专题11 隐圆问题(原卷版)

1、专题11隐圆问题直线与圆是高中数学的C级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题类型一利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆典例1如果圆(x2a)2(ya3)24上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是_类型二由圆周角的性质确定隐形圆典例2已知圆O:x2y25,A,B为圆O上的两个动点，且AB2,M为弦AB的中点，C22,a,D22,a2.当A,B在圆O上运动时，始终有CMD为锐角，则实数a的取值

2、范围为_类型三两定点A、B，动点P满足PAPB(0,1)确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）典例3一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数6335.7446）据：sin173,（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由1已知ABC中，ABAC3，ABC所在平面内存在点P使得PB2PC23PA23

3、，则ABC3在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x12y261和两点Aa,2a,Ba,a2，且面积的最大值为_2在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2y24上两点，点A(1,1)，且ABAC，则线段BC的长的取值范围为_2a1，若圆C上存在两个不同的点P,Q，使得APBAQB90，则实数a的取值范围为_4在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（1，0）均在圆C：x32y42r2外，且圆C上存在唯一一点P满足APBP，则半径r的值为_5已知等边ABC的边长为2，点P在线段AC上，若满足等式PAPB的点P有两个，则实数的取值范围是_6.已知圆O：x2y21，圆M：(xa)2(ya4

4、)21.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得APB60，则实数a的取值范围为_B7.在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C：x2y26x50相交于不同的两点A，若点A恰为线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为_8.在平面直角坐标系xOy中，过点P(2，0)的直线与圆x2y21相切于点T，与圆(xa)2(y3)23相交于点R，S，且PTRS，则正数a的值为_9.在平面直角坐标系xOy中，圆M：(xa)2(ya3)21(a0)，点N为圆M上任意一点若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为_10.已知线段AB的长为2，动点C满足CA

5、CB(为常数)，且点C总不在以点B为圆心，为半径的圆内，满足OCOAOB，则r的值为_5312则实数的最大值是_B11.在平面直角坐标系xOy中，设直线yx2与圆x2y2r2(r0)交于A，两点若圆上存在一点C，4412.已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l：xy60，A为直线l上一点若圆M上存在两点B，C，使得BAC60，则点A横坐标的取值范围是_13.已知点A(0，2)为圆M：x2y22ax2ay0(a0)外一点，圆M上存在点T使得MAT45，则实数a的取值范围是_14.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O共线，O1，O2两点的横坐标之积为6

6、，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2xy80，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为_15.已知直线l过点P(1，2)且与圆C：x2y22相交于A，B两点，ABC的面积为1，则直线l的方程为_16.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2(y1)25，A为圆C与x轴负半轴的交点，过A作圆C的弦AB，记线段AB的中点为M.若OAOM，则直线AB的斜率为_17.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x1)2(y6)225，圆C2：(x17)2(y30)2r2.若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A、B，满足PA2AB，则半径r的取值范围是_18.直角坐标系

7、xOy中，圆C的方程为(x1)2(y1)29，直线l：ykx3与圆C相交于A、B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为_19平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(xa)2(ya2)21，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足MA2MO210，则实数a的取值范围是_20.平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x1)2y24，P为圆C上一点若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，当P在圆C上运动时，使得APB恒为60，则圆M的方程为_专题11隐圆问题直线与圆是高中数学的C级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现但有些时

8、候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题【答案】a0类型一利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆典例1如果圆(x2a)2(ya3)24上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是_65【解析】到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交求解621(02a)2(0a3)221a05类型二由圆周角的性质确定隐形圆典例2已知圆O:x2y25,A,B为圆O上的两个动点，且AB2,M为弦AB的中点，C22,a,D22,a2.当A

9、,B在圆O上运动时，始终有CMD为锐角，则实数a的取值范围为_【答案】,20,【解析】由题意得OM512，点M在以O为圆心，半径为2的圆上设CD的中点为N，则N22,a1，且CD2当A,B在圆O上运动时，始终有CMD为锐角，以O为圆心，半径为2的圆与以N22,a1为圆心，半径为1的圆外离22a1223，整理得a121，解得a2或a0实数a的取值范围为,20,类型三两定点A、B，动点P满足PAPB(0,1)确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）典例3一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击已知缉私艇的最大航速

10、是走私船最大航速的3倍假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数6335.7446）据：sin173,（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由【答案】（1）略（2）能【解析】：（1）略（2）如图乙，以A为原点，正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy则B(2,23)，设缉私艇在P(x，y)处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则PA3PB3,xy3即x2y2(x2)2(y23)292929444,3到领海边界线l：x3.8的距离为1.55，大于圆半

11、径因为圆心9944所以缉私艇能在领海内截住走私船321已知ABC中，ABAC3，ABC所在平面内存在点P使得PB2PC23PA23，则ABC面积的最大值为_【答案】52316【解析】设BC2a，以BC所在直线为x轴、其中垂线OA所在直线为y轴建立直角坐标系（如图所示），则Ba,0,Ca,0,A0,3a2，设Px,y，由PB2PC23PA23，得3即x2y2a22，x2y223a2y3a2172a223a2y2则，3a21y3a21则23a223a223a2y23a223a2，(xy2(xy23x2(y1，即23a223a2722a223a223a2，解得a234，即S152322a3a23a2

12、a4ABC16，即ABC面积的最大值为52316.2在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2y24上两点，点A(1,1)，且ABAC，则线段BC的长的取值范围为_【答案】62,62【解析】化简得xy，所以点M的轨迹是以,为圆心，为半径的圆，所以AM的取值范围是,，222223在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x12y261和两点Aa,2a,Ba,a2，且设BC的中点为M(x,y)，,因为OB2OM2BM2OM2AM2，所以4x2y2(x1)2(y1)2，1212322211326262所以BC的取值范围是62,622a1，若圆C上存在两个不同的点P,Q，使得APBAQB90，则实数a的取

13、值范围为_【答案】17a117【解析】原问题等价于以A,B为圆心的圆与圆C有两个交点，AB中点坐标为0,0，以A,B为圆心的圆的半径Ra2a22，1且圆C的圆心为1,26，半径为R1，2两圆的圆心距为：d1245，结合a1可得关于实数a的不等式组：a2a2215a2a2215，求解关于实数a的不等式组可得实数a的取值范围为17a117.4在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（1，0）均在圆C：x32y42r2外，且圆C上存在唯一一点P满足APBP，则半径r的值为_【答案】4【解析】根据题意,点A(1,0),B(1,0)，若点P满足APBP，则点P在以AB为直径的圆上，设AB的中点为

14、M,则M的坐标为(0,0)，|AB|=2，则圆M的方程为x2y21，若圆C上存在唯一一点P满足APBP，则圆C与圆M只有一个交点，即两圆外切，则有r+1=|MC|=32425，解可得r=4.35已知等边ABC的边长为2，点P在线段AC上，若满足等式PAPB的点P有两个，则实数的取值范围是_【答案】104【解析】以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则0,0A1，,B1，,C0,3Px,y，AC：y3x3,1x02由PAPB得x21y2，11,12010102446.已知圆O：x2y21，圆M：(xa)2(ya4)21.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使

15、得APB60，则实数a的取值范围为_【答案】222，222【解析】设P(x，y)，sinOPAsin301x2y2，则x2y24.又P在圆M上，则(xa)2(ya2246x50，由题知x1x2,y1y2，由韦达定理化简可得k2，即k，直线l的方程为y4210.已知线段AB的长为2，动点C满足CACB(为常数)，且点C总不在以点B为圆心，为半径的圆4【解析】建立平面直角坐标系，B(0，0)，A(2，0)，设C(x，y)，则CACBx(x2)y2，则(x1)242424)21.由得1a2（a4）23，所以a.7.在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C：x2y26x50相交于不同的两

16、点A，B，若点A恰为线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为_36【答案】【解析】圆C1：x2y26x50，整理，得其标准方程为(x3)2y24，圆C1的圆心坐标为(3，0)；设直线l的方程为ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立(x3)2y24，ykx，消去y可得(1k2)x211315152255536x，由点到直线的距离公式知，所求的距离为.8.在平面直角坐标系xOy中，过点P(2，0)的直线与圆x2y21相切于点T，与圆(xa)2(y3)23相交于点R，S，且PTRS，则正数a的值为_【答案】4【解析】圆x2y21半径为1，PO2，则直线PT的倾斜角为30，则直线方程为x3y

17、20，PT3，RS3，圆(xa)2(y3)23的半径为3，则圆(xa)2(y3)23的圆心(a，3)到直线PT的3距离为，由点到直线距离公式得|a1|3，则正数a4.9.在平面直角坐标系xOy中，圆M：(xa)2(ya3)21(a0)，点N为圆M上任意一点若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为_【答案】3【解析】根据题意，圆M与以N为圆心的圆的位置关系是内切或内含则dMNdON1，即1dON1.所以dON2恒成立因为N在圆M上运动，所以dON的最小值为dOM1，即dOM12，所以a2（3a）23，解得a3，所以a的最小值为3.12内，则实数的最大值是_3【答案】y2

18、1，得（x1）2y21，点C的轨迹是以(1，0)为圆心1为半径的圆且与x2y242453满足OCOAOB，则r的值为_5322553925159【解析】OC2OAOBOA22OAOBOB2，即r2r2r2cosAOBr2，整理化简得cosAOB，过点O作AB的垂线交AB于D，则cosAOB2cos2AOD1，得cos2AOD.又圆113外离或相切所以1，的最大值为.11.在平面直角坐标系xOy中，设直线yx2与圆x2y2r2(r0)交于A，B两点若圆上存在一点C，44【答案】1044164416168163315552，所以cosAOD22，所以r210，r10.5rr心到直线的距离为OD22

19、21OD22512.已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l：xy60，A为直线l上一点若圆M上存在两点B，C，使得BAC60，则点A横坐标的取值范围是_【答案】1，5【解析】圆M：(x1)2(y1)24上存在两点B，C，使得BAC60，说明点A(x，y)到M(1，1)的距离小于等于4，即(x1)2(y1)216，而y6x，得x26x50，即1x5.点A横坐标的取值范围为1，513.已知点A(0，2)为圆M：x2y22ax2ay0(a0)外一点，圆M上存在点T使得MAT45，则实数a的取值范围是_【答案】31a1【解析】点A(0，2)在圆M：x2y22ax2ay0(a0)外，得44a0，则a1

20、.圆M上存在点T使得MAT45，则AMr2a，即AM2a，(a2)2a24a2(a0)，解得31a.综上，实数a的取值范围2是31a1.14.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2xy80，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为_85【答案】6【解析】设圆O1的方程为(xa)2(yka)2k2a2，圆O2的方程为xyaaa2626k236k2，1212366得2axax2akyakya2a20，即2x2yaa0.设P(x0，y0)，则(x0a)2(y0ka)2k2

21、a2，60000即x2y22ax02ay0a2，又2x02y0aa0，可得2ax02ay0a26，故x2y26，即点P的轨迹是54，圆x(y1)5与x轴负半轴的交点A(2，0)，OAOM222【解析】设点B(x0，y0)，则Mx02y022x2y0，即0PB所有位置最小，且是所有位置中最小，所以只要满足2，即满足题意，22x02y04.又x(y1)5，两式相减得y2x4.而A(2，0)也满2222000085以原点为圆心，半径为6的圆，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为6.15.已知直线l过点P(1，2)且与圆C：x2y22相交于A，B两点，ABC的面积为1，则直线l的方程为_【答

22、案】x10，3x4y501【解析】由eqoac(,S)ABC22sinACB1，sinACB1，ACB90，则点C(0，0)到直线l的距离为1，3设直线l的方程为y2k(x1)，利用距离公式可得k，此时直线l的方程为3x4y50，当k不存在时，x10满足题意16.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2(y1)25，A为圆C与x轴负半轴的交点，过A作圆C的弦AB，记线段AB的中点为M.若OAOM，则直线AB的斜率为_【答案】22222足y02x04，即直线AB的方程为y02x04，则直线AB的斜率为2.17.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x1)2(y6)225，圆C2：(x17)2(y30)2r2.若圆C2上存在一点