刚体力学基础动量矩刚体和刚体的基本运动刚体

1、第5章 刚体力学基础 动量矩 1刚体和刚体的基本运动 2 刚体定轴转动的运动定律 3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理 4 动量矩和动量矩守恒定律 刚体的定点运动-回转仪的旋进 1角动量定理 角动量守恒定律一、质点对定点的角动量二、力对定点的力矩三、质点的角动量定理 角动量守恒定律四、质点系的角动量问题 2思路:与处理动量定理 动量守恒问题相同一、质点对定点的角动量t 时刻(如图)定义为质点对定点o 的角动量方向：垂直 组成的平面SI大小：量 纲：3 t 时刻 如图定义为力对定点o 的力矩二、力对定点的力矩大小：中学就熟知的：力矩等于力乘力臂方向：垂直 组成的平面量纲：41）物理量角动量和力矩均

2、与定点有关，角动量也称动量矩，力矩也叫角力；2） 对轴的角动量和对轴的力矩 在具体的坐标系中，角动量（或力矩）在各坐标轴的分量，就叫对轴的角动量（或力矩）。 ( 见 6 7 8 页 )讨论5：质点对x轴的角动量：质点对 x轴的力矩某一方向的分量怎么求呢？由定义出发： 分量中，涉及的位矢分量为x,y涉及的力的分量为Fx,Fy例如：力矩下面，用图示形象说明，加深理解该计算过程6用图示加深理解计算过程思路： 设坐标原点o是求力 矩的定点 某时刻 质点位矢是受力是然后将位矢和力向xy平面和z方向两个分向分解最后得出结果7转轴转动平面求力对 z 轴的力矩的简化步骤：第1步，通过质点画z轴转动平面（过质点

3、垂直转轴的平面，即过质点的xy平面）第2步，认定位矢和力在转动平面内的分量第3步，算出力对z轴的力矩结论：z轴转动平面内的分量的运算就是对z轴的力矩（或角动量）8角动量守恒定律冲量矩微分形式积分形式角动量定理91）角动量守恒定律的条件2）动量守恒与角动量守恒 是相互独立的定律 3） 有心力 力始终过某一点 central force行星在速度和有心力所组成的平面内运动角动量守恒如行星运动动量不守恒角动量守恒讨论10开普勒第二定律掠面速度角动量守恒就是掠面速度相等常矢量m例题5.8,5.9(173)11四、质点系的角动量问题 1.对定点的角动量2.定理和守恒定律内力对定点的力矩之和为零质点系内的

4、重要结论之三 (自证)12形式上与质点的角动量定理完全相同内力对定点的力矩之和为零只有外力矩才能改变系统的总角动量角动量守恒定律13盘状星系角动量守恒的结果14比较 动量定理 角动量定理 形式上完全相同，所以记忆上就可简化。从动量定理变换到角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。 （趣称 头上长角 尾部添矩）15 动量定理 角动量定理力力矩或角力动量角动量或动量矩力的冲量力矩的冲量或冲量矩16基本方法： 质点系运动定理 加 刚体特性刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理平动：动量定理可以解决刚体的一般运动（平动加转动）刚体力学基础171 刚体和刚体的基本运动 一、一般运动 二、刚体的

5、定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法18刚体：在任何情况下形状、大小都不发生变化的力学研究对象。质元：把刚体分成的许多可以看成质点的微小部分。一、刚体的平动（最简单） 1. 定义：在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的 位置都保持平行。 如沿直线轨道运动的车厢2、特点：刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的！刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各质元的位移、速度和加速度却相同(证明见书149页)。在刚体平动时,只要知道刚体上任意一点的运动,就可以完全确定整个刚体的运动.因此，常用“刚体的质心”来研究刚体的平动：193、平动的自由度：3个自由度：决定物体的空间位置所需要的独

6、立坐标个数。是描述物体运动自由程度的物理量 。独立坐标：描写物体位置所需的最少的坐标数 。20二、刚体的定轴转动1、定义若刚体运动时，所有质元都在与某一直线垂直的诸平面上作圆周运动且圆心在该直线上，则称刚体绕固定轴转动，该直线称作转轴。 2、特点刚体中始终保持不动的直线就是转轴。刚体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直且为圆周，圆心在轴上。 和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。 213、定轴转动刚体的角坐标如图示：建立O-xyz系，z轴与转轴重合，O点任意选取，截取刚体一个剖面o-xy平面，此位置只要确定，刚体的位置就确定了，除O点外，再选一个A点，此图形的位置可由矢量来确定，而

7、矢量的大小是不变的，方向只需由 矢量与x轴的夹角来确定，此角称为：绕定轴转动刚体的角坐标。 角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和z 轴成右手螺旋时，角为正，否则角为负。224、定轴转动刚体运动的描述 运动学方程： ， 即：角坐标随时间的变化规律。描述刚体整体运动的物理量角量，包括：角位移，角速度，角加速度。 角位移：定轴转动刚体在时间内角坐标的增量 。任意质元的角位移是相同的是一整体运动的量。面对z 轴观察：逆时针转动， ；反之， 。角速度 ：在这一过程中，即：瞬时角速度等于角坐标对时间的导数。 面对z轴观察逆时针转动时： ；反之， 。23角加速度 ： 即：瞬时角加速度等于角速度对时间的导数

8、。加速转动，与同号， ；反之， 。24 5 定轴转动刚体角量和线量关系(1).各点运动的特点转动平面 在自己的转动平面内作圆周运动(2).描述的物理量任一质点圆周运动的线量和角量的关系减速加速简化25由定轴转动刚体角量和线量关系可知：角量：描述刚体整体运动的物理量；角量充分描述了刚体的定轴转动状态线量：描述刚体任一质元运动的物理量，由角量可得线量物理量单位量纲物理量单位量纲角位移 rad1线位移 r mM角速度rad/sT-1线速度 m/sMT-1角加速度rad/sT-2线加速度 am/s-2MT-226设板面是转动平面加速进一步解释276 刚体绕定轴转动的匀速和匀变速运动刚体绕定轴转动的匀速

9、和匀变速运动基本公式的推导与质点匀速直线运动和质点匀变速直线运动的基本公式推导类似 基本公式 (书151页)转速n : 每分钟转过的圈数 单位 r/min例题5.1(152页), 5.2(154页)28三、解决刚体动力学问题的一般方法 原则:质点系的三个定理 利用刚体的特征化简到方便形式( 简便 好记)1.刚体的平动 质点模型 运用质心运动定理 2.刚体的定轴转动 利用刚体的模型(无形变) 化简角动量定理 功能原理 方便的形式292 刚体定轴转动的运动定律 3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理 4 动量矩和动量矩守恒定律 一、 刚体定轴转动 二、转动惯量的计算(*) 三、刚体定轴转动的角动量定理

10、(*) 四、角动量守恒定律 五、刚体定轴转动的能量关系30一、 刚体定轴转动的转动定律 (质点系角动量定理微分形式的简化) 质点系角动量定理微分形式：1.化简过程定轴转动所以，可直接写分量式31=?因为各质元角动量方向相同，所以合矢量的大小就是分矢量大小的直接相加任一质量元的角动量大小为因为所以32定义刚体对定轴的转动惯量进一步化简则刚体对定轴的角动量或写为332.刚体定轴转动的转动定律定轴转动定律在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿第二定律应用转动定律解题步骤与牛顿第二定律时完全相同。见181页选择 题(1)34二、转动惯量的计算 1.定义例：如图质点系35例5.3(159页) 已知一质量为

11、M、长为L的均质细棒,求杆对通过杆的一端并与杆垂直的轴的转动惯量.解 取棒的一端为坐标原点，沿棒长方向取x轴，在棒上离原点x处取一段dx，则dx段的质量为根据公式，有 若轴通过中心，则yxLxdx在一系列的平行轴中，对质心的转动惯量最小y362.计算 1) 对称的 简单的 查表 (161页)2) 平行轴定理 parallel axis theoremyxLxdxy37 J 和转轴有关 同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的 ooml213J=ooml1122J=oomr122J=oomr142J=平行轴38哪种握法转动惯量大？39例5.4 (162) 已知:定滑轮解:受力图轻绳 不伸长 无相对

12、滑动求：1）物体加速度a2）绳子的张力T3 ) 滑轮转动的角加速度设得解40三、刚体定轴转动的角动量定理(积分形式)一般的质点系一个刚体四.角动量守恒定律由多个刚体组成的刚体体系41演示(一)茹可夫斯基凳花样滑冰 跳水(二)自行车转盘mm42五、刚体定轴转动的能量关系1.动能定理 化简1）用转动惯量表达刚体定轴转动的动能质点系动能定理理解(164页)432） 用角量表示的力作功的形式3） 刚体定轴转动的动能定理形式 (167页) 2.重力场中,机械能守恒定律系统- 刚体 + 地球了解(165页)例题5.6(168)例题5.5(166页),44例 质点与质量均匀的细棒相撞(如图)解：过程1 质点与细棒相碰撞 碰撞过程中系统对o 点 的合力矩为设，完全非弹性碰撞求：棒摆的最大角度所以，系统对o点的角动量守恒。即，45细棒势能质点势能过程2 质点、细棒上摆 系统中包括地球