2015年高中数学正弦定理练习新人教版必修5

1、PAGE PAGE - 14 -正弦定理【考点1】正弦定理（1）正弦定理：=；（2）正弦定理的变形形式：；（3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题： 1两角和任意一边，求其它两边和一角；如；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角如；3求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：；例1（2014湖北卷）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知Aeq f(,6)，a1，beq r(3)，则B_【点拨】利用正弦定理得sin Beq f(r(3),2)，注意大边对大角，答案可能有两解【解析】由正弦定理得eq f(a,sin A)eq f(b,s

2、in B)，即eq f(1,sinf(,6)eq f(r(3),sin B)，解得sin Beq f(r(3),2).又因为ba，所以Beq f(,3)或eq f(2,3)【答案】eq f(,3)或eq f(2,3)【小结】在中，练习1：在中，角ABC所对的边分别为，若，则A=.【解答过程】练习2：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知Aeq f(,3)，aeq r(3)，b1，则c为_【解答过程】解析：由正弦定理eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，sin Beq f(bsin A,a)eq f(1sinf(,3),r(3)eq f(1,2).又ab，AB，B为

3、锐角，Beq f(,6)，于是Ceq f(,2)，ABC为直角三角形，ceq r(a2b2)2.练习3：在中，（）求角的大小；（）若最大边的边长为，求最小边的边长【解答过程】练习4：在ABC中，若，求. 【解答过程】解析：由正弦定理知， ，.【考点2】运用正弦定理判定三角形形状及三角形解的情况（1）判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角方法求解在解三角形时的常用结论有：1在ABC中，ABabsin Asin Bcos Acos B.2在ABC中，ABC，ABC，eq f(AB,2)eq f(,2)eq f(C,2)，

4、则cos（AB）cos C，sin（AB）sin C，sineq f(AB,2)coseq f(C,2).3在ABC中，a2b2eq f(,2)，a2b2c2Ceq f(,2)，a2b2c20Ceq f(,2).（2）三角形解的情况：1当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解2当A为锐角时，如果，那么只有一解；如果，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若，则有两解；（2）若，则只有一解；（3）若，则无解注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且时，有两解；其它情况时则只有一解或无解例2在ABC中，若，则ABC的形状是_。【点拨】切化弦，利用正弦定理“边化角”及

5、二倍角公式求解【解析】原式可化为或或【答案】等腰三角形或直角三角形【小结】本题考查正弦定理及二倍角公式，若要注意正弦的多值性，否则可能漏解如本例中的（1）；由条件不能只得到AB，而忽略ABeq f(,2).另外，还要注意等腰三角形或直角三角形与等腰直角三角形的区别练习1：在 中，则三角形的形状为_【解答过程】例3根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是 a=8，b=16，A=30有两解a=18，b=20，A=60有一解a=30，b=25，A=150有一解a=5，b=2，A=90无解【点拨】利用正弦定理及大边对大角分析求解【解析】若a=8，b=16，A=30，由正弦定理可得解得sinB=1

6、，故三角形有唯一解，故A不正确若a=18，b=20，A=60，由正弦定理可得 ，解得 再由大边对大角可得BA，故B可以是锐角，也可以是钝角，故三角形有2解，故B不正确若a=30，b=25，A=150，由正弦定理可得 ，解得再由B为锐角，可得三角形有唯一解，故C正确若 a=5，b=2，A=90，则由正弦定理可得 ，求得，再由大边对大角可得B为锐角，故三角形有唯一解，故D不正确【答案】C【小结】本题考查正弦定理的运用及在中，练习2：在ABC中，已知，试判断此三角形的解的情况【解答过程】拓展：在ABC中，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围【解答过程】【考点3】正弦定理的应用三角形面积（1

7、）锐角三角形中，最大角的取值范围是6090 （2）三角形面积公式：例4设锐角三角形的内角的对边分别为，（）求的大小；（）求的取值范围【点拨】（1）利用正弦定理“边化角”得sinA=2sinBsinA，解得；（2）利用两角和的正弦公式及辅助角公式结合三角形是锐角三角形从而求出范围【解析】（1）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由ABC为锐角三角形，得（2） ，由ABC为锐角三角形知，解得：，所以，所以，由此有，所以，cosA+sinC的取值范围为【答案】【小结】本题考查正弦定理及两角和的正弦公式及辅助角公式练习1：在ABC中，C30，求ab的最大值拓展：在AB

8、C中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）求角C的大小；（2）若ABC的外接圆直径为1，求的取值范围例5 （1）在ABC中，已知a3，b4，C60，则ABC的面积为多少？（2）若三角形面积为eq f(3,2)，且b2，ceq r(3)，求A.【点拨】非特殊三角形面积的计算主要用Seq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)absin Ceq f(1,2)acsin B（1）直接用Seq f(1,2)absin C即可；（2）为逆用Seq f(1,2)bcsin A.【解析】 （1）Seq f(1,2)absin Ceq f(1,2)34sin 606eq f(r(3),2)3eq

9、r(3).（2）Seq f(1,2)bcsin A，eq f(3,2)eq f(1,2)2eq r(3)sin A，sin Aeq f(r(3),2)，A60或120.【答案】（1） 3eq r(3)（2） A60或120【小结】三角形面积公式：Seq f(1,2)ahaeq f(1,2)bcsin Aeq f(abc,4R)preq r(ppapbpc)，其中A，B，C分别为ABC的边a，b，c的对角，R、r分别为ABC的外接圆和内切圆半径，peq f(1,2)（abc）练习1：（2014山东卷） ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a3，cos Aeq f(r(6),3)，

10、BAeq f(,2).（1）求b的值；（2）求ABC的面积基础练习（时间：60分钟）1在ABC中，已知A150，a3，则其外接圆的半径R的值为_2在ABC中，已知A=45，B=60，c =1，则a= .3在ABC中，已知b=4,c=8,B=30.则a= .4在ABC中，B45，C60，c1，则最短边的边长等于_5. 在中，已知，则_ 6在中，若A600，则_ 7（2013湖南卷）在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin Beq r(3)b，则角A等于_82014全国卷 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C2ccos A，tan Aeq f(1,3

11、)，求B_9已知在中，,则k的取值范围为_.10.在锐角中，已知，则的取值范围是_.11（2013辽宁卷）在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，又asin Bcos Ccsin Bcos Aeq f(1,2)b，且ab，则B_12在ABC中，若A30，aeq r(2)，b2，求B_13在中，若sin2Asin2Bsin2C，则的形状是 .14. 在ABC中，若三角形有解，则的取值范围是_.15. 在ABC中，若，那么ABC是 三角形.16已知三角形ABC中，有：，则三角形ABC的形状是 .17已知中,若该三角形有两解,则的取值范围是 18在ABC中，a2，A30，C45，则AB

12、C的面积为_19根据下列条件，解.（1）已知，解此三角形； （2）已知，解此三角形.参考答案132【解析】由A+B+C=180，得C=180-45-60=75。由正弦定理，得=， a=.3【解析】（1）由正弦定理，得sin C=1。所以 C=90，A=180-90-30=60。又由正弦定理，得 a=.4【解析】由大边对大角知A75，故边a最长，边b最短，由正弦定理eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)，得beq f(r(6),3).5647【解析】由正弦定理eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)和2asin Beq r(3)b可得2sin Asin Beq r(3)

13、sin B，即sin Aeq f(r(3),2)，又ABC为锐角三角形，Aeq f(,3).8【解析】由题设和正弦定理得3sin Acos C2sin Ccos A，故3tan Acos C2sin C.因为tan Aeq f(1,3)，所以cos C2sin C，所以tan Ceq f(1,2)，所以tan Btan180(AC)tan(AC)eq f(tan Atan C,tan Atan C1)1，所以B135.9【解析】在三角形ABC中，sinA：sinB：sinC=k：（k+1）：2k，由正弦定理知，a：b：c=k：（k+1）：2k，由三角形的边关系知 k0，k+2kk+1，且 2k

14、-（k+1）k，解之：，故k的取值范围为10【解析】A=2B，根据正弦定理 得： A+B+C=180，3B+C=180，即C=180-3B，C为锐角，30B60，又0A=2B90，30B45， ，即 则 的取值范围是11【解析】由正弦定理得，sin Asin Bcos Csin Csin Bcos Aeq f(1,2) sin B，即sin Acos Ccos Asin Ceq f(1,2)sin(AC)eq f(1,2)，亦即sin Beq f(1,2)，又ab，Beq f(,6).12【分析】已知三角形两边和其中一边的对角，求另一边的对角，根据问题条件可能出现唯一解、两解、无解的情况，解题

15、时一定要根据问题条件，准确判定【解析】(1)根据正弦定理，有eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，即sin Beq f(bsin A,a)，得sin Beq f(2sin 30,r(2)eq f(r(2),2).aA30，B为锐角或钝角即B45或135.13直角三角形14【解析】由正弦定理得，即，三角形有解，15等边三角形16【解析】设=k.可得：a=ksinA,b=ksinB,由条件可得：sin2AtanB=sin2BtanA,化简得：，即sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,2A=2B或者2A+2B=，即A=B或者A+B=，该三角形是等腰三角形或者直角三角形.17【解析】解法一:如图,点C到AB的距离为CD,则,三角形有两解,必须满足CD2x,即,.解法二:B=45,b=2,要使三角形有两解,必须,，即.又，.答案: 18【解析】由正弦定理，得eq f(2,sin 30)eq f(c,sin 45)，解得c2eq r(2)，ABC的面积Seq f(1,2)acsin Beq f(1,2)22eq r(2)sin 1052eq r(2)(sin 60cos 45cos