三重积分重积分习习题

1、欢迎阅读三重积分zdv1将I=分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下的三次积分，并选择其中一种计算出结果其中是由曲面z=2x2y2及z=x2+y2所围成的闭地区.剖析为计算该三重积分，我们先把积分地区投影到某坐标平面上，由于是由两张曲面z2x2y2及z2x2y2,zx2y2，而由这两个方程所组成的方程组zx2y2极易消去z，我们把它投影到xoy面上然后，为在指定的坐标系下计算之，还应当先把的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各样坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可z2x2y2,解将投影到xoy平面上，由zx2y2消去z得(x2+y2)2=2-(x2+y2)，或(x2+y2+2)(x2+y

2、2-1)=0，于是有x2+y2=1即知，在xoy平面上的投影为圆域D：x2+y21为此在D内任取一点Q(x，y)，过Q作平行于z轴的直线自下而上穿过穿入时遇到的曲面为zx2y2，走开时遇到的曲面为z2x2y2zx2y2z2x2y2)，这(不绘图，仅用代数方法也易判断是因为x2+y21)(1)直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z的变化范围进而化为三重积分因此再由D：2222221，有zxyz2xy，于是在直角坐标下，可表示为x+y1x1，1x2y1x2,:x2y2z2x2y2,于是有11x22x2y2dxdyzdzI=11x2x2y2.柱面坐标下的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x2

3、+y22，z=2x2y2首先把表示为z=表示为页脚内容欢迎阅读z=22D为x22再由投影地区+y1故01，02于是可表示为02,01,2z22.：将所给三重积分中的体积元素d用d=dddz去替换，有22122dzzdzdddzddI=020.球面坐标下cos用球面坐标代换两曲面的方程，得曲面z=x2+y2变为=sin2；曲面z=2x2y2变为=2由在xoy平面上的投影为x2+y21知02，下边找的变化范围正z轴在内，即内有点P，使op与oz夹角为零，即的下界为零又曲面z=x2+y2与xoy平面相切，故的上界为2，于是02再找的变化范围原点在的表面上，故取到最小值为零为找的上界，从原点出发生射线

4、穿过，由于的表面由两张曲面所组成，因而的上界随相应的的zx2y2，不同而不同为此在两曲面的交线z2x2y2上取一点A(0，1，1)，故A所对应的4coscoscotcsc42时，r的上界由曲面r=sin2rsin2当所给，故这时即r的变化范围为2,当0时，r4cot，当时。042因此cos242r2sin22sin2rcosr2sinddrcosdrdddr00000I=4由的特点(在xoy平面上的投影为圆域，而本身不是球或球锥)，故采用柱面坐标计算比较简单，这时页脚内容欢迎阅读212r2211277ddrrzdzdrz22r2r2drI=00r2=00=224=12小结(1)计算三重积分时，

5、欲用何种坐标，就要首先把积分地区的表面方程化成用该坐标表示，同时把被积函数中的变量与体积元素替换为该坐标下的形式不要认为当积分地区为球体的一部分就应采用球面坐标球面坐标所合用的积分地区一般为球，两球面所围的地区，或这两种地区被圆锥所截得的部分此题是由旋转抛物面与球面所围成的地区，一般是不宜用球面坐标的（3）还应注意面积元在不同坐标下的不同形式；并且在直角坐标系中，更应当强调学会使用对称性、奇偶性、切片法、换元法、投影面方程的求法等；2计算三重积分zx2y2z2d，其中是由曲面x2+y2+z2=1及z=3(x2y2)所围成的地区剖析为球面和圆锥面所围成的地区故从积分地区的特点看，它适宜用球面坐标

6、同时，被积函数中含有因式x2+y2+z2，故从积分地区与被积函数两方面来看，应采用球面坐标解在球面坐标下，球面x2+y2+z2=1的方程为r=1，锥面z=3(x2y2)的方程为3tan=3，即6，又z轴的正向穿过故的下界为零，因此06x2y2z21,1z3(x2y2)将投影到xoy面，由方程组消去z得x222该锥体的极点+y=4因此0在原点，故r下界为零，由穿线法可知r1,故0r1.于是261r4drx2y2z2dvr4cossindrdddZsincosd=000=21sin261rs102s20小结当积分地区为由球面与锥角0所围成的球锥体时若锥题的极点为原点，且Z轴正向穿过积分地区，则有0

7、0，且r的下界为零，上界由球面的方程所给出(y2z2)dv,是由xoy平面上的曲线y23计算其中=2x绕x轴旋转而成的曲面与平面x=5所围成的闭地区剖析：投影地区为圆域，再由于积分地区与球体无关，故采用柱面坐标，这时要注意把y,z用极坐标代换页脚内容欢迎阅读还应注意积分地区对于平面y=0,z=0皆对称，且被积函数对于y,z皆为偶函数因此还应利用积分地区对于坐标平面的对称性与被积函数对于某相应变量的奇偶性先进行化简2y211解曲线y=2x或x=2绕x轴旋转得的旋转抛物面方程为x=2(y2z2),故由抛物面x=2(y2z2)与z=0所围成由于被积函数分别是y和z的偶函数，而积分地区对于平面y=0及

8、z=0都对称，因此(y2z2)dv(y2z2)dv,=4,，其中为在第一卦限内的部分x1(y2z2),2由x5知，在yoz平面上的投影为y2z210,在yoz平面上的投影为yoz平面上0,2010,r2x5.第一象限内的个圆，因此有：2(y2z2)dv(y22)dv2dddx42d103d5z0r2dx于是4,4,0=2(5p2250)3d10=202=3.小结(1)当被积函数对于某坐标平面对称，同时被积函数是相应变量的奇或偶函数时，应首先将所给积分化简，其原则为对于平面Z=0对称，f(x,y,z)对于z是奇函数时，积分为零;f(x,y,z)对于z是偶函数时，所求积f(x,y,z)dv被z=0

9、所分的上半个子地区，分为2，其中为其余类同对柱面坐标，清楚这是把积分地区投影到哪个平面时就做的相应的柱面坐标变换，如此题，由于我们把投影到yoz平面,就有y=cos,z=sin,x=x近似地，对球面坐标也应做相应理解，即穿过的坐标轴如果不是z轴而是x轴或y轴球面坐标公式x=rsincos,y=rsinsin,z=rcos，也应做相应变化f(z)dv12)dz,(z3z2z1)dz4证明当f(z)连续时，=1f(z)(1z并用此公式计算的值，其中,2y2z21：x剖析积分地区见图3，题目要求把三重积分化成只剩下对z的定积分，我们能够把它看作对该三重积分先页脚内容欢迎阅读计算一个对于x,y的二重积

10、分再计算对z的定积分显然这种计算方法和我们前边的计算方法是不同的，前边的计算方法(如例1，2)是先将投影到坐标平面xoy上得投影地区D，计算时先对z积分再计算在D上的二重积分，比方练习题1在直角坐标下可看作2x2y2dxdyx2y2zdzI=D，即采用“穿线法”，此题欲先计算一个二重积分再计算定积分，应采用为“先二后一”法亦称“切片法”，即先将投影到z轴上得线段-1，1在(-1，1)上随意点z作一垂直于z轴的平面截得一平面地区Dz，在每个Dz上作对x,y的二重积分，然后再把这些积分值累加起来，既再对z从-1到1积分解由的表面方程为x2y2z21知，z1,1，既在轴上的投影为线段1,1，在1,1

11、内任取一点z，过z作垂直于z轴的平面截得一平面地区Dz：x2y21z2于是Dz的面积为1z2因此111z2)dzf(z)dzdzf(z)dxdyf(z)dzdxdyf(z)(11DZ1DZ1,153z2z1)d(z3z22)dz当f(z)=z3z2z1时，有(zz1)(1z=8.1小结“切片法”合用于被积函数为某变量的一元函数，而垂直于相应坐标轴的平面截所得截面面积易求表示出时的情形一般的，若被积函数为x的一元函数fx时，作垂直于x轴的平面；被积函数为y时，作垂直于y轴的截面；被积函数为z时，作垂直于z轴的截面5求底圆半径相等的两个直交圆柱面x2y2R2及x2z2R2所围立体的表面积.剖析该两

12、圆柱面直交时所围立体处在八个卦限内其表面为82个面积相等的曲面，我们只经计算其中一个曲面面积即可要注意计算曲面面积时，要找其在坐标面内的投影地区要注意愿哪个坐标面作投影要依据曲面方程而定解为计算该住体的表面积我们只须计算图4阴影部分的面积S1再乘以16即可该曲面的方程为z=R2x2它在xoy面上的投影为zxD=(x,y)x2y2R2,x0,y0 xR2x2,于是页脚内容欢迎阅读xRRR2x21()2dxdydxdydxRdyR2S1=dR2x2DR2x2=00R2x2,故S=16S1=16R2.确定采用何种坐标，一般要从积分地区与被积函数两方面考虑，往常可参阅下表采用坐标积分地区的特点被积函数的特点球面坐标球，或球被圆锥面所截得的球锥体(特殊情况下为2y22)或被积函数含有f(xz半球体)，或两同心球面所围的立体及被圆锥面所2y2z2截得的主体因式x柱面坐标不合用球面坐标，但积分地区在坐标面上的投影f(x2y2222)，f(xyz)合用于极坐标者2y2或被积函数含因式x直角坐标其他情形6设平均柱体密度为，占有闭地区(x,y,z)x2y2R2,0zh求它对于位于点M0(0，0，a)(ah)处的单位质量的质点的引力剖析用公式求引力时，要注意利用当常数时以及立体对坐标面的对称性，来简化计算解是一位于xoy面上方的圆柱体，它对于xoz面yoz面都是对称的，因此有FX=F