新高考一轮复习人教A版 6.3　等比数列 学案

1、PAGE PAGE 96. 3等比数列1. 通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义. 2. 探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系. 3. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 4. 体会等比数列与指数函数的关系. 【教材梳理】1. 等比数列的概念(1)等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)，即eq f(an1,an)q(nN*)，或eq f(an,an1)q(nN*，n2). (2)等比中

2、项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2ab. 2. 等比数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：ana1qn1. 该式又可以写成aneq f(a1,q)qn，这表明q1时，an是常数与指数函数(关于n)的乘积. (2)前n项和公式：Sneq blc(avs4alco1(na1（q1），,f(a1（1qn）,1q)f(a1anq,1q)（q1）.)当q1时，该式又可以写成Sneq f(a1,1q)eq f(a1,1q)qn，这表明q1时，Sn的图象是指数型函数yAqxAeq blc(rc)(avs4alco1(Af(a1,1q)图象上

3、一群孤立的点. 3. 等比数列的性质(1)与项有关的性质在等比数列an中，anamqnm(n，mN*). 在等比数列an中，若mnpq2k，m，n，p，q，kN*，则amanapaqaeq oal(2,k). 在公比为q的等比数列an中，取出项数成等差数列的项ak，akd，ak2d，仍可组成一个等比数列，公比是qd. m个等比数列，由它们的各对应项之积组成一个新数列，仍然是等比数列，公比是原来每个等比数列对应的公比之积. 若an，bn均为等比数列，公比分别为q1，q2，则kan(k0)仍为等比数列，且公比为q1；anbn仍为等比数列，且公比为q1q2；eq blcrc(avs4alco1(f(

4、an,bn)仍为等比数列，且公比为eq f(q1,q2). 当an是公比为q(q0)的正项等比数列时，数列lgan是等差数列，首项为lga1，公差为lgq. (2)与和有关的性质等比数列连续k项的和仍为等比数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，仍为等比数列，且公比为qk(q1，或q1且k为奇数). 在等比数列中，若项数为2n(nN*)，则eq f(S偶,S奇)q. 在等比数列中，当qm1时，eq f(Sn,Sm)eq f(1qn,1qm)，n，mN*. 在等比数列中，SnmSnqnSm，n，mN*. 【常用结论】4. 等比数列的单调性(1)当a10，q1或a10，0q0，0q1时，等比数列a

5、n是递减数列；(3)当q1时，它是一个常数列；(4)当qan1，nN*. 解：amnaman，则an可能为等比数列，又an10C. T2 021的值是Tn中最小的D. T4 0421解：因为a2 021a2 02210，所以a1a4 0421，即aeq oal(2,1)q4 0411，又因为0a11，所以aeq oal(2,1)1且q4 0411，所以q1，所以A正确；因为eq f(a2 0211,a2 0221)0，所以a2 02110，且a2 02210，即 a2 0211且a2 0221，所以a2 020a2 0221aeq oal(2,2 021)10，所以B错误；因为0a11，q1，

6、所以等比数列an是一个递增数列，又因为a2 0211且a2 0221，所以T2 021的值是Tn中最小的，所以C正确；因为a1a4 042a2a4 041a2 021a2 0221，所以T4 042a1a2a4 0421，所以D错误. 故选AC. 命题角度2等比数列中的最值(范围)问题已知等比数列an中，a21，则其前3项的和S3的取值范围是 ()A. (，1 B. (，0)(1，) C. 3，) D. (，13，) 解：设等比数列an的公比为q，则S3a1a2a3a2eq blc(rc)(avs4alco1(1qf(1,q)1qeq f(1,q)，当q0时，S31qeq f(1,q)12eq

7、 r(qf(1,q)3(当且仅当q1时取等号)；当q0时，S31eq blc(rc)(avs4alco1(qf(1,q)12eq r(（q）blc(rc)(avs4alco1(f(1,q)1(当且仅当q1时取等号). 所以S3(，13，). 故选D. 【点拨】 等比数列中的最值(范围)问题，要抓住基本量a1，q等，充分运用方程、函数、转化等数学思想，合理调用相关知识构造函数，再用基本不等式法、单调性法等求值域. 各项均为正数的等比数列an中，若a2a3a4a2a3a4，则a3的最小值为_. 解：因为an是各项均为正数的等比数列，且a2a3a4a2a3a4，所以aeq oal(3,3)a3a2a4，则aeq oal