=2PO1iZnvMVi1JvxAKlBo4TKzYaZMjjjGtdFyvKAHKDx5x-qSjZigtgobIgx1Mo6ZdzZ1L3sc8M

13、PkOMcXX1RlaK o 编辑本段 编辑在小学会学习较浅的一元一次方程，到了初中开始深入的了解一元一次方程的解法和利用一元一次方程解较难的应用题。一元一次方程牵涉到许多的实际问题，例如工程问题、植树问题、比赛比分问题、行程问题、行船问题、相向问题分段收费问题、盈亏、利润问题。列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式，即 HYPERLINK /view/5925.htm t /_blank 方程（equation）。例如：（1）4x=24（2）1700+150 x=2450（3）0.52x-(1-0.52)x=80分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等

14、关系列出方程，是用 HYPERLINK /view/1284.htm t /_blank 数学解决实际问题的一种方法。7教学设计 HYPERLINK /link?url=2PO1iZnvMVi1JvxAKlBo4TKzYaZMjjjGtdFyvKAHKDx5x-qSjZigtgobIgx1Mo6ZdzZ1L3sc8MPkOMcXX1RlaK o 编辑本段 编辑教学目标（1）使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤，并会列出一元一次方程解简单的应用题；（2）培养学生观察能力，提高他们分析问题和解决问题的能力；（3）使学生初步养成正确思考问题的良好习惯。重点及难点一元一次方程解简单的应用

15、题的方法和步骤。过程设计（1）从学生原有的认知结构提出问题：在小学 HYPERLINK /view/17541.htm t /_blank 算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢？若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢？为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题。例1：某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数。（首先，用算术方法解，由学生回答，教师板书）解法1：（4+2）（3-1)=3。答：某数为3。（其次，用代数方法来解，教师引导，学生口述完成）解法2：设某数为x，则有3x-2=x+4。

16、解之，得x=3。答：某数为3。纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一。我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系。因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程。本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤。（2）师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤例2.某面粉仓库存放的面粉运出15%后，还剩余42 500千克，这个仓库原来有多少面粉

17、？师生共同分析：1本题中给出的已知量和未知量各是什么？2已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？（原来重量-运出重量=剩余重量）3若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克？利用上述相等关系，如何布列方程？上述分析过程可列表如下：解：设原来有x千克面粉，那么运出了15%x千克，由题意，得x-15%x=42500，所以 x=50000。答：原来有50000千克面粉。此时，让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式？若有，是什么？ （还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量）教师应指出：1.这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余

18、重量”，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程2.例2的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后，采取提问的方式，进行反馈。最后，根据学生总结的情况，教师总结如下：1.仔细审题，透彻理解题意即弄清已知量、未知量及其相互关系，并用字母（如x）表示题中的一个合理未知数2.根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系（这是关键一步）；3.根据相等关系，正确列出方程即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等；4.求出所列方程的解；5.检验后明确地、完整地写出答案这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义。6.最好能用计算器再进行一次验算。教学手段引导活动讨论3教学方法启发式教学。教学过程主要概念：1、 HYPERLINK /view/5925.htm t /_blank 方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程。 3、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 4、解方程