小学四年级奥数培训教材

小学四年级奥数培训资料第一讲定义新运算【专题分析】随着现代科学技术的开展，尤其是计算机技术的广泛应用，我们常常需要设计一些特定的计算程序〔这里所说的程序就是认为约定的某种计算程序〕。在小学数学竞赛中，常出现一些按指定程序计算的问题，解答这类题虽然不需要新的数学知识，但必须仔细阅读题目，严格按指定程序进行计算，才能求出正确的结果。【王牌例题】例1设ａ※b表示ａ的3倍减去b的2倍，即ａ※b＝3×ａ－2×b。例如，当ａ＝5，b＝4时，5※4＝5×3－4×2＝7计算：7※8〔2〕8※7【思维点拨】这类题关键是抓住定义本质，这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数的3倍减去符号后面数的2倍即为运算结果。由此就可以把这种新运算转化成普通的数运算。【模仿训练】设ａ、b都表示数，规定ａ○b＝5×ａ－3×b。试计算：3○4。〔2〕设ａ、b都表示数，规定ａ

b＝3×ａ＋2×ｂ。试计算：5

ｂ。例2对于两个数ａ与ｂ，规定ａ⊕ｂ＝ａ×ｂ＋ａ＋ｂ。试计算：6⊕3。【思维点拨】这道题规定的运算本质是：将运算符号“⊕〞的前后两个数的积加上这两个数，即为运算结果。由此转化为普通算式计算。【模仿训练】〔1〕对于两个数ａ与b，规定ａ⊕ｂ＝ａ×ｂ－〔ａ＋ｂ〕。试计算：3⊕5。对于两个数A与B，规定A◎B＝A×B÷2。试计算：6◎4。例3对于两个数ａ与ｂ，规定ａ▽ｂ＝〔ａ＋3〕×〔ｂ－5〕，试计算：5▽〔6▽7〕。【思维点拨】算式5▽〔6▽7〕中小括号的定义与常规运算相同，有括号的要先计算括号里的，再计算括号外的。5▽〔6▽7〕＝5▽[〔6＋3〕×〔7－5〕]＝5▽18＝〔5＋3〕×〔18－5〕＝104【模仿训练】〔1〕对于两个数ａ与ｂ，规定ａ○ｂ＝ａ＋3ｂ，试计算：3○4○5。〔提示：3ｂ就是3×ｂ的简写〕对于两个数ａ与ｂ，规定ａ□ｂ＝ａ×ｂ÷2试算：5□6□2。例4如果2△3＝2＋3＋4，5△4＝5＋6＋7＋8，按此规定计算：〔1〕3△5〔2〕8△3【思维点拨】这道题规定的运算本质是从运算符号前面的数加起，每次加的数都比前面的一个数多1，加数的个数为运算符号后面的数。【模仿训练】〔1〕如果3□4＝3＋4＋5＋6＝18，6□5＝6＋7＋8＋9＋10＝40。试计算：1995□5如果2▽4＝24÷〔2＋4〕，3▽6＝36÷〔3＋6〕。按此规律计算：8▽4。例5羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊＝羊；羊△狼＝狼；狼△羊＝狼；狼△狼＝狼。以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼；但是狼与羊在一起狼就吃掉羊只剩下狼。同学们很希望羊能战胜狼，所以我们补充规定一种☆运算，用符号表示：羊☆羊＝羊；羊☆狼＝羊；狼☆羊＝羊，狼☆狼＝狼。这个运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但由于羊多便能战胜狼，当狼与羊在一起时，狼便被羊赶走了而只剩下羊。对于羊和狼，可以用上面规定的两种运算做混合运算，混合运算的法那么是从左到右，括号内先算。运算的结果或是狼，或是羊。求下面算式的结果：羊△〔狼☆羊〕☆羊△〔狼☆狼〕【思维点拨】这道题必须确切理解两种运算的规定，并正确运用运算顺序。【模仿训练】刚刚例5是狼战胜了羊，同学们想不想羊能战胜狼，运用例5的运算规定求下面算式的结果看羊战胜狼了吗？羊☆〔羊△狼〕△狼☆〔羊△羊〕〔2〕有一个数字符号“〞使以下算式成立：62＝12,43＝13,34＝15,51＝8，按此规律计算：84。【稳固练习】1、设ａ与ｂ都表示数，规定ａ△ｂ＝3×ａ＋2×ｂ。试算：〔1〕6△3〔2〕8△4〔3〕2△〔2△3〕有两个数A和B，规定A※B表示A与B的积减去A与B的差，试算：〔1〕5※4〔2〕6※〔5※4〕3、如果5⊙2＝5×6，2⊙3＝2×3×4，按此规律计算：8⊙4定义运算◎为：A◎B＝A×B－〔A＋B〕。求：〔1〕8◎12〔2〕12◎〔3◎3〕5、规定：ａ△ｂ＝〔ａ＋ｂ〕÷2。求：3△〔6△8〕对于两个数ａ与ｂ，ａ⊙ｂ表示ｂ×5－ａ×2，计算〔1〕29⊙57〔2〕38⊙〔14⊙23〕定义新运算ａ⊕ｂ＝〔ａ×ｂ〕＋〔ａ＋ｂ〕，求：〔1〕6⊕2〔2〕〔1⊕2〕⊕3对于两个数ａ和ｂ，ａ△ｂ等于ａ＋ｂ－1，计算：〔1〕〔7△8〕△6〔2〕〔5△20〕△61【拓展提高】定义运算为：ａ▽ｂ＝〔ａ＋1〕÷ｂ，求2▽〔3▽4〕的值。2、有两个整数是A和B，A◆B表示A与B的平均数，A◆6＝17，求A的值。3、规定ａ△ｂ＝〔ｂ＋ａ〕×ｂ。求：〔2△3〕△〔5△8〕的值。有一种新运算符号“⊕〞使以下算式成立：2⊕4＝10，5⊕3＝18，3⊕5＝14，9⊕7＝34。求7⊕3。定义运算“□〞为x□y＝2xy－〔x＋y〕。试求：12□〔3□4〕。〔提示：2xy就是2×x×y〕。6、4※2＝4＋44＝48，2※3＝2＋22＋222＝246，1※4＝1＋11＋111＋1111＝1234，求2※5的值。【本章节小结】本章所学习的定义新运算，它来源于人们的生活，反响了两种数量之间的一种新的对应关系。在解决此类问题时，一定要严格按照新运算的规定来计算，一步步来不能随便套用普通四那么运算中的运算定律。第二讲数字谜第1节横式数字谜【专题分析】同学们都知道，在数学中有横式也有竖式，如果把式子中的一个或几个数字用字母、文字或符号代替，这样不完整的式子就是数字谜题目。这些数字好似被虫子吃掉了，所以在我国古代称这种题为“虫食算〞。要求根据算式中给定的数量关系，运用运算法那么进行推理判断，求出用字母、文字或符号代替的数。这里先向同学们介绍横式谜的解法。【王牌例题】例1如果A－B＝6且A＋B＝112，那么A和B各代表什么数？【思维点拨】〔1〕根据被减数＝差＋减数，由A－B＝6推出A＝6＋B，把A＋B＝112中的A换成6＋B，得6＋B＋B＝112，可以求出B，再求A。〔2〕可以根据和差问题解答，A－B＝6两数差，A＋B＝112两数和，再运用公式解答。〔1〕6＋B＋B＝112〔2〕A＝〔112＋6〕÷2B＋B＝106＝118÷2B＝53＝59A＝53＋6＝59B＝59－6＝53【模仿训练】〔1〕如果△＋☆＝16，且☆－△＝2，那么△和☆各代表什么数？如果☆＋△＝175，且☆÷△＝4，那么☆和△各代表什么数？例2在下面的方框里填上适当的数字，使等式成立。217÷□＝□□【思维点拨】根据217÷□的商是一个两位数，可知除数必须大于2，因此可能是3到9中的数，逐一试除得到：217÷3＝72……1217÷4＝54……1217÷5＝43……2217÷6＝36……1217÷7＝31217÷8＝27……1217÷9＝24……1根据以上分析只有217÷7＝31符合题意，所以只有一种填法。【模仿训练】在下面的方框里填上适当的数字，使等式成立。〔1〕456÷□□＝□〔2〕326÷□＝□□□……□〔3〕646÷□＝92……2例3在下面方框中填上适当的数，使等式成立。〔1〕156÷□＝8……4〔2〕□÷7＝44……6〔3〕215÷4＝□……3〔4〕41÷□＝□……6【思维点拨】根据有余数的除法中的几种关系，进行解答。被除数＝除数×商＋余数除数＝〔被除数－余数〕÷商商＝〔被除数－余数〕÷除数【模仿训练】小马虎在做一道除法题时，做完后因为正确了而太快乐，一不小心将墨水涂在除数上如下式，你能求出正确的除数吗？〔1〕617÷□＝25……17〔2〕371÷□＝□□例4在□里填上适当的整数，使不等式成立。〔1〕14<□×3<16〔2〕17<4×□<23【思维点拨】根据“□〞是整数，那么“整数×整数〞一定是整数，那么可使问题简单。因为大于14而小于16的整数，只有15，所以□×3＝15，可得□＝15÷3＝5；〔2〕因为大于17而小于23的整数有18、19、20、21、22，5个数其中是4的倍数只有20，因此4×□＝20，所以□＝20÷4＝5。【模仿训练】在方框中填上适当的整数，使等式成立。28<□×7<39100>□×30>40在方框里填上同一个数，是等式成立。□÷□＋〔□＋□－□〕＝3【稳固练习】如果□＋△＝26，且□－△＝10，那么□和△分别代表什么数？2、在“□〞里填上适当的整数，使不等式成立。〔1〕120<□×35<160〔2〕89>□×3>85〔3〕86>23×□>60如果○＋○＋○＝□，且□＋□＝120。那么，○＝〔〕，□＝〔〕。4、在下面的方框里填上适当的数字，使等式成立。〔1〕207÷□＝□□〔2〕183÷□＝□□……1〔3〕605÷□＝□□……2将0,1,2,3,4,5,6这七个数字填在圆圈内，每个数字恰好出现一次，组成一个整数算式。○×○＝○＝○÷○【拓展提高】1、□＝△＋△＋△＋△，□×△＝16，求△＝〔〕，□＝〔〕。2、在下面的式子里加上括号使等式成立。〔1〕7×9＋12÷3－2＝23〔2〕7×9＋12÷3－2＝65〔3〕7×9＋12÷3－2＝77〔4〕7×9＋12÷3－2＝47在以下四个5之间，填上适当的运算符号＋、－、×、÷和〔〕，使等式成立。〔1〕5555＝10〔2〕5555＝15〔3〕5555＝25〔4〕5555＝1将1—8填入以下方格内，使每一横行，每一竖行的三个方格内的数字和相等。第2节竖式数字谜【专题分析】解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：1、认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的局部作出局部判断。2、采用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合题意的数字。3、试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，到达快速而准确的目的。4、算式谜题解出后，要验算一遍。【王牌例题】例1在下面的方框中填上适宜的数字。□76×□□18□□□□□□31□□0【思维点拨】由于积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5；有由于第二个因数的个位是5，结合第一个因数与5相乘所得的积的情况考虑，可推出第一个因数百位上是3；由第一个因数为376与积为31□□0，可推出第二个因数的十位上是8。这样题中其他方框也就很容易填了。【模仿训练】〔1〕6□〔2〕□2□□×35×□□33□□□041□8□□70□□□□□□□□□例2在下面的方框里填上适当的数字。11□7□17□1□□□□□□□00【思维点拨】有商的十位是1，以及1与除数的乘积的最高位是1可推知除数的十位是1。由第1次除后余数是7，可推知被除数的只可能是7、8或9，如果是7，除数个位是0，那最后必有余数，如果十位是8，除数的个位就是1，也不能除尽；只有当被除数十位是9时，除数的个位是2，商的个位是6，正好除尽。【模仿训练】在下面的方框里填上适当的数字。□□□□□□□□76□□□□61□□61□□□□00例3下面算式中不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，当每个汉字代表什么数字时，等式成立。国热＝〔〕祖国爱＝〔〕爱祖国祖＝〔〕热爱祖国国＝〔〕＋1热爱祖国2热爱祖国【思维点拨】解这类题要利用数字拆分的规律以及加减法之间的关系，确定某一位上要填的数字或大致范围，进行反复尝试，采用试验的方法把不合题意的数字排除掉，找到正确答案。此题先考虑个位5个国相加的和的个位还是国，可知国＝0，或国＝5，当国＝0时，十位上的4个祖相加的和必须是祖，那么祖也等于0，矛盾！因此国＝0的情况不可能，所以国只能＝5。个位上向十位进2，十位上祖×4＋2的和的末位上的数还是祖，推出祖＝6，并向百位进2。百位上爱×3＋2的和的末位还是爱，推出爱＝9，并且向千位进2。千位上热×2＋2的和的末位上的数还是热，推出热＝8，由此可得热＝8。【模仿训练】下面算式不同汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的汉字，当每个汉字代表什么数时，等式成立。腾飞巨＝〔〕龙腾飞龙＝〔〕＋巨龙腾飞腾＝〔〕2001飞＝〔〕例4在下边乘法算式中，每个字母代表一个数字，不同字母代表不同的数字，A不是0，求A、B、C、D分别代表什么数字。ABC×CDBC【思维点拨】这道题如果从正面思考难度比拟大，我们应当从反面思考，从乘法算式中可以判断C乘C的个位数字还是C，所以C只能是1、5或6，如果C＝1，乘积仍然是第一个因数与条件不符合。所以C只能是5或6，那么A只能是1。当C＝6时，无解。当C＝5时，B＝2或7。如果B＝2，那么D＝6；如果B＝7，那么D＝8。所以A、B、C、D各代表1、2、5、6或1、7、5、8。125175×5或×5625875【模仿训练】下面的字母分别代表一个数字，相同字母代表相同的数字，不同字母代表不同数字。AABA＝〔〕×CB＝〔〕2001C＝〔〕例5算式中的汉子分别代表什么数字？2万紫千红春×3万紫千红春2【思维点拨】个位上的“春〞与3的积的末尾是2，那么春＝4；十位“红〞与3的积的末位应是4－1＝3，那么红＝1；百位上“千〞与3的积的末位是1，那么千＝7；千位上的紫与3的积的末位应是7－2＝5，那么紫＝5；万位上“万〞与3的积的末位是5－1＝4，那么万＝8。【模仿训练】花红绿柳花＝〔〕红＝〔〕×9绿＝〔〕柳＝〔〕柳绿红花【稳固练习】1、在下面的□里，各填上一个适宜的数字，使等式成立。□□5□10□□＋□□9－□5468462、下面算式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问这些汉字各代表几？科学我＝〔〕们＝〔〕爱科学爱＝〔〕科＝〔〕我爱科学学＝〔〕＋我们爱科学200003、在下面的□里填上适宜的数字。□766□×□□×□□18□□33□□□□□1□831□□0□□□□【拓展提高】下面乘法算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，当每个汉字代表什么数时，竖式成立。欢迎澳门回归祖国×国111111111欢＝〔〕迎＝〔〕澳＝〔〕门＝〔〕回＝〔〕归＝〔〕祖＝〔〕国＝〔〕第三讲简便运算【专题分析】速算和巧算是计算中一个重要组成局部，掌握一些速算和巧算的方法，既能训练思维，又能提高计算效率，节省计算时间。加减法、乘除法的巧算主要是根据加减法、乘除法的运算定律和运算性质、通过对算式的适当变形使计算简便。加减法、乘除法的运算定律和运算性质主要有：加法交换律：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ加法结合律：〔ａ＋ｂ〕＋c＝ａ＋〔ｂ＋c〕乘法交换律：ａ×ｂ＝ｂ×ａ乘法结合律：〔ａ×ｂ〕×c＝ａ×〔ｂ×c〕乘法分配律：〔ａ＋ｂ〕×c＝ａ×c＋ｂ×c减法的性质：ａ－ｂ－c＝ａ－〔ｂ＋c〕除法的性质：ａ÷ｂ÷c＝ａ÷〔ｂ×c〕通过本节学习和训练，使学生能够进一步熟练加减法、乘除法运算定律和性质的运用，合理进行转化，从而培养认真观察、细致计算的良好习惯，提升计算能力。【王牌例题】例1用简便方法计算以下各题。〔1〕558＋764＋442〔2〕726＋484＋274＋516【思维点拨】〔1〕根据加法的交换律和结合律，交换加数764和442的位置，使558和442凑成1000再计算；〔2〕运用加法的交换律和结合律，使726和274结合，484和516结合，分别凑成1000再计算。〔1〕558＋764＋442〔2〕726＋484＋274＋516＝〔558＋442〕＋764＝〔726＋274〕＋〔484＋516〕＝1000＋764＝1000＋1000＝1764＝2000【模仿训练】用简便方法计算以下各题。〔1〕99＋136＋101〔2〕361＋972＋639＋28〔3〕1451＋972＋549＋28例2计算下面各题。〔1〕872－48－272〔2〕842－567－133〔3〕128＋186＋72－86【思维点拨】〔1〕根据减法的性质，交换减数之间的位置，差不变，用872先减去272得整百数，然后再减去48，就比拟简便。〔2〕这题和〔1〕题有所不同，其两减数的和是整百数。所以根据减法的另一性质：一个数连续减去几个数，可以用这个数减去几个减数的和，ａ－ｂ－c＝ａ－〔ｂ＋c〕。〔3〕在一个没有括号的算式中，如果只有第一级运算，计算时可以根据运算定律和性质调换加数或减数的位置。〔1〕872－48－272〔2〕842－567－133〔3〕128＋186＋72－86＝872－272－48＝842－〔567＋133〕＝〔128＋72〕＋〔186－86〕＝400－136＝842－700＝200＋100＝264＝142＝300【模仿训练】用简便方法计算以下各题。〔1〕1306－726－306〔2〕283＋69－183〔3〕648－172－15－13例3用简便方法计算下面各题。〔1〕678×1001〔2〕48×88＋12×48〔3〕〔360＋108〕÷36【思维点拨】〔1〕将1001分成1000与1的和，然后运用乘法的分配率进行计算比拟简便。〔2〕运用乘法的分配率进行计算比拟简便。〔3〕两个数的和、差除以一个数，可以用这个数分别去除以这两个数，再求出两个商的和或差。利用这一性质，可以使计算简便。〔1〕678×1001〔2〕48×88＋12×48〔3〕〔360＋108〕÷36＝678×〔1000＋1〕＝48×〔88＋12〕＝360÷36＋108÷36＝678×1000＋678×1＝48×100＝10＋3＝678000＋678＝4800＝13＝678678【模仿训练】用简便方法计算以下各题。〔1〕〔720＋96〕÷24〔2〕108×12〔3〕384×105－5×384例4用简便方法计算以下各题。〔1〕4000÷125÷8〔2〕25×125×4×8〔3〕125×64【思维点拨】〔1〕根据除法运算性质，可以用4000除以125乘8的积，这样计算简便。〔2〕在这道连乘算式中，如果先把25与4相乘，可以得到100；同时把125与8相乘，可以得到1000；再把100与1000相乘就简便了。此题运用乘法的交换律和结合律，使计算简便。〔3〕此题要先变化，把64转化成8×8，先算125×8＝1000，再用1000×8，这样计算比拟简便。〔1〕4000÷125÷8〔2〕25×125×4×8〔3〕125×64＝4000÷〔125×8〕＝〔25×4〕×〔125×8〕＝125×8×8＝4000÷1000＝100×1000＝1000×8＝4＝100000＝8000【模仿训练】用简便方法计算以下各题。〔1〕16×25〔2〕25×17×4〔3〕5400÷15÷4例5用简便方法计算以下各题。〔1〕125×25×32〔2〕9999×2222＋3333×3334【思维点拨】这两道题都要先转化，然后运用乘法的运算定律来计算比拟简便。〔1〕先把32转化成8×4，再把128和8结合，把25与4结合。〔2〕此题毛看不能用乘法分配律，其实仔细观察发现，9999×2222可以转化成3333×3×2222，也就是3333×6666。〔1〕125×25×32〔2〕9999×2222＋3333×3334＝125×25×8×4＝3333×3×2222＋3333×3334＝〔125×8〕×〔25×4〕＝3333×6666＋3333×3334＝1000×100＝3333×〔6666＋3334〕＝100000＝3333×10000＝33330000【模仿训练】用简便方法计算以下各题。〔1〕125×25×5×64〔2〕72×94＋36×12〔3〕430×36＋640×43【稳固练习】1、用简便方法计算以下各题。〔1〕46＋87＋54〔2〕37＋56＋63＋44〔3〕2318＋625－1318＋625〔4〕987－178－222〔5〕132－85＋68〔6〕4428＋2267＋7733＋55722、用简便方法计算以下各题。〔1〕105×16〔2〕76×99＋76〔3〕〔4500－90〕÷45〔4〕36900÷4÷25〔6〕125×5×2×8〔6〕88×1253、用简便方法计算以下各题。〔1〕25×24〔2〕125×32×5〔3〕222×64＋444×18【拓展提高】用简便方法计算以下各题。〔1〕138×27÷69×50〔2〕1000×32÷125×25〔3〕369＋4598－435＋5402＋631－565〔4〕3600×25＋7500×36〔5〕100000÷32÷125÷25〔6〕183183×294－294294×183第四讲错中求解【专题分析】在加减乘除算式中，如果粗心大意将算式中的一些数或者运算符号抄错，就会导致计算结果发生错误，如：小华在计算除法时，把被除数630错写成360，结果得到商是12，正确的商应该是多少？同学们在做数学题时，往往会写错数字，造成错误答案，在这一讲里专题研究改错的对策，根据熟练加减乘除各局部之间的关系，依题目中所给的条件，认真分析隐含的数量关系，从而找到正确的结果。【王牌例题】例1小李在计算两个数相加时，把一个数个位上的7错写成了1，把另一个加数百位上的2错写成3，所得和是2003，原来两个数相加的正确答案是多少？【思维点拨】根据题意，一个加数个位上的7被写成了1，少加了6；另一个加数百位上的2错写了3，多加了100，这样所得的和比原来多了100－6＝94。2003－〔100－6〕或2003＋6－100〔少加了要加，多加了要减〕＝2003－94＝2023－100＝1909＝1909答：原来两个数相加得1909。【模仿训练】大刘在计算加法时，把一个加数十位上的5错写成了3，把另一个加数个位上的6错写成4，所得的和是374，正确的和应该是多少？2、豆豆在计算加法时，把一个加数个位上的6错写成9，把另一个加数百位上的8错写成3，所得的和是637，正确的和应该是多少？例2小明在计算除法时，把除数65写成了56，结果得到商是13，还余52，正确的商是多少？【思维点拨】由于粗心大意把除数65写成56，计算结果是一个错误的商。怎样才能求出正确的商呢？必须先求出被除数是多少。我们可以先抓住错误的除数，利用它求出被除数，再根据正确的被除数和正确的除数来求正确的商。〔1〕被除数：13×56＋52〔2〕正确的商：780÷65＝12＝728＋52＝780答：正确的商是12。【模仿训练】1、小明在计算除法时，把被除数1350写成1305，结果得到的商是52，余数是5，正确的商应该是多少？2、小星在计算有余数的除法时，把被除数567错写成521，这样商比原来少了2，而余数正好相同，请你计算出这道题的除数和余数各是多少？例3小英计算两位数乘两位数时，把一个因数的个位数6错写成9，结果得936，实际为864，这两个因数各是多少？【思维点拨】一个因数的个位6错写成9，所得的结果比原来多了〔9－6〕个另一个因数；实际结果与错误结果相差936－864＝72,72÷3＝24，所以一个因数是24。864÷24＝36，所以另一个因数是36。〔1〕一个因数：〔2〕另一个因数：〔936－864〕÷〔9－6〕864÷24＝36＝72÷3＝24答：这两个因数分别是24和36。【模仿训练】1、冰冰在计算两位数乘两位数时，把一个因数的十位数5错写成3，结果得432，实际为672，这两个因数各是多少？2、贝贝和乐乐做同一道乘法题。贝贝将一个因数的个位数4错写成1，得出的乘积是525；乐乐将这个因数的个位数错写成8，得出的乘积是700。正确的乘积应该是多少？例4两个数的和是94，有人计算时将其中一个加数个位上的0漏掉了，结果算出的和是31，求这两个数。【思维点拨】〔1〕根据题意知道正确的和是94，且其中一个加数的个位是0，那么另一个加数的个位一定是4。〔2〕一个加数个位是0，把0漏了，十位与4相加得31，那么这个加数的十位一定是7，另一个加数的十位一定是2。解法：70＋24＝947＋24＝31符合题意注：也可以用填数字谜的方法。□4□424＋□0＋□＋794313170＋24＝94【模仿训练】两个数相乘，如果一个因数增加4，另一个因数不变，那么积增加28；如果一个因数不变，另一个因数减少6，那么积减少138，原来的积是多少？【稳固练习】1、小明做题时，把被减数个位上的8错写成0，把十位上的6错写成2，这样算的差是513，正确的差是多少？2、小红做题时，把被减数个位上的0错写成6，把十位上的9错写成6，这样算得差是200，正确的差是多少？小红在计算加法时，一不小心，把一个加数个位的3错看成了5，把另一个加数个位上的8看成了0，所得和是174，正确的和应该是多少？4、小红在计算除法时，把被除数7140写成1740，结果得到商49，余数是25，正确的商应该是多少？5、大刚在计算除法时，把被除数7140写成1740，结果得到商是49，余数是25，正确的商应该是多少？小明在做65乘一个数时，错将另一个因数个位上的2看成了4，得出积是1560，正确的积应该是多少？7、小马虎在计算一道乘法时，不小心将第二个因数34，看成了43，积得5375，你能求出正确的积是多少吗？小华在计算一道乘法时，不小心将第二个因数13，错看成31，积比原来的积多1170，你能求出第一个因数是多少？正确的积是多少？【拓展提高】1、两个数的和是66，有人计算时将其中一个加数个位上的0漏掉了，结果算出和是21，求这两个数各是多少？2、小明在做一道加法时，一不小心将加号看成了减号，结果得215，如果第二个数是168，你能算出正确的和吗？3、一个同学把〔6＋□〕×20错算成6＋□×20，他算出的结果与正确得数相差多少？4、一个数乘5，小华误把乘号当成加号，得到结果是22，正确的积应该是多少？第五讲图形的计数【专题分析】我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等根本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起就构成了复杂的几何图形，要想准确地计数这类图形中所包含的某一种根本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。要准确地、迅速地计数图形必须注意以下几点：1、弄清楚被数图形的特征和变化规律；2、要按一定的顺序数，做到不重复、不遗漏。【王牌例题】例1数出以下图形中有几条线段。【思维点拨】要想数线段不重复，不遗漏，就需要按一定的顺序去数，再从中找出规律，数线段的条数，一般方法如下：方法：从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD。从B点出发的不同线段有2条：BC、BD。从C点出发的线段只有1条：CD。因此，图中有3＋2＋1＝6〔条〕线段答：图中有6条线段。注：数线段的一般规律：如果一条线段被分成几条“根本线段〞，那么这条线段上所有线段的总条数是：1＋2＋3＋…＋ｎ＝〔ｎ＋1〕×ｎ÷2〔条〕，这也适合其它一些图形。【模仿训练】1、以下图中共有几条线段：〔1〕〔2〕〔3〕例2数一数下面有多少个锐角？【思维点拨】数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点，如以A点的锐角有∠AOB，∠AOC,∠AOD,∠AOE，4个角；以B为点的锐角有∠BOC，∠BOD，∠BOE，3个角；以C为点有∠COD，∠COE，2个角；以D为点有∠DOE，1个角。可根据公式：〔ｎ＋1〕×ｎ÷2〔4＋1〕×4÷2＝10〔个〕或者4＋3＋2＋1＝10〔个〕答：图中共有10个锐角。【模仿训练】以下各图中分别有多少个锐角？〔1〕〔2〕例3数一数下面图中共有几个三角形？【思维点拨】图中AD边上的每一条线段都能与顶点O构成一个三角形，也就是说，AD边上有几条线段，就能构成几个三角形。因为AD边上共有4个端点，就有1＋2＋3＝6〔条〕线段，所以图中有6个三角形。1＋2＋3＝6〔个〕答：图中一共有6个三角形。【模仿训练】数一数下面图中各有多少个三角形？〔1〕〔2〕〔3〕例4以下图〔1〕、图〔2〕中各有多少个长方形？【思维点拨】〔1〕图〔1〕长方形的个数与AD边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以，长方形的总个数等于边上线段的条数，即长方形的个数为：4＋3＋2＋1＝10〔个〕〔2〕图〔2〕中AB边上共有线段4＋3＋2＋1＝10〔条〕，BC边上共有线段2＋1＝3〔条〕，把AB边上每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一条长配一个宽，就组成一个长方形，所以图〔2〕中共有长方形为：〔4＋3＋2＋1〕×〔2＋1〕＝30〔个〕注：如果长方形的“长〞上有ｍ条根本线段，“宽〞上有ｎ条根本线段，那么，这个长方形中长方形的总数为：〔1＋2＋3＋…＋ｍ〕×〔1＋2＋3＋…＋ｎ〕【模仿训练】数一数下面各图中分别有多少个长方形？例5数一数，以下图中有多少个正方形〔每个小方格为边长1厘米的正方形〕？【思维点拨】图中边长为1厘米的正方形有3×3＝9〔个〕；边长为2厘米的正方形有2×2＝4〔个〕；边长为3厘米的正方形有1×1＝1〔个〕。所以图中正方形总数为：1×1＋2×2＋3×3＝14〔个〕答：图中有14个正方形。注：经进一步分析可以发现，由相同的ｎ×ｎ个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋ｎ×ｎ【模仿训练】数一数，以下图中有多少个正方形〔每个小方格为边长1厘米的正方形〕？【稳固练习】1、以下图中有多少条线段？〔1〕一共有〔〕条线段〔2〕一共有〔〕条线段2、以下图形中各有多少个角？有〔〕个角有〔〕个角3、数一数，图中一共有几个三角形？一共有〔〕个三角形一共有〔〕个三角形4、以下图中各有多少个长方形？一共有〔〕个长方形一共有〔〕个长方形5、以下图中一共有多少个正方形？一共有〔〕个正方形【拓展提高】1、以下图中各有多少个三角形？一共有〔〕个三角形一共有〔〕个三角形2、请在下面画一个有10条线段的图形。3、以下图中一共有多少个角？一共有〔〕个角4、以下图中有多少个正方形？一共有〔〕个正方形第六讲综合应用题【专题分析】1、解决复合应用题时一般有如下四个步骤：〔1〕弄清题意，找出条件和所求问题；〔2〕分析条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；〔3〕拟定解答方案，列出算式，算出得数；〔4〕检验解答方法是否合理，结果是否合理，最后写答案。2、解决复合应用题一般有两种分析方法：〔1〕综合法。就是从条件到问题的分析法，推出由这些条件所能求得的结果，再把这些结果作为条件，与原来的条件合在一起，推出新的结果。〔2〕分析法。就是从问题到条件的分析方法，是以从题目的问题出发，运用已学过的简单应用题的知识，找出解决这个问题所需要的两个条件。【王牌例题】例1某车间方案加工1000个机器零件。前15天每天加工48个；后来由于革新了技术，提高了工效，剩下的任务5天就完成了。这5天平均每天加工多少个机器零件？【思维点拨】解决问题的关键是从条件中挖掘数量关系，找出问题的突破口。〔1〕前15天加工机器零件：48×15＝720〔个〕〔2〕革新技术后5天要加工的机器零件〔剩下的〕：1000－720＝280〔个〕〔3〕革新后平均每天加工机器零件：280÷5＝56〔个〕【模仿训练】1、某电冰箱厂要生产1560台电冰箱，已经生产了8天，每天生产120台，剩下的每天生产150台，还要多少天才能完成任务？2、自行车厂要生产9900辆自行车，前10天平均每天生产460辆，由于改良技术，后来每天生产530辆，完成这批任务还要多少天？例2某种子公司某天卖出同种型号的玉米良种98包，其中上午卖出了75包，每包28元。这天上午比下午多卖多少元？【思维点拨】先求出上午卖了多少元和下午买了多少元。上午卖了：75×28＝2100〔元〕〔2〕下午卖了：〔98－75〕×28＝644〔元〕〔3〕上午比下午多卖：2100－644＝1456〔元〕你还有其他方法吗？请说来和大家一起分享你的智慧。例3师傅和徒弟同时开始分别加工200个零件，师傅每小时加工25个，师傅完成任务时，徒弟还要做2小时才能完成任务。徒弟每小时加工零件多少个？【思维点拨】由条件可知，师傅完成任务用了200÷25＝8〔时〕，徒弟完成任务用了8＋2＝10〔时〕。所以，徒弟每小时加工零件200÷10＝20〔个〕【模仿训练】1、张师傅和李师傅同时开始分别做90个玩具，张师傅每天做10个，张师傅完成任务时，李师傅还要做1天才能完成任务。李师傅每天做多少个零件？2、小华和小明同时开始分别写192个大字，小华每天写24个，小华完成任务时，小明还要写4天才能完成任务，小明每天写多少个大字？例4甲乙两地相距200千米，汽车行完全程要5小时，步行要40小时。张强从甲地出发，先步行8小时后改乘汽车，还需要几小时到达乙地？【思维点拨】根据题意，汽车5小时行200千米，每小时行200÷5＝40〔千米〕；步行200千米要40小时，平均每小时行200÷40＝5〔千米〕；8小时步行了5×8＝40〔千米〕；全程有200千米，乘汽车行了200－40＝160〔千米〕；所以，还需要160÷40＝4〔时〕到达乙地。200÷5＝40〔千米〕200÷40＝5〔千米〕5×8＝40〔千米〕200－40＝160〔千米〕160÷40＝4〔时〕【模仿训练】1、玩具厂一车间要生产900个玩具，如果用手工做要20小时才能完成，用机器做只需要4小时。一车间工人先用手工做了5小时，后改用机器生产，还需要几小时才能完成任务？2、甲乙两地相距200千米，汽车行完全程要5小时，步行要40小时。张强从甲地出发，先乘汽车4小时后改步行，他从甲地到乙地共用了多少小时？例5某筑路队修一条长4200米的公路，每人每天修4米，原方案派21人来完成，实际修筑时增加了4人，可以提前几天完成任务？【思维点拨】要求可以提前几天完成任务，要知道原方案多少天完成任务和实际多少天完成任务。原方案21人每天修4×21＝84〔米〕，修4200米需要的时间：4200÷84＝50〔天〕。实际增加了4人，每天修4×〔21＋4〕＝100〔米〕，修同样长的公路需要4200÷100＝42〔天〕。所以，可以提前：50－42＝8〔天〕完成任务。【模仿训练】1羊毛衫厂要生产378件羊毛衫。每人每天生产3件，原方案派18人来完成。实际增加了3人，可以提前几天完成任务？2、某筑路队修一条长8400米的公路，每人每天修4米，原方案派42人来完成。如果每人工作效率不变，要提前8天完成任务，实际需要多少人参加？【稳固练习】1、缝纫厂运来两种布，第一种有8匹，每匹长30米；第二种有10匹，每匹长32米。如果做一套衣服用5米布，这些布可以做多少套衣服？2、某车间要生产一批零件，每天生产180个，40天可以完成。现在任务急需提前15天完成，每天应生产多少个？3、王叔叔买了3千克荔枝和4千克桂圆，共付156元。5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的价钱。每千克荔枝和每千克桂圆各多少元？4、某工厂方案生产20900个零件，前5天平均每天生产2100个，后来改良操作方法，平均每天生产2600个，这样完成这批任务共需多少天？5、某发电厂运来一批煤，方案每天烧300吨，20天用完，后来改良技术，每天少烧煤60吨，这批煤实际可以烧多少天？6、丰华农具厂方案20天制造农具2400件，实际每天多制造30件，这样可以提前几天完成任务？7、锅炉房有一批煤，原方案每天烧5吨，可以烧45天。改良烧煤技术后，每天少烧2吨。这批煤可以烧多少天？8、A、B两城相距300千米，摩托车行完全程要5小时，自行车要25小时，王亮从A城出发，先骑自行车5小时，后改骑摩托车。他从A城到B城共用了多少小时？【拓展提高】1、张村和王村联合起来绿化荒山，今春要植树5700棵。如果张村单独完成需要10天；王村单独完成需要15天。现在两村联合多少天可以完成任务？2、电视机厂接到一批生产任务，方案每天生产90台，可以按期完成。实际每天多生产5天，结果提前一天完成任务。这批电视机共有多少台？3、100米布正好做成人衣服20套。做了14套成人衣服后剩下的布正好做15套小孩衣服。每套小孩衣服比成人衣服少用多少米？第七讲植树问题【专题分析】以植树为内容，研究植树的棵树，棵与棵之间的距离和需要植树的总长度等数量关系的问题，称为植树问题：植树问题在日常生活中应用广泛，主要有两种情况：1、在直线上或不封闭的曲线上植树。如果首尾都种1棵树〔两端都种〕，那么植树的棵数要比分的段数〔间隔数〕多1，即：棵数＝段数〔间隔数〕＋1如果首尾只种1棵〔一端种〕，那么那么植树的棵数就等于分的段数〔间隔数〕，即：棵数＝段数〔间隔数〕如果首尾都不种〔两端都不种〕，那么植树的棵数要比分的段数〔间隔数〕少1，即：棵数＝段数〔间隔数〕－12、在封闭线路〔如长方形、正方形、圆等〕上植树，因为首尾两端重合在一起，所以植树的棵数就等于可分的段数〔间隔数〕。即：棵数＝段数〔间隔数〕【王牌例题】例1在一条长80米的小路一旁种白杨树，每隔16米种一棵，两端都种，共可以种多少棵白杨树？【思维点拨】从题中给出的条件看，是沿一条直线种树的问题，也就是先求80米中包含多少个16米，就有多少个间隔，由于首尾两端都种，所以种的棵数就是间隔数＋1。用线段图表示出种树的情况如下：解：80÷16＋1＝5＋1＝6〔棵〕答：共可以种6棵白杨树。【模仿训练】1、一条路长200米，在路的一旁从头至尾每隔5米植一棵树，一共要植树多少棵？2、在一条全长3千米的公路两旁装路灯〔两端要安装〕，每隔50米安一座，一共要安装多少座？例2沿一个周长为48米的圆形水池旁种杨柳树，每隔12米种一棵，可以种树多少棵？【思维点拨】从所给条件看，是沿一条封闭的曲线种树问题，只要求出48米中包含几个12米，就可以求出种树多少棵。解：68÷12＝4〔棵〕答：可以种树4棵。【模仿训练】在一块长80米，宽60米的长方形地的周围种树，每隔10米种一棵，一共可以种多少棵？例3在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏，相邻两盏之间的距离相等。求相邻两盏彩灯之间的距离有多少米？【思维点拨】大桥两边共挂了202盏彩灯，每边各挂202÷2＝101〔盏〕，101盏彩灯把800米的大桥分成101－1＝100〔段〕，所以相邻两盏彩灯之间的距离是800÷100＝8〔米〕。解：800÷〔202÷2－1〕＝800÷100＝8〔米〕答：相邻两盏彩灯之间的距离有8米。【模仿训练】1、在一条长100米的大路两边各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽了52棵，相邻的两棵树之间的距离相等。求相邻两棵树之间的距离有多少米？2、六年级学生参加播送体操比赛，排了5路纵队，队伍长20米，前后两排相距1米。六年级有学生多少人？例4两棵树相隔115米，在中间以相等距离增加22棵树后，第16棵树到第1棵树之间相隔多少米？【思维点拨】增加了22棵树后，现在有22＋2＝24〔棵〕，那么24棵树的间隔为24－1＝23〔个〕，每两颗的距离为115÷23＝5〔米〕。而第16棵到第1棵之间有16－1＝15〔个〕间隔，所以第16棵到第1棵相隔15×5＝75〔米〕。【模仿训练】两颗柳树相距408米，方案在这两颗树之间补栽小数23棵，每两颗树间隔相等，问树的间隔是多少米？例5有一幢10层的大楼，由于停电电梯停开，某人从1层走到3层，需要30秒，照这样计算，他从3层走到10层需要多少秒？【思维点拨】把每一层楼所需要的时间看作一个间隔，1层至3层有两个时间间隔，所以每个间隔用去时间是30÷〔3－1〕＝15〔秒〕，3层到10层经过了10－3＝7〔个〕时间间隔，所以，他从3层到10层要15×7＝105〔秒〕。【模仿训练】1、小明从1楼上到4楼共用12秒，那么小明从1楼上到7楼，要用多长时间？2、时钟4点钟敲4下，6秒钟敲完，那么12点敲12下，多少秒敲完？例6一位木工锯一根长19米的木料，他先把一头损坏局部锯下来1米，然后锯了5次，锯成同样长的短木条。每根短木条长多少米？【思维点拨】根据题意，把长19－1＝18〔米〕的木条锯了5次，可以锯成5＋1＝6〔段〕，所以，每根短木条长18÷6＝3〔米〕〔19－1〕÷〔5＋1〕＝3〔米〕答：每根短木条长3米。【模仿训练】1、一位木工锯一根长17米的木料，他先把一头损坏局部锯下来2米，然后锯了4次，锯成同样长的短木条。每根短木条长多少米？2、有一根圆钢长22米，先锯下2米，剩下的锯成每根都是4米的小段，又锯了几次？【稳固练习】1、在一条马路一边从头到尾植36棵树，每相邻两颗树间隔8米，这条马路有多长？2、一个鱼塘的周长是1500米，沿鱼塘周围每隔6米栽一棵杨树，需要栽多少棵杨树？3、在圆形的水池边，每隔3米种一棵树，共种树60棵，这个水池的周长是多少米？4、同学们做早操，21个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一个人到最后一个人的距离是40米，相邻两个人隔多少米？5、沿一个正方形的空地边种树，每隔15米种1棵，一共种树80棵，求这个正方形空地的面积是多少？6、公路的一边相隔7米有一棵杨树，小鹏乘电车3分钟看到公路的一边有杨树151棵，电车每分钟行多少米？7、一条公路长200米，在公路两旁从头到尾每隔5米植一棵树，一共要植树多少棵？8、时钟5时敲5下，8秒钟敲完，那么，11时敲11下，多少秒钟敲完？9、在一条长100米的小路一旁种杨树，每隔10米种1棵，两端都种，一共可以种多少棵？10、同学们做早操，18个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一个人到最后一个人的距离是85米，求相邻两个人隔多少米？11、在一条长1200米的公路两旁安装路灯〔两端都装〕，每50米安装一盏，求这条公路一共要安装多少盏路灯？12、在一个圆形鱼塘周围，每隔5米栽一棵树，共栽了140棵，这个鱼塘的周长是多少米？13、一个正方形游泳池边长50米，现在沿正方形游泳池周围每隔5米插一面红旗，这个游泳池一共要插多少面红旗？14、四年级同学参加校园集体舞比赛，排成4路纵队入场，队伍长230米，每队中间前后两人相距2米，四年级有多少学生参加了校园集体舞比赛？15、在跑道的一旁插着41面小旗，它们间隔3米，现在改为只插31面小旗，间隔应改为多少米？16、一个小朋友以相同的速度在路上行走，从第一棵树走到第十七棵树需要16分钟。如果这个小朋友走了30分钟，应走到第几棵树？17、有一根木料长20米，先锯下2米长的损坏局部，然后把剩下的木料锯成一样长的木条，又锯了5次，每根短木条长多少米18、在一条公路的一边栽95棵树，两头都栽，每两颗树之间相距5米。这条公路全长多少米？【拓展提高】1、有一个等边三角形的花坛，边长20米，每隔顶点都要在一棵月季花，每隔2米再栽一棵月季花，花坛一周能栽多少棵月季花？2、有一条公路长1000米，在两旁种槐树，两端都要种，相邻两株槐树之间距离20米，每相邻两株槐树之间又有5株柏树。问这条路上两种树各种多少株？3、某大学从校门口的门柱到教学楼墙根，有一条500米的小路，在小路两旁每隔10米栽一棵白杨树，一共栽了多少棵白杨树？第八讲平均数问题【专题分析】我们经常用各科成绩的平均分数来比拟班级之间、同学之间成绩的上下，求出各科的平均分就是求平均数。平均数在日常生活和工作中应用很广泛，例如求平均身高问题，求某天的平均气温等。求平均数问题的根本数量关系是：总数量÷总份数＝平均数；平均数×总份数＝总数量；总数量÷平均数＝总份数。解答平均数问题的关键是要确定“总数量〞以及与“总数量〞相对应的“总份数〞，然后用总数量除以总份数求平均数。也可以用“移多补少〞的方法，或找一个基数，用基数＋各数与基数的差之和÷份数＝平均数。【王牌例题】例1四年级同学为希望工程捐款，四〔1〕班36人共捐款384元，四〔2〕班30人共捐款312元，四〔3〕班33人共捐款393元，四年级平均每人捐款多少元？【思维点拨】因为四年级分三个班，由问题可知“平均范围〞是三个班，是按人数平均，因此所需条件是三个班捐款的总数和三个班的总人数。三个班捐款总数为：384＋312＋393＝1089〔元〕