傅里叶变换推导

1、傅里叶变换推导傅里叶变换函数所要满足的条件：以T为周期，且在区间-2，?上满足狄利克雷(dirichlet)条件:1, /(t)在-T,T上连续或只有有限个第一类间断点; 2 22, f(t)在-：，?上只有有限个间断点。则函数在连续点处可表示有b sin nst)炎f(x) =+ (。孔 cos nwt +n=1其中2nw =T利用欧拉公式改写上式:2 fT/2=t I f(t)cosnwtdt(n-T/22T/2=t I f(t)sinnwtdt(n-T/2eje + e-jecos。=sine2ooQejnwt + e-jnwt地)=*+2(%=1 p? f(t)ejnwt dt2=0,

2、1,2,=0,1,2,eje - e-je2jejnwt e-jnwt2jn=1o*Y *-j4ejn3t+ ynwt)n=1a 1 T/2C0 = * = TJ f(t)dt-T/21TT=-I2 f(t)cosnwtdt -jl2 f(t)sinnwtdt TTT-2-21 rf=-| f(t)(cosnwtT J_t-2jsinnwt)dt(n=1,2,3.)(n=0,-1,-2,-3.)c n = SiWi = f f(t)e-jnwt dt2则它们可合成一个式子：上=12 f(t)ejn3tdt (n=.-2,-l,0,l,2,3.) n t 于若令 o)n = no)(n=.-2,

3、-1,0,1,2.)则可表示为：f(t) = 2 Cn ejtn=oo这就是傅里叶级数的复指数形式，或者表示为：1 f(t) =:fCOejs nTdTejo)ntn=l一般函数可看作周期无限大的周期函数nTdTejwntf(t) = lim 1V Too T z2最终可求出傅里叶积分公式8J f(x)ejwT dr ejwTdco001002 71oo性质时域f（t）频域F（G）时域频域对应关系线性n j(t) i1n由Fi(3)i1线性叠加对称性F(t)2措（-间对称尺度变换f(at)13一F(一) |a| (a)压缩与扩 展f(-t)F(-3)反时移f(t - to)F(3)e -j3t

4、0时移与相 移f(at- t0)1 r3、心F( )e-b | a | a频移f(t)e j0tF(g-Go)调制与频 移f(t)ej30t cos(3t)12 F(3 + 30)+ F(3 - 30)f(t)ej30t sin(3t)jF(3 + 30) F(3 30)时域微分df(t) dTj3F(3)dnf(t) dtn(j3)nF(3)频域微分-jtf(t)dF(3) d3(-jt)nf(t)dnF(3) d3n时域积分J f(x)dx-81F(3) + nF(0)8(3) j3时域卷积f,(t)*f2(t)Fj3)F2(3)成绩与卷 积频域卷积f1(t)f2(t)21-f1(3)*f2(3)时域抽样8f(况(t-nT/n-81 寸2nnT ZF(3-T)n-8抽样与重 复频域抽样1 寸2nn/ f(t)3 J3n-8