专升本试题及解答

1、2015年四川理工学院专升本高等数学考试题（理工类）一、选择题（每题3分，共15分）1、极限lim(xx3x1)x1（D）（A）1（B）e（C）（D）e2【知识点】第二个重要极限。)22e2。解析：lim(xx3x1)x1lim(1x2x1x12、函数f(x)x在x0处（D）（A）f(0)1（B）f(0)1（C）f(0)1（D）f(0)不存在【知识点】导数的定义。解析：f(0)limx0 xx1,x01,x0，即f(0)不存在。与直线yt的夹角为（A）z2t33、直线xt6x1y5z8121（A）（B）（C）（D）3462。【知识点】直线间的夹角公式（方向向量的夹角）解析：由参数方程yt得对称

2、式方程：z2t3xt6x6yz3112；于是，cos1221411141，即。234、设Ix3f(x2)dx(a0)，则（D）a0 xf(x)dx（B）Iaxf(x)dx（C）Ixf(x)dx（D）I1axf(x)dx（A）Ia201a202020【知识点】凑微分法。解析：Ia0 x3f(x2)dx1ax2f(x2)dx21atf(t)dt。2020dy5、设f(x,y)连续，交换二次积分1001yf(x,y)dx的次序是（C）dx（A）11x00f(x,y)dy（B）01ydx1f(x,y)dy0dxf(x,y)dy（D）dx（C）11x211x2f(x,y)dy0000dx【知识点】交换二

3、次积分次序。解析：新积分区域D:0 x1;0y1x2，所以，I二、填空题：（每题3分，共15分）11x200f(x,y)dy。6、函数zarcsin2xln(1x2y2)的定义域是。【D(x,y)0 x2y21,11x】2212x1x解析：定义域为：2。0 x2y21【知识点】二元函数的定义域。1101x2y217、ex1【dx。2(x11)ex1c】【知识点】换元法、分部积分法。解析：令x1t，dx2tdt。于是，ex1dx2tetdt2(t1)etc2(x11)ex1c。8、判定级数n11nn!收敛还是发散，答：；【收敛】解析：limun1lim【知识点】比值审敛法。nn!n(1(n1)!

4、)lim01。nun(n1)(n1)n!n(n1)(1n!)n9、微分方程xydx(x21)dy0的通解。【ycx21【知识点】可分离变量微分方程。】解析：dyyx1dxlnyln(x21)cyx212cx21。【10、曲面x22y23z236在点(1,2,3)处的切平面。(x1)4(y2)9(z3)0】【知识点】曲面的切平面方程。解析：令F(x,y,z)x22y23z236，F2x，F4y，F6z；xyzr过点(1,2,3)的切平面方程的法向量n2,8,18，故，切平面方程为：2(x1)8(y2)18(z3)0，即x4y9z36。三、解答题（每小题8分，共56分）11、求极限limx0sin

5、2x11x。sin2x1112、已知函数yf(x)由方程确定，求yasin3t【知识点】等价替换。1sin2x解析：limlim21。x0 x0 xxxacos3td2ydx2【知识点】参数方程的二阶导数。解析：dydxtant，d2ysec2t1dx23acos2tsint3acos4tsint。13、由元素法的思想写出：由X型区域0axb，0yf(x)绕y轴旋转的旋转体的体积公式，然后计算由ysinx，0 x与x轴所围成图形绕y轴旋转的体积。【知识点】元素法（微元法）。解析：在区间a,b任取小区间x,xdx，面积元素dAf(x)dx，而dA绕y轴旋转而成圆环（周长2x），其体积元素dV2x

6、f(x)dx；（展开为长方体）于是，平面图形绕y轴旋转而成立体的体积为：Vb2xf(x)dx2bxf(x)dx。aa0由此公式得：V2yxsinxdx2xcosxsinx202。2z14、设zf(x,xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求。xy【知识点】二阶偏导数（抽象函数）。xz解析：fyf；122zxyxffxyf。1222215、求曲线积分I2xydxx2dy，其中L:x2y22ab21,y0取逆时针方向。解析：因QL。【知识点】曲线积分（曲线积分与路径无关）P2x，所以，曲线积分与路径无关。xy取直线段（x轴上）：y0，于是，I2xydxx2dya0dx0。La16、计算xy(xy)dx

7、dy，其中D由yx、xy0和x1所围成区域。D【知识点】直角坐标系下的二重积分计算。解析：积分区域D:0 x1;xyx。xy(xy)dxdydxD0(x2yxy2)dy1x4dx1xx220315。17、求函数zx2xyy22xy的极值。【知识点】二元函数的极值。fy解析：令xf2xy20 x2y10得驻点(1,0)；又f2;f1;f2，xxxyyy在点(1,0)处，B2AC1430，且A20，故，函数的极小值为f(1,0)1。四、证明题：（每题7分，共14分）18、证明：设f(x)在1,3上连续可导，f(3)21f(x)dx，则(1,3)，使f()0。【知识点】积分中值定理、罗尔定理。证明：由f(x)在1,3上连续可导知，f(x)在1,2上连续，由积分中值定理，x(1,2)，使f(x)0021f(x)dx2112f(x)dx；又f(3)21f(x)dx，即f(x)f(3)，由题设知f(x)在x,31,3上连续可导，00由罗尔定理，(x,3)（即(1,3)），使f()0。019、证明：当x0时，有ln(1x)arctanx1x。【知识点】单调性判定定理。证明：令f(x)(1x)ln(1x)arctanx，则f(0)0，又1